加強(qiáng)逆向思維教學(xué)

1、加強(qiáng)逆向思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力建湖縣岡西初中 周 平摘要：逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要組成部分，是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體。加強(qiáng)從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維的培養(yǎng)，能有效地提高學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。本文以概念、定義、公式逆用、法則、定理、逆定理等教學(xué)及習(xí)題中的逆向變式訓(xùn)練等方面闡述了如何加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)。關(guān)鍵詞：逆向思維 拓展 自主探究逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問(wèn)題的相反方向著手的一種思維。它是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要原則，是創(chuàng)造思維的一個(gè)組成部分，也是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維過(guò)程也是培養(yǎng)學(xué)生思維敏捷性的過(guò)程。課堂教學(xué)結(jié)果表明：許多學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)

2、重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向?qū)W習(xí)公式、定理等并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開(kāi)拓精神。因此，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，正是數(shù)學(xué)能力增強(qiáng)的一種標(biāo)志。因此，我們?cè)谡n堂教學(xué)中務(wù)必加強(qiáng)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)與塑造。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是為了使學(xué)生獲得一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更是為了使學(xué)生獲得一定的數(shù)學(xué)能力，形成一定的數(shù)學(xué)意識(shí)，最終能分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維能力的培養(yǎng)，顯然是實(shí)現(xiàn)這一目的的重要手段。而逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，更是創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要

3、組成部分。當(dāng)人們?cè)谔幚砟承﹩?wèn)題上習(xí)慣于正向思維而處于“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困境時(shí)，逆向思維往往會(huì)使我們面前呈現(xiàn)“柳暗花明又一村”的醉人情景。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視學(xué)生思維的靈活性、敏捷性和深刻性的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)和思維能力。下面談?wù)勅绾卧诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的點(diǎn)滴體會(huì)。傳統(tǒng)的教學(xué)模式和現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材往往注重正向思維而淡化了逆向思維能力的培養(yǎng)。為全面推進(jìn)素質(zhì)教育，本人在多年教學(xué)實(shí)踐中常注重以下幾個(gè)方面的嘗試，獲得了一定的成效，現(xiàn)歸納如下：一、加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練1、在概念教學(xué)中注意培養(yǎng)反方向的思考與訓(xùn)練。數(shù)學(xué)概念、定義總是雙向的，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，只秉承了從

4、左到右的運(yùn)用，于是形成了定性思維，對(duì)于逆用公式法則等很不習(xí)慣。因此在概念的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解概念本身及其常規(guī)應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反過(guò)來(lái)思考，從而加深對(duì)概念的理解與拓展。例如：講述：同類二次根式時(shí)明確化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式是同類二次根式。反過(guò)來(lái)，若兩個(gè)根式是同類二次根式，則必須在化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同。例如：若與 是同類二次根式，求a，解題時(shí)，只要將2a+3 =4+a，即可求出a的值。在平面幾何定義、定理的教學(xué)中，滲透一定量的逆向思考問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)其可逆性與相互性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力大有裨益。例如：“互為余角”的定義教學(xué)中，可采用以下形式：A+B=90,A、B互為余角（正向思

5、維）。A、B互為余角。A+B90（逆向思維）。當(dāng)然，在平常的教學(xué)中，教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時(shí)給學(xué)生以訓(xùn)練。任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是可逆的。在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，不僅要從正面講清其含義，也應(yīng)重視定義的逆向應(yīng)用。使學(xué)生對(duì)概念有一個(gè)完整的了解，幫組學(xué)生透徹理解，形成牢固記憶。特別是在平面幾何入門階段，逆向思維訓(xùn)練尤為重要，能為以后的推理論證打下良好的基礎(chǔ)。如線段中點(diǎn)的概念，我們知道，若點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，則有：AC=BC或AC=BC= 1/2AB或AB=2AC=2BC，反之也應(yīng)理解，若以、式中的任一式為已知，且點(diǎn)C在線段AB上，都可以得到點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn)的結(jié)論。又如對(duì)“兩條不同的

