小學(xué)奧數(shù)六級(jí)舉一反三

1、第十六周用“組合法”解工程問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：在解答工程問(wèn)題時(shí)，如果對(duì)題目提供的條件孤立、分散、靜止地看，則難以找到明確的 解題途徑，若用“組合法”把具有相依關(guān)系的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行恰當(dāng)組合，使之成為一個(gè)新的基 本單位，便會(huì)使隱蔽的數(shù)量關(guān)系立刻明朗化，從而順利找到解題途徑。例題1。一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作15天完成，若甲隊(duì)做5天,乙隊(duì)做3天,只能完成工程的；7 ,乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需要幾天? 30、，E 1【思路導(dǎo)航】此題已知甲、乙兩隊(duì)的工作效率和是,只要求出甲隊(duì)貨乙隊(duì)的工作效率,則問(wèn)題可解，然而這正是本題的難點(diǎn)，用“組合法”將甲隊(duì)獨(dú)做 5天，乙隊(duì)獨(dú) 做3天,組合成甲、乙兩隊(duì)合作了 3天后，甲隊(duì)獨(dú)做2天

2、來(lái)考慮，就可以求出, 一 ，一 71甲隊(duì)2天的工作量30,1義3=親,從而求出甲隊(duì)的工作效率。所以30練習(xí)171行一（30 X3（53）】=20 （天）答：乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需要 20天。1、師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了 3天，因事外出，由徒弟接著3做1天，共完成任務(wù)的20。如果這批零件由師傅單獨(dú)做，多少天可以完成?2、5某項(xiàng)工程，甲、乙合做1天完成全部工程的24。如果這項(xiàng)工程由甲隊(duì)獨(dú)做2天，再由 13乙隊(duì)獨(dú)做3天,能完成全部工程的23。甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天?3、 甲、乙兩隊(duì)合做，20天可完成一項(xiàng)工程。先由甲隊(duì)獨(dú)做 8天，再由乙隊(duì)獨(dú)做12天，還一.一 一

3、一8剩這項(xiàng)工程的甲、乙兩隊(duì)獨(dú)做各需幾天完成?例題2一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成。甲隊(duì)先做了 3天，再由乙隊(duì)做2天，則能完成這 一.1 、一 項(xiàng)工程的2?，F(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)做。做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等。求兩段一共用了幾天?【思路導(dǎo)航】此題很容易先求乙隊(duì)的工作效率是:1(2;再由條件“做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等”的題意, 干天完成，即可求出相等的時(shí)間。(1)乙隊(duì)每天完成這項(xiàng)工程的可組合成由兩個(gè)乙隊(duì)和一個(gè)甲隊(duì)合做需若練習(xí)21、2、3、(232=8(2)兩段時(shí)間一共是1十X2+12 ) X2=6 (天)答：兩段時(shí)間一共是6天。一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做15天完成8若甲隊(duì)先做5天，乙

4、隊(duì)再做4天能完成這項(xiàng)工程的行。現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)做。做完后發(fā)現(xiàn)，兩段時(shí)間相等。這兩段 時(shí)間一共是幾天？一項(xiàng)工程，甲、乙合做8天完成。如果先讓甲獨(dú)做6做 再由乙獨(dú)做，完成任務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn) 乙比甲多了 3天。乙獨(dú)做這項(xiàng)工程要幾天完成？某工作，甲單獨(dú)做要12天，乙單獨(dú)做要18天，內(nèi)單獨(dú)做要24天。這件工作先由甲做了 若干大，再由乙接著做；乙做的天數(shù)是甲3倍，再由內(nèi)接著做，內(nèi)做的天數(shù)是乙的2倍。 終于完成了這一工作。問(wèn)總共用了多少天？例題3。移栽西紅柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8小時(shí)完成，先由哥哥栽了 3小時(shí)后，又由11 一一 ,弟弟栽了 1小時(shí)，還?？偪脭?shù)的而沒(méi)有栽，已知哥哥每小

5、時(shí)比弟弟每小時(shí)多栽 7棵。共要移栽西紅柿苗多少棵？【思路導(dǎo)航】把“哥哥先栽了 3小時(shí)，弟弟又栽了 1小時(shí)”組合成“哥、的合栽了 1小時(shí)后，哥哥又獨(dú)做了 2小時(shí)”，就可以求出哥哥每小時(shí)栽總數(shù)的幾分之幾。哥哥每小時(shí)栽總數(shù)的幾分之幾1113（1-而8 X1）+（31）=32一共要移栽的西紅柿苗多少棵7+ （1 -.）】=112 （棵）32832答：共要移栽西紅柿苗112棵。練習(xí)31、加工一批機(jī)器零件，師、徒合做 12小時(shí)可以完成。先由師傅加工8小時(shí)，接著再由徒弟加工6小時(shí)，共加工了這批零件的3。已知師傅每小時(shí)比徒弟多做10個(gè)零件。這批 5零件共有多少個(gè)？2、 修一條公路，甲、乙兩隊(duì)合做6天可以完成。

