《工程數學(本)》作業(yè)答案(2)

1、工程數學（本）作業(yè)答案（2）第3章線性方程組（-）單項選擇題（每小題2分，共16分）L %| + 2x2 - 4"3 = 1 X1 .用消元法得X, +占=0的解X?為（C ）.-x3 =2_x3_A.B. -7,2,-2/C了D.x + 2x2 + 313 = 22 .線性方程組內-x3 =6- 3x2 + 3x3 = 4A.有無窮多解 B.有唯一解C.無解D.只有零解3.向量組的秩為（B ）是極大無關組.A.秩（A）=秩（4）C.秩（A）秩（不）5 . A與不分別代表一個線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（D）.B.秩（4）秩（4）D.秩（從）=秩（不）-16

2、.若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A ）.A.可能無解 B.有唯一解 C.有無窮多解D.無解7 .以下結論正確的是（D ）.A.方程個數小于未知量個數的線性方程組一定有解8 .方程個數等于未知量個數的線性方程組一定有唯一解C.方程個數大于未知量個數的線性方程組一定有無窮多解D.齊次線性方程組一定有解8 .若向量組a?，線性相關，則向量組內（A ）可被該向量組內其余向量線性 表出.A.至少有一個向量B.沒有一個向量C.至多有一個向量D.任何一個向量9 .設A, B為階矩陣，九既是A又是B的特征值，x既是A又是B的屬于丸的特征向 量，則結論（）成立.A. 4是AB的特

3、征值B.義是A+B的特征值C. 4是A-B的特征值D. x是A+B的屬于2的特征向量10.設A, B, P為階矩陣，若等式（C ）成立，則稱A和B相似.A. AB=BA B. （ABY = ABC. PAP- =B D. PAP' = B（二）填空題（每小題2分，共16分）x. + Xa = 01 .當4=1 時,齊次線性方程組2 有非零解.AXX +X2 = 02 .向量組a =0,0,0,% =1，1川線性相關 .3 .向量組1,2,3, 1,2,0, 1,0,0, 0,0,0的秩是二4 .設齊次線性方程組名玉+%+。3/=0的系數行列式氏 % %| =。，則這個方 程組有 無窮多

4、 解,且系數列向量一是線性相關 的.5 .向量組=l,o,2 =0,1,3 =°，°的極大線性無關組是4，%6 .向量組/，%，4的秩與矩陣% ,%，.，%的秩相同 .7 .設線性方程組AX=0中有5個未知量，且秩（A） = 3,則其基礎解系中線性無關的解向量有 2 個.8 .設線性方程組AX=有解，X。是它的一個特解，且AX=0的基礎解系為XX2, 則 AX= 的通解為 X0+&X| +k2X2.9 .若是A的特征值，則4是方程|R 一固=0的根.10 .若矩陣A滿足aT=A',則稱A為正交矩陣.（三）解答題（第1小題9分，其余每小題11分）I.用消元法解

5、線性方程組 3x2 _ 2x3 - x4 = 6 3x1 - 8x2 +x3 + 5x4 = 0-2X1 + X1= -12-x, + 4x2 一 七 一 3x4 = 2, 1-3-2-1.6木+，2.1-3-2A =3-81502n+n4+n、017-21-41-120-5-8-14-1-32 .01-3解. nrv 3+c01923-48"0191、°178-18i017J°03-312j001。056T3.005-1'I3與m,019238-185n+nF”4 41_00-10-1223-48T9n+4F0 0428-1

6、8-7n+m f+為°1 015-14J°0 1-16-13。0 011-4878-9026 .-124-464-3310042-124'-42+q I00士 )01015-46-15q+gCi+片、010001-14J001_0001-3 ._000a=z0-1方程組解為卜2=-10 1X3=l1 - 3x4 = -32 ,設有線性方程組1152為何值時，方程組有唯一解?或有無窮多解?2 1A = 1 A1 1解： 一1112> 1A1 2A2 A1一萬12萬% 11 A 4(1 一儲0(2 + 2)(l-A) (1 + 2)(1-X)2萬2-221-23

7、4判斷向量/能否由向量組出線性表出，若能，寫出一種表出方式.當見工1且丸工一2時，R（A） = R（不） = 3,方程組有唯一解 當丸=1時，R（A） = R（對=1,方程組有無窮多解其中解：向量夕能否由向量組%.%,%線性表出，當且僅當方程組玉+%£+%七=尸有解-2 3一 5-8"無=%,%，03，洌=7 -51 0一 63-37>.3 - 21-10這里103701-3410010-1170005713 -1-7 -3809 -313 一3一110001218 0 0R(A) * R(A)方程組無解0不能由向量,% ,%線性表出4 .計算下列向量組的秩，并且（1

8、）判斷該向量組是否線性相關5,求齊次線性方程組9X 3x2 + £ - 2x4 = 05 a- + X2 2工3 + 3工4 = 0X 112 + 2工彳-5x4=03占 + 5x2+ 4x4 = 0的一個基礎解系.10514321110013 >01142vz000300000000一， 14 *5I"!514- 210()14313 三0 1 一 014214° 10 0010010 000方程組的一般解為抬=二143令%=1,得基礎解系f =140 15146.求下列線性方程組的全部解.x. - 5a* + 2x. - 3x. = 113X + %2

9、4工3 += -5<%1 - 9x2_ 4Xq = 1 75工+ 3x2 + 6x3 - x4 = -11280 01 - 27 ) 一 -o o 9-72 o o-A試證:a =-7-91-71 O-10，a,=0 一0任一 4維向量尸=4,。2，。3，0»1都可由向量組1 1 1001線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式.10證明：4 = 00004-仁2=0任一4維向量可唯一表示為= （4-a2 ）0（1 +（。2 一43）% +（3 44）&3 +a4a4+。2(。2 4) +。3(。3 4) +。4(% 一。3)8.試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充

10、分必要條件是：相應的齊次線性方程組 只有零解.證明：設AX = 8為含個未產量的線性方程組 該方程組有解，即R(,) = R(A) = 從而AX = 3有唯一解當且僅當R(A) = 而相應齊次線性方程組AX = 0只有零解的充分必要條件是R(A) = n. AX = 3有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組AX=O只有零解9 .設2是可逆矩陣A的特征值，且;1工0,試證：工是矩陣at的特征值.證明：4是可逆矩陣A的特征值/.存在向量使從=雞.= d A 烤=A” (Ag) = A-(有)=打？ = JA即_1是矩陣A-的特征值A10 .用配方法將二次型/ = X； + X； + X； + X： + 2內一 2x2a-4 - 2x2A-3 + 2x3x4化為標準 型.解:f =(內 + X2)2 + 父 + X： -2x2.¥4 -2x2X3 + 2X3X4 =(X)+x2)2 +x3 + 2x3(-.¥2 + U)+ x； - 2x2x4