6、直線不能有兩個(gè)或更多個(gè)公共點(diǎn)”，可以從逆向思維的角度來(lái)幫組學(xué)生理解：如果兩條直線有兩個(gè)或更多個(gè)公共點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)這兩個(gè)公共點(diǎn)就有兩條直線，這與公理“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”相矛盾，因此兩條不同的直線不能有兩個(gè)或更多個(gè)公共點(diǎn)。有時(shí)逆用定義還可以更簡(jiǎn)捷流暢地解決問(wèn)題。2、重視公式逆用的教學(xué)數(shù)學(xué)公式是我們解題的重要依據(jù)之一，但我們往往習(xí)慣于公式的正向思維，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向使用公式的訓(xùn)練明顯不足。因此，我們?cè)谶M(jìn)行公式教學(xué)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)公式是可以逆用的，并要進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練。公式從左到右及從右到左，這樣的轉(zhuǎn)換正是由正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)。因此，當(dāng)講授完一個(gè)公式及其應(yīng)用后，緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子

7、，可以給學(xué)生一個(gè)完整、豐滿的印象，開(kāi)闊思維空間。在代數(shù)中公式的逆向應(yīng)用比比皆是。如（a+b）(a-b)=a2-b2的逆應(yīng)用a2-b2（a+b）(a-b)，多項(xiàng)式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數(shù)冪的運(yùn)算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問(wèn)題，如：計(jì)算（1） 2200052001；（2）（ 2 ）100（-2）200；（3）2m4m0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復(fù)雜，甚至解答不了，靈活逆用所學(xué)的冪的運(yùn)算法則，則會(huì)出奇制勝。故逆向思維可充分發(fā)揮學(xué)生的思考能力，有利于思維廣闊性的培養(yǎng)，也可大大刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性與探索數(shù)學(xué)奧秘的興趣性。3、法則的逆向教學(xué)數(shù)學(xué)法則反映了一定的

8、數(shù)學(xué)規(guī)律，同時(shí)也揭示了解決某一類問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)中的運(yùn)算都有一個(gè)需要遵循的法則，而且許多運(yùn)算也都有一個(gè)與之并存的逆運(yùn)算。如加法與減法、乘法與除法、乘方與開(kāi)方等運(yùn)算，并且在一定的條件下它們之間還可以相互轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)可以互化加法與減法，利用倒數(shù)可以互化乘法與除法等等。在教學(xué)中講清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系并給以必要的逆向訓(xùn)練，能使學(xué)生深刻理解法則和靈活運(yùn)用法則.4、定理的逆向教學(xué)數(shù)學(xué)定理并非都是可逆的，在教學(xué)中除了要探討教材中給出的某些定理的逆定理，如勾股定理及其逆定理等，同時(shí)也要探索某些教材中沒(méi)有給出但卻存在的某些定理的逆定理，這樣不僅能鞏固、完備所學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的興趣，更能使學(xué)生的思

9、維多樣化，提高思維能力。如在教學(xué)定理“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合”后，可組織學(xué)生探討下列命題是否為真：有一角平分線平分對(duì)邊的三角形是等腰三角形，有一角平分線垂直于對(duì)邊的三角形是等腰三角形，有一邊上的中線垂直于這邊的三角形是等腰三角形等等。再如韋達(dá)定理的逆用等。5、加強(qiáng)逆定理的教學(xué)。每個(gè)定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，如：對(duì)頂角相等；相等的角是對(duì)頂角，經(jīng)過(guò)證明后成立即為逆定理。逆命題是尋找新定理的重要途徑。在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。如：平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理的性

10、質(zhì)與判定切線的性質(zhì)與判定等，舉例說(shuō)明：平行四邊形對(duì)邊平行；平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；反過(guò)來(lái)，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；仍然成立。注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對(duì)定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)應(yīng)用對(duì)開(kāi)闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處。6、多用“逆向變式”訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維。作為思維的一種形式，逆向思維蘊(yùn)育著創(chuàng)造思維的萌芽，它是創(chuàng)造性人才必備的思維品質(zhì)，也是人們學(xué)習(xí)和生活中必備的一種思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分認(rèn)識(shí)逆向思維的