6、先由甲隊(duì)修5天，再由乙隊(duì)修3天，還剩 3這條公路的正 沒(méi)有修。已知甲隊(duì)每天比乙隊(duì)多修 20米。這條公路全長(zhǎng)多少米？3、 修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)修要40天，乙隊(duì)獨(dú)修要用24天。兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距 中點(diǎn)750米處相遇。這段公路全長(zhǎng)多少米？例題4。一項(xiàng)工作，甲、乙、丙3人合做6小時(shí)可以完成。如果甲工作 6小時(shí)后，乙、丙合做2小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的2 ;如果甲、乙合做3小時(shí)后，內(nèi)做6小時(shí)，也可以完成這項(xiàng)工3作的2 0如果由甲、丙合做，需幾小時(shí)完成？3【思路導(dǎo)航】將條件“甲工作6小時(shí)后，乙、丙合做2小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的2 ”組合3成“甲工作4小時(shí)，甲、乙、丙合做2小時(shí)可以完成這項(xiàng)工作的2 ”

7、，則求出3甲的工作效率。同理，運(yùn)用“組合法”再求出丙的工作效率。甲每小時(shí)完成這項(xiàng)工程的幾分之幾211（3 -6 x2）.（6-2）內(nèi)每小時(shí)完成這項(xiàng)工程的幾分之幾211（3 6*3）+（6 3）=而甲、丙合做需完成的時(shí)間為：1+（1 +）= 71 （小時(shí)）12 185，一一一 1 ， r答：甲、丙合做完成需要75小時(shí)。練習(xí)41、 一項(xiàng)工作，甲、乙、丙三人合做，4小時(shí)可以完成。如果甲做4小時(shí)后，乙、丙合做213 小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的 ;如果甲、乙合做2小時(shí)后，內(nèi)再做4小時(shí)，可以完成 18一一,11這項(xiàng)工作的18 o這項(xiàng)工作如果由甲、丙合做需幾小時(shí)完成？2、 一項(xiàng)工程，甲、乙合做6天可以完成，乙

8、、丙合做10天可以完成。現(xiàn)在先由甲、乙、內(nèi)合做3天后，余下的乙再做6天則可以完成。乙獨(dú)做這項(xiàng)工程要幾天就可以完成？3、 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做10天完成，乙、丙兩隊(duì)合做8天完成?，F(xiàn)在甲、乙、丙三. 一 1、. 一 一一.隊(duì)合做4天后，余下的工程由乙隊(duì)獨(dú)做52天完成。乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需多少天可以完成?4、 一件工作，甲、乙合做4小時(shí)完成，乙、丙合做5小時(shí)完成?，F(xiàn)在由甲、丙合做2小時(shí)后，余下的由乙6小時(shí)完成。乙獨(dú)做這件工作需幾小時(shí)才能完成？例題5。一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修24天可以完成，乙隊(duì)獨(dú)修30天可以完成。先由甲、乙兩隊(duì)合修 4 天,再由丙隊(duì)參加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三隊(duì)同時(shí)開(kāi)工

9、修這條公路，幾 天可以完成？【思路導(dǎo)航】將條件“先由甲、乙兩隊(duì)合修4大，再由丙隊(duì)參加一起修7天后全部完成”組 合成“甲、乙兩隊(duì)各修(4+7) =11天后，再由丙隊(duì)單獨(dú)修了 7天才全部完成。” 就可以求出內(nèi)隊(duì)的工作效率。內(nèi)隊(duì)每天修這條公路的【1 一 (1)】X ( 4+7)='24 30 ' i '40三隊(duì)合修完成時(shí)間為1+ ( + + ) = 10 (天)i 24 30 40 / i 答：10天可以完成。練習(xí)51、 一件工作，甲單獨(dú)做12小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲、乙合做 4小時(shí)后，乙又用6小時(shí)才完成。 這件工作始終由甲、乙合做幾小時(shí)可以完成？2、 一條水渠，甲隊(duì)獨(dú)挖120天完成

10、，乙隊(duì)獨(dú)挖40天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合挖8天，剩下的由 內(nèi)隊(duì)加入一起挖，又用12天挖完。這條水渠由內(nèi)隊(duì)單獨(dú)挖，多少天可以完成？3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做 3 天后,由乙單獨(dú)做，還要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需幾天可以完成？4、 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做 30天完成，甲隊(duì)單獨(dú)做24天后，乙隊(duì)加入，兩隊(duì)又合做 了 12天。這時(shí)甲隊(duì)調(diào)走，乙隊(duì)又繼續(xù)做了 15天才完成。甲隊(duì)獨(dú)做這項(xiàng)工程需要多少 天?答案：練11、, 31【(20 -112)+(3-1)1 =30 天 135一2、乙：1+【(24 -24 X2) + (3-2) =8 天甲：1

