等比數(shù)列(拓展)

1、2.4等比數(shù)列(拓展)要點(diǎn)一：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an aqn1 %qnq 0且q 1時(shí)，y qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù), q設(shè)c 亙則an cqn ,等比數(shù)列 an可以看成是函數(shù) y cqx,因此，等比數(shù)列an各項(xiàng)q 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是函數(shù) y cqx的圖像上的一群孤立的點(diǎn)。根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到等比數(shù)列的增減性的下列結(jié)論：，a1 0a1 0(1)等比數(shù)列 an遞增或；q 10 q 100等比數(shù)列 an遞減 1 或 ；0 q 1 q 1(3)等比數(shù)列 an為常數(shù)列 q 1 ；(4)等比數(shù)列 an為擺動(dòng)數(shù)列q 0.要點(diǎn)二：等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若 an是公比為q的等比數(shù)列，

2、c為非零常數(shù)，則 can仍是公比為q的等比數(shù)列.41_.、.1 一.(2)若an是公比為q的等比數(shù)列，則 一 是公比為一的等比數(shù)列，且 an是公比為|q anq 的等比數(shù)列.(3)若數(shù)列 an , bn是公比分別為q, q的等比數(shù)列，則數(shù)列 an bn是公比為qq >等比數(shù)列，數(shù)列 an是公比為 9的等比數(shù)列. bnq*,(4)右an是等比數(shù)列，且mn pq(m,n, p,q N),則2am an ap aq .特別地.當(dāng) m n 2p時(shí).am an ap二aan a?an 1 a3an 2 二；z -、. .-*.(5)若an是等比數(shù)列，每隔k (k N )項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)順序排列，

3、所得數(shù)列仍是 等比數(shù)列，且公比為 qk 1(6)在等比數(shù)列 an中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和k . k2（或積）構(gòu)成公比為q （或q ）的等比數(shù)列.若bn是等差數(shù)列，公差為 d ,則數(shù)列 cbn是等比數(shù)列,其公比為 cd.（c為常數(shù)且c 0）若an是等比數(shù)列，且 an 0,則數(shù)列l(wèi)ogaan （a 0且a 1）是等差數(shù)列，且公差為log a q .【典型例題】類(lèi)型一：等比數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用例 1 等比數(shù)列 an 中，a3 a7 a11 28, a2 a7 a12 512 ,求 q.解：: a3a11a2al2512,a7 8 ,a3 a1120a3&164、 一 2a3與a11是萬(wàn)程x 20x

4、64 0的兩根,解此方程得x 4或x 16.a3an16a31611 38，又 a1a3 qa3 q ,an41aL1一,q 48質(zhì)或qa3【變式】已知實(shí)數(shù)列1, x , y, z ,2是等比數(shù)列，求 xyz的值.解：.實(shí)數(shù)列 1, x, y, z,2是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知xz ( 1) ( 2) 2 , y2( 1) ( 2) 2,則 y 質(zhì),xyz 2.2.例2在等比數(shù)列an中，an0且22 1a1,a49a3，求a4a5.解：設(shè)等比數(shù)列 an公比為q,由已知得q 0 ,因?yàn)?a1a21,a3a49 所以 q2 a3一a49,a a2解得 q3或3（舍），故a4 a5 （a1 a

5、2）q327 .例3等比數(shù)列 an中,若a5a69,求 log 3alog3a2. log3a10.斛：, an是等比數(shù)列， 'a1aoa2a9a3a8ada?a5a69,、5 ,_5 log3ai log3a2log3aio log3（a1 a2 a3 日。）Iog3（a5 a6）log 3 910.【變式1】若等比數(shù)列an滿足anan 1 16n ,求數(shù)列an的公比.解：因?yàn)榈缺葦?shù)列 an滿足anan 1 16n所以an ian 216n 1由+得q2（2） a2a4a3,a4a6a5 , 16 .又因?yàn)閍nan 116n 0 ,知q 0 ,所以q 4 .【變式2】(1)在等比數(shù)列

6、an中，各項(xiàng)均為正值，且a6a10a3a541,a4a85,貝 U a4 a8 (2)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，若an 0,且a2a42a3a5a4a636 ,則a3a582斛：（1） a6 a10% , a3 a52/ 1a4，由 a6 a10a3 a5 41 ,得22a4 a8 2a4 a8 51 ,222a8 a4 41,又 a4 a8 5 ,得（a4a8）又各項(xiàng)均為正值，故 a4 a8、,51.由 a2a4 2a3a5 a4 a6一 一 2 八236 ,得 a3 2a3a5 %36 ,2得(a3 a5)36 ,而 an 0,a3 a5 6.類(lèi)型二：等比數(shù)列含參問(wèn)題例4在數(shù)列an中，an

7、0,且an an 1是公比為q (q 0)的等比數(shù)列，該數(shù)列滿足an an 1an 1 an 2 an 2 an 3 （ n一一*N ),求公比q的取值范圍解：- anan 1an 1 an 22（an an 1）q （an an ）q .0 ,故公比q的取值范圍是0 q1 ,52an 0 , , an an 10 , . . 1 q刎/曰1-515 工斛信q ,而q22【變式】在數(shù)列 an中，a1 1, a210-an an 13數(shù)列an 1an是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)解：設(shè)an 1an(anan 1) ( n一一 * 2且n N ),所以an 1 ()an an 10.所以103 ,解得13時(shí),

