高中數(shù)學(xué) 1.2任意角的三角函數(shù)教案1 新人教A版必修4

1、1.2 任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)(一)農(nóng)墾中學(xué) 劉國海一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；（2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；（4）掌握并能初步運用公式一；（5）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).2、過程與方法初中學(xué)過:銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).引導(dǎo)學(xué)生把這個定義推廣到任意角,通過單位圓和角的終邊,探討任意角的三角函數(shù)值的求法,

2、最終得到任意角三角函數(shù)的定義.根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.最后主要是借助有向線段進一步認(rèn)識三角函數(shù).講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情態(tài)與價值任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點.過去習(xí)慣于用角的終邊上點的坐標(biāo)的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到

3、，這與函數(shù)值是一個確定的實數(shù)也有不同，這些都會影響學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解.本節(jié)利用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).這個定義清楚地表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個函數(shù)之間的關(guān)系.二、教學(xué)重、難點 重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；三角函數(shù)線的正確理解.三、學(xué)法與教學(xué)用具任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，本節(jié)利用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、

4、余弦函數(shù).表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個函數(shù)之間的關(guān)系.另外，這樣的定義使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合更加緊密，這就為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來方便，也使三角函數(shù)更加好用了.教學(xué)用具:投影機、三角板、圓規(guī)、計算器四、教學(xué)設(shè)想 第一課時 任意角的三角函數(shù)（一）y P（a，b） r O M【創(chuàng)設(shè)情境】提問：銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示？借助右圖直角三角形，復(fù)習(xí)回顧.引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎?如圖,設(shè)銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那a的終

5、邊P(x,y)Oxy么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則; .思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：; ; .思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標(biāo)表示.那么,角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題任意角的三角函數(shù).【探究新知】1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,

6、我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義?如圖,設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當(dāng)是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最

7、終算出三角函數(shù)值.3.思考:如果知道角終邊上一點,而這個點不是終邊與單位圓的交點,該如何求它的三角函數(shù)值呢?前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么,.所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù).4.例題講評例1.求的正弦、余弦和正切值.例2已知角的終邊過點，求角的正弦、余弦和正切值.教材給出這兩個例題，主要是幫助理解任意角的三角函數(shù)定義.我也可以嘗試其他方法:如例2:設(shè)則.于是 ,.5.鞏固練習(xí)第1,2,3題6.

8、探究:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個象限的符號填入表格中：三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制7例題講評例3求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組成立時，角為第三象限角.8.思考:根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系?顯然: 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一: (其中)9.例題講評例4.確定下列三角函數(shù)值的符號,然后用計算器驗證:(1); (2); (3); (4)例5.求下列三角函數(shù)值:(1); (2); (3)利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值, 轉(zhuǎn)化為求到(或到)角的三角函數(shù)值. 另外

9、可以直接利用計算器求三角函數(shù)值,但要注意角度制的問題.10.鞏固練習(xí)第4,5,6,7題11.學(xué)習(xí)小結(jié)(1)本章的三角函數(shù)定義與初中時的定義有何異同?(2)你能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號嗎?(3)請寫出各三角函數(shù)的定義域；(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系?你在解題時會準(zhǔn)確熟練應(yīng)用公式一嗎?五、評價設(shè)計1作業(yè)：習(xí)題1.2 A組第1,2題 2比較角概念推廣以后,三角函數(shù)定義的變化.思考公式一的本質(zhì)是什么?要做到熟練應(yīng)用.另外,關(guān)于三角函數(shù)值在各象限的符號要熟練掌握,知道推導(dǎo)方法.第二課時 任意角的三角函數(shù)（二）【復(fù)習(xí)回顧】1、 三角函數(shù)的定義；2、 三角函數(shù)在各象限角的符號；3、

10、 三角函數(shù)在軸上角的值；4、 誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等；5、 三角函數(shù)的定義域.要求：記憶.并指出，三角函數(shù)沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時，要結(jié)合定義進行分析；并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶.【探究新知】1引入：角是一個圖形概念，也是一個數(shù)量概念（弧度數(shù)）.作為角的函數(shù)三角函數(shù)是一個數(shù)量概念（比值），但它是否也是一個圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢？Oxya角的終邊PTMA2邊描述邊畫以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）.當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有

11、一個交點，過點作軸交軸于點，則請你觀察:根據(jù)三角函數(shù)的定義：；隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動，、是否也跟著變化？ 3思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段、規(guī)定一個適當(dāng)?shù)姆较?，使它們的取值與點的坐標(biāo)一致？（2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時,以為始點、為終點，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸反向時，的方向為負(fù)向，且有正值；其中為點的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當(dāng)線段與軸

12、反向時，的方向為負(fù)向，且有正值；其中為點的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有4.像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段（direct line segment）.5.如何用有向線段來表示角的正切呢?如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.6.探究：（1）當(dāng)角的終邊在第二、第三、第四象限時，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正切線嗎？（2）當(dāng)?shù)慕K邊與軸或軸重合時，又是怎樣的情形呢？7.例題講解例1已知，試比較的大小.處理:師生共同分析解答