11、+(13 Y)=12 天2483、乙：1+【(1 2 -1 X8) + (128)】=60 天甲：1 +120160)=30 天1、乙隊(duì)的工作效率:(6-X5)+4 = 20，1 一2、1+【(18 X6) +3=12 天111.3、甲做的天數(shù)：1+ ( +18 X3+24 X3X 2) =2 天總共的天數(shù)：2+2X 3+2X 3 X 2 = 20大練31、 師傅每小時(shí)做這批零件的(3 工X6) + (86) =151220 111人這批零件共有10+ 20 (12 -20 )1 =600個(gè)3112、 甲隊(duì)每天修這條公路的(1 10 -6 X3) + (5 3) =10111_,這條公路全長(zhǎng)多

12、少米20 +【10 (610 )1 = 600米3、 甲、乙兩隊(duì)工作效率的比是：1 4=3： 54024這段公路的全長(zhǎng)750 + (1 白)=6000米23+5或 750 X2+ (5 3) X ( 5+3) =6000 米練4 13111、 甲隊(duì)的工作效率(18 4 X2) + (4 2) =9內(nèi)隊(duì)的工作效率(乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需要的時(shí)間1-115 =15 一 X2) + (4 2) =!18418甲、丙合做需要的時(shí)間1+ (1 +白)=6小時(shí) 9 18，1112、 乙隊(duì)每天能做全工程的11 (6 X3- X3) + (6- 3)=-1 一乙隊(duì)獨(dú)做這項(xiàng)工程需要的時(shí)間1- =15天 1511_

13、113. 乙隊(duì)每天能做全工程的11(而X4- X4)】一 (仿4)=10821511_14、乙隊(duì)的工作效率1一 (1 X2+1 X2)】一 (6 2 2)=4520乙獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間=20小時(shí)1、乙每小時(shí)做這件工程的（1112 X 4) + ( 6+4)1 =15甲、乙合做完成需要的時(shí)間1+ （J + ） = 6|小時(shí)12 1532 、甲、乙兩隊(duì)完成的工作量（焉+）X（8+2） =1120 403內(nèi)隊(duì)單獨(dú)挖需要的時(shí)間1+（12 ） +12=36天33 .乙的工作效率11 （1 X3+W X3） + （9 3 3）=61015111內(nèi)的工作效率而一而=30 11 一二人合做需要的時(shí)間1+（

14、6+而）=5天1一、. 一14、甲隊(duì)的工作效率【1 30 X(12+15)】 + (2415)=90E 1甲隊(duì)單獨(dú)做需要的時(shí)間1+而=90天90第十七周濃度問(wèn)題專題簡(jiǎn)析：在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問(wèn)題，即濃度問(wèn)題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)糖水甜的程度是由糖 （溶質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者質(zhì)量的比值決定的。 這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者質(zhì)量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì) 量的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，即,濃度=溶質(zhì)質(zhì)量溶液質(zhì)量“

15、溶質(zhì)質(zhì)量”X 100 % =溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量 X100%解答濃度問(wèn)題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題意列方程解 答比較容易，在列方程時(shí)，要注意尋找題目中數(shù)量問(wèn)題的相等關(guān)系。濃度問(wèn)題變化多，有些題目難度較大，計(jì)算也較復(fù)雜。要根據(jù)題目的條件和問(wèn)題 逐一分析，也可以分步解答。例題1。有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖?【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，在 7%的糖水中加糖就改變了原來(lái)糖水的濃度，糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并沒(méi)有改變。因此，可以先根 據(jù)原來(lái)糖水中的濃度求出水的質(zhì)量， 再根據(jù)后來(lái)糖水中的濃度求出現(xiàn)在 糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水

16、的質(zhì)量減去原來(lái)糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)3 小。原來(lái)糖水中水的質(zhì)量：600X （ 1 7%） = 558 （克）現(xiàn)在糖水的質(zhì)量 ：558+ （ 1 10%） = 620 （克）加入糖的質(zhì)量 ：620 600=20 （克）答：需要加入20克糖。練習(xí)11、現(xiàn)在有濃度為20 %的糖水300克，要把它變成濃度為 40 %的糖水，需要加糖多少克？2、有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為 20%,需加鹽多少千克？3、有甲、乙兩個(gè)瓶子，甲瓶里裝了 200毫升清水，乙瓶里裝了 200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含

17、水多？ 例題2一種35的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75 時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為 35的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成1.75 的農(nóng)藥 800千克？【思路導(dǎo)航】 把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^(guò)程稱為稀釋。 在這種稀釋過(guò)程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變的。這是解這類問(wèn)題的關(guān)鍵。800 千克 1.75 的農(nóng)藥含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800X 1.75 % = 14 （千克）含 14 千克純農(nóng)藥的35的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35% =40 （千克）由 40 千克農(nóng)藥稀釋為 800 千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為80040=760 （千克）答： 用 40千克的濃度為 35的農(nóng)藥中添加760千克水， 才能配成濃度為 1.7

