五年級(jí)數(shù)論數(shù)論綜合一學(xué)生版

1、知識(shí)要點(diǎn)/ 一、常見數(shù)字的整除判定方法1 1. 一個(gè)數(shù)的末位能被 2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被 2或5整除；一個(gè)數(shù)的末兩位能被 4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被 4或25整除；一個(gè)數(shù)的末三位能被 8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被 8或125整除；2 .一個(gè)位數(shù)數(shù)字和能被 3整除，這個(gè)數(shù)就能被 3整除；一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被 9整除；3 .如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除.4 .如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除.【備注】(以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.)二、整

2、除性質(zhì)性質(zhì)1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被 c整除.即如果c I a, c I b,那么 c I (a b).性質(zhì)2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a, c I b,那么 c I a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么 a也能被b或c整除.即如果bc I a, 那么 b I a, c I a.性質(zhì)4如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù) c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a 一定能被 b與c的乘積整除.即如果 b I a, c I a,且(b , c)=1 ,那么bc I a.例如：如果 3 I 12,

3、4 I 12,且(3 , 4)=1 ,那么(3 X 4) I 12.性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除.如果b | a,那么bm| am (m為 非0整數(shù))；性質(zhì)6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除.如果b |1a ,且 d | c ,那么 bd | ac;常見數(shù)的整除問題【例1 已知道六位數(shù)20口279是13的倍數(shù)，求口中的數(shù)字是幾?【例2】173 口是個(gè)四位數(shù)字。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個(gè)口中先后填人3個(gè)數(shù)字，所得到的 3個(gè)四位數(shù),依次可被9、11、6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少?【例3】 在六位數(shù)11 11中的兩個(gè)方框內(nèi)各填

4、入一個(gè)數(shù)字, 兩位數(shù)是多少？使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的【例4 在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使4口32口是9的倍數(shù).請(qǐng)隨便填出一種,并檢查自己填的是否正確；一共有多少種滿足條件的填法?【例5】（2008年第一屆“學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)2試）a, b, c, d各代表一個(gè)不同的非零數(shù)字，如果abcd是13的倍數(shù)，bcda是11的倍數(shù)，cdab是9的倍數(shù)，dabc是7的倍數(shù)，那么abcd【例6】（ 2008年第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競賽五年級(jí)決賽）多位數(shù)2009和09L 220g9736 ,能被11整除,n 2009n最小值為。日。在表示1996年3月份和4月份日期的6

5、1個(gè)六位數(shù)中，能被3整除的六位數(shù)共有個(gè)。960310表示 1996 年 3月 10【例7】（第七屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競賽初賽）用六位數(shù)可以表示日期，例如,【例8】 各位數(shù)碼是0、1或2,且能被225整除的最小自然數(shù)是多少?【例9】 張老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)シN樹，學(xué)生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學(xué)生共種樹 312棵，老師與學(xué)生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵.問：一共有多少學(xué)生？每人種了幾棵樹？【例10】在865后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可能的小?！纠?1】從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字中選出五個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，使它能 被3

6、、5、7、13整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？12 】 修改 31743 的某一個(gè)數(shù)字，可以得到 823 的倍數(shù)。問修改后的這個(gè)數(shù)是幾？13 】 有些數(shù)既能表示成3 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和請(qǐng)你找出 700 至 1000 之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡述理由 .14 】 用數(shù)字 6， 7， 8 各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被 168整除。這個(gè)六位數(shù)是多少？15 】 一個(gè)十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為“十全數(shù)” ，例如， 3785942160 就是一 個(gè)十全數(shù).現(xiàn)已知一個(gè)十全數(shù)能被1, 2, 3,，18整除，并且它的前四位數(shù)是48