11、作用，結(jié)合教材內(nèi)容，注重學(xué)生的逆向思維能力的訓(xùn)練，不僅能進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、開(kāi)闊思路，更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，還能達(dá)到激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造精神、提升學(xué)習(xí)能力的目的。 “逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成一種與原題目似曾相似的新題型。例如：已知，如圖，直線AB經(jīng)過(guò)0上的點(diǎn)C，且OA=OB，CA=CB，求證：直線AB是O的切線。可改變?yōu)椋阂阎鐖D，直線AB切O于C，且OA=OB，求證：AC=BC。或直線AB切BCA O O于C，且AC=BC，求證：AC=BC。再如：不解方程，請(qǐng)判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況?？勺兪綖椋阂阎P(guān)于x的方程2x2-6x+k=0，當(dāng)K取何值時(shí)？（1）

12、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。經(jīng)常進(jìn)行這些有針對(duì)性的“逆向變式”訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，對(duì)逆向思維的形成起著很大作用。7、強(qiáng)調(diào)某些基本教學(xué)方法，促進(jìn)逆向思維。數(shù)學(xué)的基本方法是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。其中的幾個(gè)重要方法：如逆推分析法，反證法等都可看做是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的主要途徑。比如在證明一道幾何命題時(shí)（當(dāng)然代數(shù)中也常用），老師常要求學(xué)生從所證的結(jié)論著手，結(jié)合圖形，已知條件，經(jīng)層層推導(dǎo)，問(wèn)題最終迎刃而解。養(yǎng)成“要證什么，則需先證什么，能證出什么”的思維方式，由果索因，直指已知。反證法也是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問(wèn)題直接證明有困難，可反過(guò)來(lái)思考，假

13、設(shè)所證的結(jié)論不成立，經(jīng)層層推理，設(shè)法證明這種假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而達(dá)到證明的目的。8、采用直觀教學(xué)，為學(xué)生提供逆向思維的基礎(chǔ)馬克思主義哲學(xué)告訴我們，感性認(rèn)識(shí)是理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，理性認(rèn)識(shí)依賴于感性認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用必要的教具、模型、幻燈、多媒體等進(jìn)行直觀教學(xué)，能使學(xué)生的多種器官協(xié)同參與思維活動(dòng)，獲得較多的感性認(rèn)識(shí)，提高思維的興趣和效率。必要的教具、模型、幻燈和多媒體可以逼真地展現(xiàn)某個(gè)事物、某個(gè)事件、某種活動(dòng)的全貌，可以更有效地激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生的正向思維清晰明了，也為學(xué)生進(jìn)行逆向思維提供了可靠的基礎(chǔ)。另一方面，通過(guò)使用多媒體等現(xiàn)代教學(xué)手段，可反向呈現(xiàn)某些活動(dòng)或過(guò)程，有利于學(xué)生的逆向思維的進(jìn)行。

14、通過(guò)這些數(shù)學(xué)基本方法的訓(xùn)練，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題用一種方法解決不了時(shí)，常轉(zhuǎn)換思維方向，可進(jìn)行反面思考，從而提高逆向思維能力。二、加強(qiáng)解題教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要手段之一，因此教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分進(jìn)行逆向分析，以提高學(xué)生的解題能力。1.順推不行則逆推有些數(shù)學(xué)題，直接從已知條件入手來(lái)解，會(huì)得到多個(gè)結(jié)論，導(dǎo)致中途迷失方向，使得解題無(wú)法進(jìn)行下去。此時(shí)若運(yùn)用分析法，從命題的結(jié)論出發(fā)，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解題途徑。2.正面不行用反面這里的反面指的是用反證法，是初中階段兩大間接證發(fā)中的一種，另一種是同一法。3.直接不行換間接還有一些數(shù)學(xué)題，當(dāng)我們直接去尋求結(jié)果十分困難時(shí)，可考察問(wèn)題中的其他相關(guān)元素從而間接求得結(jié)果。總之，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅對(duì)提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開(kāi)拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)。當(dāng)然，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，必須具備豐富而扎實(shí)的“雙基”知識(shí)，量力而行，適可而止，且有機(jī)有節(jié)地長(zhǎng)期進(jìn)行養(yǎng)成訓(xùn)練，切不可急于求成，特別是對(duì)中、下面學(xué)生而言，過(guò)于強(qiáng)調(diào)這方面的能力，會(huì)增加其課業(yè)負(fù)擔(dān)與精神壓