18、5 的農(nóng)藥 800 千克。練習(xí) 21、 用含氨 0.15 的氨水進(jìn)行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16的氨水30 千克，配置時(shí)需加水多少千克？2、 倉(cāng)庫(kù)運(yùn)來(lái)含水量為90的一種水果100 千克。一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80。現(xiàn)在這批水果的質(zhì)量是多少千克？3、 一容器內(nèi)裝有10升純酒精， 倒出 2.5 升后， 用水加滿； 再倒出 5升， 再用水加滿。這時(shí)容器內(nèi)溶液的濃度是多少？例題 3?，F(xiàn)有濃度為10 的鹽水20 千克。再加入多少千克濃度為 30 的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水？【思路導(dǎo)航 】這是一個(gè)溶液混合問(wèn)題。混合前、后溶液的濃度改變了，但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒(méi)有改變。 所以， 混合前兩種溶液

19、中溶質(zhì)的和等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。20 千克 10的鹽水中含鹽的質(zhì)量20X10%=2 （千克）混合成 22時(shí)， 20 千克溶液中含鹽的質(zhì)量20X 22% =404 （千克）需加30 鹽水溶液的質(zhì)量（4.4 2） + （ 30% 22%） = 30 （千克）答：需加入 30 千克濃度為 30的鹽水，可以得到濃度為 22的鹽水。練習(xí) 31、 在 100千克濃度為50的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為 5的硫酸溶液就可以配制成25的硫酸溶液？2、 濃度為 70 的酒精溶液500 克與濃度為50 的酒精溶液300 克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？3、 在 20的鹽水中加入 10 千克水， 濃

20、度為 15 。 再加入多少千克鹽， 濃度為25？例題4。將 20的鹽水與5的鹽水混合，配成15的鹽水600克，需要20的鹽水和5的鹽水各多少克？【思路導(dǎo)航 】根據(jù)題意，將20的鹽水與5的鹽水混合配成15的鹽水，說(shuō)明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的。 可根據(jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。解：設(shè)20的鹽水需x 克，則5的鹽水為600 x 克，那么20%x+ （600x） X 5%= 600X15%X=400600400=200 （克）答：需要20 的鹽水400 克， 5的鹽水200 克。練習(xí) 41、 兩種鋼分別含鎳5和 40， 要得到 140 噸含鎳 30 的鋼， 需要含

21、鎳5 的鋼和含鎳40的鋼各多少噸？2、 甲、乙兩種酒各含酒精 75 和55，要配制含酒精65 的酒 3000 克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒中各取多少克？3、 甲、乙兩只裝糖水的桶，甲桶有糖水60 千克，含糖率為40；乙桶有糖水40千克，含糖率為20 。要使兩桶糖水的含糖率相等，需把兩桶的糖水相互交換多少千克？例題 5。甲、乙、丙3 個(gè)試管中各盛有10 克、 20 克、 30 克水。把某種質(zhì)量分?jǐn)?shù)的鹽水10 克倒入甲管中，混合后取10 克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出 10 克倒入丙管中?，F(xiàn)在丙管中的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 0.5 。最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？【思路導(dǎo)航】 混合后甲、乙、丙3 個(gè)試管

22、中應(yīng)有的鹽水分別是20 克、 30 克、 40 克。根據(jù)題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質(zhì)量。又因?yàn)楸苤性瓉?lái)只有30 克的水，它的鹽是從10 克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質(zhì)量。而乙管里的鹽又是從10 克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20 克鹽水中鹽的質(zhì)量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。丙管中鹽的質(zhì)量：（30+10） X0.5%=02（克）倒入乙管后，乙管中鹽的質(zhì)量：0.2 X（20+10） +10 =0.6 （克）倒入甲管，甲管中鹽的質(zhì)量： 0.6 X（10+10） +10 =1.2 （克）1.2+10=12%答：

23、最早倒入甲管中的鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)是12。練習(xí) 51、從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多 少？2、甲容器中又8%的鹽水300克，乙容器中有12.5 %的鹽水120克。往甲、乙兩個(gè) 容器分別倒入等量的水，使兩個(gè)容器中鹽水的濃度一樣。每個(gè)容器應(yīng)倒入多少克水？3、甲種酒含純酒精40%,乙種酒含純酒精36%,丙種酒含純酒精35%。將三種酒 混在一起得到含酒精 38.5 %的酒11千克。已知乙種酒比丙種酒多 3千克，那么 甲種酒有多少千克？答案：練11、 300X ( 1 20%) + (140%)

24、300= 100 克2、 20X (1 15%) + ( 120%) 20=1.25 千克13、 第一次把20毫升的純酒精倒入甲瓶，則甲瓶的濃度為： 20+ ( 200+20)=而， 第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶中含酒精200X-1 =200毫升,1111、一1200 一， 一 一八 ,“乙瓶中含水20X (1R )=下毫升，即兩者相等。練21、30 X (16%0.15%) + 0.15 % = 3170 千克2、100X ( 1 90%) + (180%) =50 千克2.553、10X (1充)X ( 1而)+10=37.5%練31、 100X ( 50%25%) + (