7、76,那么這個(gè)十全數(shù)是多少？【例16】把若干個(gè)自然數(shù) 1、2、3、連乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末十三位恰好都是零，那 么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是多少？最大是多少？17 】 從左向右編號(hào)為1 至 1991 號(hào)的 1991 名同學(xué)排成一行從左向右1 至 11 報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為 11 的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右1 至 11 報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為 11 的同學(xué)留下，其余的同學(xué)出列； 留下的同學(xué)第三次從左向右1 至 1l 報(bào)數(shù)， 報(bào)到 11 的同學(xué)留下， 其余同學(xué)出列 那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是 【例18】在1、2、3、42007這2007個(gè)數(shù)中有多少個(gè)自然

8、數(shù) a能使2008+a能被2007-a整除。【例19以多位數(shù)142857為例，說明被 差能否被11整除.11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的【例20已知兩個(gè)三位數(shù)abc與def的和abc def能被37整除，試說明：六位數(shù)abcdef也能被37整除.【例211兩個(gè)四位數(shù)A275和275B相乘，要使它們的乘積能被72整除，求A和B.【例22為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由 7個(gè)數(shù)字組成，它們不是 1、2就是3.在密碼中1的 數(shù)目比2多，2的數(shù)目比3多，而且密碼能被 3和16所整除.試問密碼是多少？【例231 一個(gè)19位數(shù)7723704442 44s4能被13整除，求0內(nèi)的

9、數(shù)字-99【例241多位數(shù)20094P29L ?項(xiàng)9736 ,能被11整除，n最小值為多少?n 個(gè) 2009【例25三位數(shù)的百位、十位和個(gè)位的數(shù)字分別是5,a和b,將它連續(xù)重復(fù)寫2008次成為：5ab54bL44512009個(gè),5ab如果此數(shù)能被91整除，那么這個(gè)三位數(shù) 5ab是多少?【例26試說明一個(gè)4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是反序數(shù)為6321,它們的和7557是11的倍數(shù).)11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對(duì)應(yīng)的【例271至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈.針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)(例如，在 1請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開，分別按順時(shí)和7之間剪開，得到兩個(gè)數(shù)是 1934

10、26857和396整除，那么剪開處左右兩個(gè)數(shù)字758624391).如果要求剪開后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被 的乘積是多少？【例28個(gè)六位數(shù)abcdef如果滿足4abcdef fabcde則稱abcdef為迎春數(shù)(如4 102564 410256,則 102564就是“迎春數(shù)”).請(qǐng)你求出所有“迎春數(shù)”的總和整除與其他知識(shí)綜合性題目【例29在小于5000的自然數(shù)中，能被 11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個(gè)【例30】用1, 9, 8, 8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？【例31】在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)?【例32】有15位

11、同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是 1號(hào)到15號(hào)，1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，其余各位 同學(xué)都說這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)數(shù)整除.1號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問：說的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？如果告訴你1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)找出這個(gè)數(shù).【例33】某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號(hào)分別是1, 2,，12.他們的電話號(hào)碼依次是 12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號(hào)碼都能被這家的門牌號(hào)整除，已知這些電話號(hào)碼的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號(hào)是9的這一家的電話號(hào)碼也能被 13整除，問：這一家的電話號(hào)碼是什么數(shù)？【例 34】 已知：23! 258D20C673888

12、49766AB000 .貝U DCB A ?【例35】有一個(gè)九位數(shù)abcdefghi的各位數(shù)字都不相同且全都不為0,并且二位數(shù)ab可被2整除，三位數(shù)詼可被3整除，四位數(shù) 說 可被4整除，依此類推，九位數(shù) abcdefghi可被9整除.請(qǐng)問 這個(gè)九位數(shù)abcdefghi是多少？【練習(xí)1】 若a1a2a3a4a能被11整除，求滿足條件的整數(shù)a。【練習(xí)2】 將1996加一個(gè)整數(shù)，使和能被23與19整除，加的整數(shù)要盡可能小，那么所加的整數(shù)是 【練習(xí)3】 從0、1、2、4、7五個(gè)數(shù)中選出三個(gè)組成三位數(shù)，其中能被3整除的有 個(gè)?！揪毩?xí)4】一個(gè)五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字正好是連續(xù)的五個(gè)非零自然數(shù)。這個(gè)數(shù)能否被