8、a2 3a1 0,an 1 3an不是等比數(shù)列，舍去，所以類(lèi)型三：構(gòu)造等比數(shù)列(輔助數(shù)列)求通項(xiàng)公式例5已知數(shù)列an滿足2an 13 an4,且a11,求an的通項(xiàng)公式.解：設(shè)an 12/cx7 (an3x)，即 an 123 an1-3，12,所以an 112an12是首項(xiàng)為a11211,公比為一 an1211一 an12112-(an 12),322的等比數(shù)歹U,3n 123例6已知數(shù)列an中,a12an 1(1)若 bn(2)求數(shù)列解：由2ananananann(n 1)(n 2)n(n 1),求證：數(shù)列的通項(xiàng)公式.n 2 n(n 1)(n,得2)2 an 12nan(n 2)n(n 1

9、)(n2)(n 1)(n 2)(nananbn是等比數(shù)列;(n 1)(n 2)1n(n 1)1n(n 1)11)(n 2)1n(n 1)'bn 1n(n 1)一.111 ,，數(shù)列bn是以b a1 為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列2 22(2)由(1)知bn1n(n 1)一 an12nn(n 1)例7設(shè)數(shù)列an中，a1 1,an1 3an 2n 1 ,求an的通項(xiàng)公式.解：設(shè) an 1 A(n 1) B 3(an An B), an 1 3an 2An 2B A.與原式比較系數(shù)得2A 22B Aan 1 (n 1) 1 3(an n 1)令 bn an n 1 ,則 bn 1 3bn 且 ba

10、i 1 1 3,bn是以b3為首項(xiàng)，q 3為公比的等比數(shù)歹U,_n 1=nn)1 bn 3 33 , an 3 n 1.【變式】已知a1 1, n 2時(shí)，解：當(dāng)n 2時(shí)，設(shè)an An B1an -an 1 2n 1,求an的通項(xiàng)公式 21.2an1 A(n 1) B,即1an二 an 121 An2與原式比較系數(shù)得1-A 221A 1 dA B22，c 1r an 4n 6 2電14(n 1) 6,1，數(shù)列an 4n 6是公比為一，首項(xiàng)為a1 4 6 3的等比數(shù)列21 ,2n 14n 6 3 1 ，所以 an2類(lèi)型四：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 例8已知Sn是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，滿足a3

11、4, S7 35; Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，滿足Tn2bn(1)求數(shù)列anbn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an (logzbn)的前n項(xiàng)和Rn .解：(1)設(shè)等差數(shù)列.a3 4an的公差為d ,則由，可得nS7 35a17 al2d 4a1 2,解得21d 35 d 1一 an2bn 2, Tn1 2bn 1 2 (n 2,*N ),兩式相減,得bn2bn2bn 1,是 bn 2bn 1,即bnbn 12，.一 bn2n,1時(shí),2bl 2,得b1 2,也滿足上式是公比為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為n bn 2 .(2)由于an (logzbn)(n1) (log2 2n)1n(n 1)11R 1 2

12、 51【鞏固練習(xí)】1.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比q1 _1 且 a2, -a3,2a2a3a3a，包的值為(a515A.2B.P 、5 1 C.2c 5 1 T 5 1D.或答案：C.2.等比數(shù)列an各項(xiàng)為正數(shù)，且 3是a5和a6的等比中項(xiàng)，則闞a2a1。A. 39答案：BB. 310C. 311D.3123.在等比數(shù)列an中，anan1,且 a7a116,a4a145 ,則三a1610A 3BC. 1D. 6236答案：A4. an 為等比數(shù)列，且 a1a9 64 , a3 a7 20 ,求 a11.解：: an為等比數(shù)列，a1a9 a3a7 64 ,2又a3 a7 20 ,a3、a7

13、是萬(wàn)程x 20x 64 0的兩個(gè)根.a3 4a7 16a3 16a7 4a3 當(dāng)a3a7a74 cc a3 a3 q 20 ,4 一4 4 4 q 20 , q44, an a7 q 64.14 a3164當(dāng)時(shí)，a3 a7 a3 (1 q )20,a7445418 d1 q - , . q -.ana3q144 a11 64 或1.5.設(shè)an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bnlog 2an,若Db2b33 , b1b2b33,求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.答案：由 b1 + b2 + b3=3,得 10g2(a1 - a2 a3) = 3,a1 , a2 , a3= 23 = 8,2,. a2 = a1 - a3,. a2=2,又 b1 b2 b3= - 3,2-設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,得10g2 - 10g2(2q)3.q . 1 (log2q)2 =3, . log2q =±2. 1解得q= 4或4,，所求等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a2 - qn 2= 22n 3 或 an= 25 2n.6.在等比數(shù)列an中，(1)若 a427, q 3,求 a?；(2)右 a218, a48,求 a1和 q；3 )若 a5a115 ，a4a2