25、25%5%) =125 千克2、 (500X70%+300X 50%) + ( 500+300) X 100%= 62.5 %3、 原有濃度為20%的鹽水的質(zhì)量為：10X15%+ (20%15%) = 30千克第二次加入鹽后，溶液濃度為 25 %的質(zhì)量為:30X ( 1 20%) +10】+ (125%)(30+10) =16 千克31、 解：設(shè)需含銀5%的鋼x噸，則含銀40%的鋼140x噸，5%x+ (140x) X 40%= 140X30%X=4014040= 100 噸2、 (3000X75% 3000X65%) +【1X (75%55%)】=1500克3000 1500= 1500 克

26、3、解法一：設(shè)互相交換x千克糖水?！?60 x) X 40%+xX20%】 +60=【(40 x) X 20%+xX40%】+ 40X=24.660 一解法二：60-60X- =24 千克40+60練51、解法一：100X80%= 80 克 40 X80%=32 克(8032) + 100=48% 40 X48%=19.2 克(803219.2 ) + 100 = 28.8 %40X 28.8 =11.52 克(803219.2 11.52 ) + 100=17.28 %404040解法二：80X ( 1- ) X ( 1 - ) X ( 1- ) + 100=17.28%2、300 X 8%

27、 =24 克 120 X12.5%=15 克解：設(shè)每個(gè)容器應(yīng)倒入 x克水。2415300+x =120+xX=1803、 解：設(shè)丙種酒有x千克，則乙種酒有（x+3）千克，甲種酒有（11 -2x-3）千 克。（11-2x-3） X 40%+ （x+3） X 36%+35%x= 11X38.5 %X=0.5112X0.53 = 7 千克第十八周面積計(jì)算（一） 專題簡(jiǎn)析：計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問(wèn)題乍一看，在已知條件與所求問(wèn)題之間找不到任 何聯(lián)系，會(huì)使你感到無(wú)從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條 件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的基本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已 知條件與

28、所求問(wèn)題的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)到目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必 須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖 形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。例題1。已知圖18 1中，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE= ED, BD=2 BC,求陰影3但三角形AEF的面積無(wú)法直接計(jì)算。由于AE=ED,倍接DF,可知Saaef=Saedf （等底等高），采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影部 分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積一， 2一一，一，因?yàn)锽D= BC,所以SaBDF= 24 DCFo 又因?yàn)锳已EQ所以 Sa abf= Sa bdf= 2Sa DCFo

29、3因此，Sa ABC= 5 Sa DCFo 由于 Sa abc= 8平方厘米，所以3dcf=8-5= 1.6 （平方厘米），則陰影部分的面積為1.6X2=3.2 （平方厘米）練習(xí)1、如圖18 - 2所示,AE= EQ BC=3BD Saabc= 30平方厘米。求陰影部分的面積。2、如圖183 所1一、一，八，-_AE=ED DO- BD, Saabc= 21平萬(wàn)厘米。求陰影部分的面積。33、如圖18 5平方厘米。求三角形ABC的面積。18 18 例題2。兩條對(duì)角線把梯形 ABC陰割成四個(gè)三角形，如圖185所示，已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少?18-5【思路導(dǎo)航】已知S>

30、; BOCJHSa doc的2倍，且高相等，可知： BO 2DO從Sa abd與Saacd相等（等底等高）可知：Sa ABO等于6,而abJT AOD的高相等，底是 AOD的2倍。所以 aod的面積為6 + 2=3。因?yàn)镾aabd與Saacd等底等局所以 Sa abo= 6因?yàn)镾aBOC是 Sa doc的2倍所以 ABOjfbA AOD的2倍所以 ao戶6+ 2 = 3。答： AOD 的面積是3練習(xí)21、兩條對(duì)角線把梯形 ABC陰割成四個(gè)三角形，（如圖18 6所示），已知兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？2、 已知AO1 OC,求梯形ABCD勺面積（如圖18 7所示）。33、已知三

31、角形AOB勺面積為15平方厘米，線段OB的長(zhǎng)度為OD勺3倍。求梯形ABCD的面積。（如圖18 8所示）18 18 18例題3四邊形ABCD勺對(duì)角線BD被 E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECFB勺面積為15平方厘米。求四邊形ABCD勺面積（如圖18 9所不）o18-9【思路導(dǎo)航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE AER AFD是等底等高的三角形,它們的面積相等。同理，三角形BEC CEF CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD勺面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形 ABCD勺面積是四邊形 AECFH15積的3倍X3=45 （平方厘米）答

32、：四邊形ABCD勺面積為45平方厘米。練習(xí)31、四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分，且四邊形 AECG勺面積為15 平方厘米。求四邊形 ABCD勺面積（如圖1810）。2、已知四邊形ABCD勺對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影部分面積為15平方厘 米。求四邊形ABCD勺面積（如圖18 11所示）。3、如圖1812所示，求陰影部分的面積（ABC防正方形）。DADA 6 DB EC bC BC18 -18 -18 例題4。如圖1813所示，BO= 2DQ陰影部分的面積是4平方厘米。那么，梯形 ABCD【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽O= 2DQ取BO中點(diǎn)E,連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的

33、性質(zhì)，可知Sadbc= Sacda； Sacob= Sadoa= 4,類推可得每個(gè)三角形的面積。所以,s ACD戶4+2 = 2 （平方厘米）Sadab= 4X3=12平方厘米S 梯形ABCD=12+4+2=18 （平方厘米）答：梯形ABCD勺面積是18平方厘米。練習(xí)1、如圖18-14所示，陰影部分面積是 4平方厘米，OO 2AQ求梯形面積。2、已知OC= 2AO $ BO及14平方厘米。求梯形的面積（如圖 1815所示）。3、已知&AOB= 6平方厘米。OC= 3AQ求梯形的面積（如圖 1816所示）。例題5。18A18 如圖1817所示，長(zhǎng)方形 ADEF的面積是16,三角形ADB的

34、面積是3,三角形ACF的面積是4,求三角形ABC的面積18-17【思路導(dǎo)航】連接AE仔細(xì)觀察添加輔助線 AE后，使問(wèn)題可有如下解法。=8。用8減去3由圖上看出：三角形 ADE的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半（16+2）得到三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積 也為4。因此可知三角形 AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn),而三角形ABE與三角形BEC?底，高是三角形 BEC的2倍，三角形BEC的面積為5 + 2 = 2.5 ,所以，三角形ABC的面積為1634 2.5=6.5。練習(xí)51、如圖1818所示，長(zhǎng)方形ABCD勺面積是20平方厘米，三角形 ADF的面積為5平方

35、厘米，三角形 ABE的面積為7平方厘米，求三角形 AEF的面積。4平方厘米，Sa AFD2、 如圖1819所示，長(zhǎng)方形ABCD勺面積為20平方厘米，Saabe= =6平方厘米，求三角形 AEF的面積。ABE AFD的面積3、 如圖1820所示，長(zhǎng)方形ABCD勺面積為24平方厘米，三角形 均為4平方厘米，求三角形 AEF的面積。CCB EEB EE18 1918-1818-20答案： 練11、 30+5X2= 12平方厘米2、 21 + 7X3=9平方厘米21 一、一，3、 5X3- =22-平萬(wàn)厘米32練21、 4 +2 = 2 8 +2 = 42、 8 X2=16 16+8 X 2+4= 3

36、63、 15 X 3 = 45 15+5+15+45 =80練31、 15X2 = 30平方厘米2、 15X4 = 60平方厘米3、 6X6+2 6X4 + 2 = 6平方厘米 6 X2 + 4=3平方厘米(6+3) X 6+2 = 27平方厘米練41、 4 X2 = 8平方厘米 8 X2=16平方厘米16+8+8+4=36平方厘米2、 14 +2 = 7平方厘米 7 +2=3.5平方厘米14+7+7+3.5=31.5 平方厘米3、6 X ( 3+1) = 24 6 +3=2 24+6+2 =321、201+ 2 7=3 3 X-2= 1.5 20-7-5-1.5 =6.52、20+ 2=10

37、(10 4)10-6乂 1022325 20 一與=753、24+ 2=12平方厘米(12 4)4X（1萬(wàn)）2412-4-4-53 =103平方厘米1一、一，X 3.14 X4 =28.26 （平萬(wàn)厘米）第十九周面積計(jì)算（二）專題簡(jiǎn)析:在進(jìn)行組合圖形的面積計(jì)算時(shí)，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清組合圖形是由幾個(gè) 基本單位組成的，還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問(wèn)題間的關(guān)系0例題1。的面積（單位：厘3求66666【思路導(dǎo)航】如圖19 191所示的特點(diǎn),r 一 ，一， 一 一， 1陰影部分的面積可以拼成4圓的面積。答：陰影部分的面積是 28.26平方厘米。練習(xí)1求下面各個(gè)圖形中陰影部分的面積（單

38、位：厘米）19 19 例題2求圖19 5中陰影部分的面積（單位：厘米）019 19 【思路導(dǎo)航】陰影部分通過(guò)翻折移動(dòng)位置后，構(gòu)成了一個(gè)新的圖形（如圖196所示），從圖中可以看出陰影部分的面積等于大扇形的面積減去大三角形面積的一半練習(xí)23.14X42x1 4X4 + 2+2 = 8.56 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 8.56平方厘米。計(jì)算下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）19 例題3。如圖1910所示，兩圓半徑都是 19卜厘米，且圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等。求長(zhǎng)方形ABOO的面積ABOO19 【思路導(dǎo)航】因?yàn)閮蓤A的半徑相等，所以兩個(gè)扇形中的空白部分相等。又因?yàn)閳D中兩個(gè)陰影部分的面積相等

39、， 所以扇形的面積等于長(zhǎng)方形面積的一半（如圖1910右圖所不）。所以3.14X12X； X2=1.57 （平方厘米）答：長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形 ABOO的面積是1.57平方厘米。練習(xí)3如圖1911所示，圓的周長(zhǎng)為12.56厘米，AC兩點(diǎn)把圓分成相等的兩段弧，陰CCD勺面積。1、B19 19 2、如圖19一12所不，直徑19 BO 8厘米，AB= AG D為AC的重點(diǎn)，求陰影部分的面積。3、如圖1913所示，A及BO 8厘米，求陰影部分的面積。例題4。如圖19-14所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）【思路導(dǎo)航練習(xí)41、2、19 】我們可以把三角形 ABC看成是長(zhǎng)方形的一部分，把它還原成長(zhǎng)方形后（如右圖所

40、示），因?yàn)樵笕切蔚拿娣e與后加上的三角形面積相等，并且空白部分的兩組三角形面積分別相等，所以I和II的面積相等。X4=24 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 24平方厘米。如圖19-15所示，求四邊形ABCD勺面積。如圖1916所BE長(zhǎng)5厘米，長(zhǎng)方形 AEFD面積是38平方厘米。求 CD的長(zhǎng)度。3、圖1917是兩個(gè)完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照?qǐng)D中的已知條件求陰C12019 19 19 例題5。ABCD勺面積是7平如圖1918所示，圖中圓的直徑 AB是4厘米，平行四邊形0方厘米，ZABC= 30度，求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）19 【思路導(dǎo)航】陰影部分的面積等于平行四邊形的面積

41、減去扇形AOC勺面積，再減去三角形BOC勺面積。半徑：4 + 2=2 （厘米）扇形的圓心角：180 （ 18030X 2） =60 （度）扇形的面積：2X2X3.14 X；60 -2.09 （平方厘米）360三角形BOC勺面積：7 + 2+2=1.75 （平方厘米）7 （2.09+1.75 ） = 3.16 （平方厘米）答：陰影部分的面積是 3.16平方厘米。練習(xí)51、 如圖1919所示，/ 1=15度，圓的周長(zhǎng)位62.8厘米，平行四邊形的面積為 100平方厘米。 求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。2、 如圖19 20所示，三角形ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑AC = 6厘米，B

42、D: DC = 3:1。求陰影部分的面積。3、 如圖19 21所示，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數(shù)保留兩位小數(shù)）。BAOU，B19B19 -DJ<DC 30°A6B答案：_ 6 練1二？D1、 圖答19 1陰影部分的面積£66x 2之18W厘米2、 圖答192陰影部分的A積為：65X6= 36里方厘米，13、 圖答193陰影部分的面積為：10X （10+2） X -C19 -ABX2 = 50平方厘米練31、圖答194中陰影部分的面積為：（2+2） X 2= 8平方厘米一一r 一八，一，1一、一，2、圖答一5陰影部分的面積為：4X 4X 2 =8平方厘米3、 圖答

43、196陰影部分的面積為：42X 3.14X1 4X4X1 =4.56平方厘米42練31、圖答197中，陰影部分（1）的面積與陰影部分（2）的面積相等。所以，平行四邊形的面積和圓的面積相等。因此，平行四邊形ABCD勺面積是：（12.56 +3.14 +2） 2X3.14 = 12.56 平方厘米2、 （8+ 2） 2X3.14x4 =12.56 平方厘米211一、一.3、 （8+ 2） 2X 3.14 X4 + （8 + 2） X 2 =20.56 平萬(wàn)厘米第二題和第三題，陰影部分的面積通過(guò)等積變形后可知。如圖答 197和圖答198所不。練41、 如圖答19 9所示：延長(zhǎng)BC和AD相距與E,四邊

44、形ABCD勺面積是：11 一、一，7X7X2 -3X3X2 =20 平萬(wàn)厘米2、 如圖答19 10所示，因?yàn)镾1 = S2,所以CD= 38+5 = 7.6厘米3、如圖答19 11所示：陰影部分面積等于梯形的面積，其面積為：（120+120 40）X 30+2= 3000平方厘米練51、 如圖答19 12所示圓心角AOB的度數(shù)為180 （ 18015X2） = 30度平行四邊形內(nèi)一個(gè)小弓形的面積為(62.8+3.14+2) 2X3.14 X；30 100+4= 1.17 平方厘米 360陰影部分的面積為100+21.17 =48.83平方厘米2、 如圖答19 13所示：圓心角 AOD勺度數(shù)為1

45、80 （ 18060X 2） = 120度扇形AOD勺面積為（6+2） 2X3.14 X1!0 =9.42平方厘米360陰影部分的面積為9.42 -31.2 X-1- X1 =5.52平方厘米 3+123、如圖答19-14 （1）所示：圓心角AOC勺度數(shù)為180 30X2 = 120度扇形AOC勺面積（12 + 2） 2X3.14 X120 =37.68平方厘米 360一,1一、一，三角形AOC勺面積為（12+2） X 5.2 X 2 =15.6平萬(wàn)厘米陰影部分的面積37.68 15.6 =22.08平方厘米如圖答19-14 （2）所示圓心角BOC勺讀書(shū)180 （ 180 30X 2） = 6

46、0度扇形ABD的面積602X3.14 X10 =942平方厘米360一 _1 一、一，三角形AOC勺面積（60 + 2） X 26X2 =390平萬(wàn)厘米扇形BOC勺面積（60 + 2） X 3.14 X 360 =471平方厘米陰影部分的面積942 390 471 = 81平方厘米第二十周面積計(jì)算（三）專題簡(jiǎn)析：對(duì)于一些比較復(fù)雜的組合圖形，有時(shí)直接分解有一定的困難，這時(shí)，可以通過(guò)把其中的部分圖形進(jìn)行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問(wèn)題”的原理來(lái)解答。在圓的半徑 r用小學(xué)知識(shí)無(wú)法求出時(shí)，可以把“ 2”整體地代入面積公式求面積。例題1。如圖20-1所示，求圖中陰影部分的面積。10

47、20 20 【思路導(dǎo)航】解法一：陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個(gè)等腰直角三角形（如圖202）,等腰直角三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半， 圓的半徑為20+2= 10厘米3.14X102x4 -10X （10 + 2）】X 2=107 （平方厘米）答：陰影部分的面積是107平方厘米。解法二：以等腰三角形底的中點(diǎn)為中心點(diǎn)。把圖的右半部分向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影部分的面積就變?yōu)閺陌霃綖?10厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米 的等腰直角三角形的面積所得的差。45°20 ,、21,、21（20+2） X2 （20+2） X2 =107 （平萬(wàn)厘米）答：陰影部分的

48、面積是107平方厘米。練習(xí)11、 如圖20 4所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）2、如圖20-5所示，用一張斜邊為 29厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊為49厘米的藍(lán)色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個(gè)直角三角形求紅藍(lán)兩張三角形紙片面積之和是多少?4929492920 20 例題2減去20 如圖20-6所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）4620 【思路導(dǎo)航】解法一：先用長(zhǎng)方形的面積減去小扇形的面積，得空白部分（a）的面積，再用大扇形的面積減去空白部分（a）的面積。如圖20 7所示。21,21、3.14X6 X4 （6X43.14 X4 X4 ） = 16.82 （平萬(wàn)厘米

49、）解法二：把陰影部分看作（1）和（2）兩部分如圖208所示。把大、小兩個(gè)扇形面積相加，剛好多計(jì)算了空白部分和陰影（1）的面積，即長(zhǎng)方形的面積。減加3.1420 2 12 1一、一.X4X4 +3.14 X6X 4X6=16.28 （平萬(wàn)厘米）答：陰影部分的面積是16.82平方厘米。練習(xí)2A2605B1、20 209所示，4ABC是等腰直角三角形,20 求陰影部分的面積（單位：厘米）02、如圖2010所示，三角形 ABC是直角三角形，AC長(zhǎng)4厘米，BC長(zhǎng)2厘米。以AG BC為直徑畫(huà)半圓，兩個(gè)半圓的交點(diǎn)在 AB邊上。求圖中陰影部分的面積。3、如圖2011所示，圖中平行四邊形的一個(gè)角為 60

50、6;,兩條邊的長(zhǎng)分別為6厘米和8厘米，高為5.2厘米。求圖中陰影部分的面積。例題3。在圖20-12中，正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，求圖中陰影部分的面積。20 【思路導(dǎo)航】20 20 2013 所解法一：先用正方形的面積減去一個(gè)整圓的面積，得空部分的一半（如圖示），再用正方形的面積減去全部空白部分?？瞻撞糠值囊话?10X10 (10+2) 2X3.14=21.5 (平方厘米)陰影部分的面積：10X10 21.5X2 = 57 （平方厘米）解法二：把圖中8個(gè)扇形的面積加在一起，正好多算了一個(gè)正方形（如圖2014所示），而8個(gè)扇形的面積又正好等于兩個(gè)整圓的面積。(10+2) 2X 3.14 X210X

51、10=57 (平方厘米)答：陰影部分的面積是57平方厘米。練習(xí)3求下面各圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）101043202020例題4在正方形ABC沖，AC= 6厘米。求陰影部分的面積。B20 【思路導(dǎo)航】這道題的難點(diǎn)在于正方形臥A這樣扇形的半徑也就不知道。B20我們可以看出，AC是等腰直角三角形 ACD的斜邊。根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱性可知，斜邊上的高等于斜邊的一半（如圖 2018所示），我們可以求出等腰直角三角形 ACD勺面積，進(jìn)而求出正方形ABCD勺面積, 即扇形半徑的平方。這樣雖然半徑未求出，但可以求出半徑的平方，也 可以把半徑的平方直接代入圓面積公式計(jì)算o既是正方形的面積，又是半徑的平方為：6X （6+2） X 2 = 18 （平方厘米）陰影部分的面積為：1818X3.14 + 4= 3.