13、9整除。【練習(xí)5 如果七位數(shù)2008D能同時(shí)被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位數(shù)【練習(xí)6 有的自然數(shù)能被它自己的數(shù)字和整除，例如24,試再寫出6個(gè)位數(shù)不同的數(shù)字沒有 0的自然數(shù),每一個(gè)都能被自己的數(shù)字和整除： 。【練習(xí)7】 求被11整除且數(shù)字和等于 43的五位數(shù)?！揪毩?xí)8 六位數(shù)x1991y ,能被52整除，那么x , y 【練習(xí)9】（2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽四 年級(jí)決賽）207, 2007, 20007, L首位是2,個(gè)位是7,中間數(shù)字全部是0的數(shù)字中，能被 27整除而不能被81整除的最小數(shù)是。【練習(xí)10】把三位數(shù)

14、3ab接連重復(fù)地寫下去，共有2009個(gè)3ab ,所得的這個(gè)多位數(shù)恰好是 91的倍數(shù)。求ab 等于多少？【練習(xí)11】有一個(gè)正整數(shù)它的數(shù)碼為 0或1,它可同時(shí)被45與4整除。請(qǐng)問滿足上述條件的最小正整數(shù)是 多少？【練習(xí)12】一個(gè)四位數(shù)能被9整除，去掉末位數(shù)字后所得到的三位數(shù)恰是4的倍數(shù)，這樣的四位數(shù)中最大一個(gè)的末位數(shù)字是幾？【鞏固】六位數(shù)20WW08能被99整除，WW多少?【鞏固】六位數(shù)20口口08能被49整除，口中的數(shù)是多少?【鞏固】731口是一個(gè)四位數(shù)，在 口中依次填入三個(gè)數(shù)字，使所組成的三個(gè)四位數(shù)，依次能被9、11、6整除，這三個(gè)數(shù)之和是 ?！眷柟獭磕硞€(gè)七位數(shù)1993口口能夠同時(shí)被 2, 3

15、, 4, 5, 6, 7, 8, 9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次 是多少？鞏 固 】 如 果六位數(shù) 1992 能被 105 整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？【鞏固】已知四H一位數(shù)555口999 （其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是 多少？【鞏固】（2008 “數(shù)學(xué)解題能力展示”初賽）已知九位數(shù)2007n 12a2既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么,這個(gè)九位數(shù)是多少？鞏固】 一位后勤人員買了 72 本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個(gè)數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共口 67.9 口元（口為被燒掉的數(shù)字），請(qǐng)把口處數(shù)字補(bǔ)上，并求筆記本的

16、單價(jià).鞏固】 有一個(gè)五位數(shù)可同時(shí)被9和 11整除。若將這個(gè)五位數(shù)的第一位、第三位與第五位數(shù)碼移除，則可得到一個(gè)兩位數(shù)35 ；若將這個(gè)五位數(shù)的前三位數(shù)碼移除，則剩下的兩位數(shù)可被9 整除；若將這個(gè)五位數(shù)的末三位數(shù)碼移除，則剩下的兩位數(shù)也可以被9 整除，請(qǐng)問這個(gè)五位數(shù)是什么？【鞏固】求滿足下面各小題條件的整數(shù)a：1) 8|a1a2a3a4a 2) 9|a1a2a3a4a 3) 11|a1a2a3a4a【鞏固】由1, 3, 4, 5, 7, 8這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被 11整除的最大的數(shù)是多少?【鞏固】有些六位數(shù)，組成六位數(shù)的六個(gè)數(shù)字都不相同，而相鄰兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)能被3整除,這樣的六位數(shù)

17、一共有幾個(gè)？【鞏固】(2008年第三屆“巨人杯”綜合素質(zhì)評(píng)估六年級(jí))從199中選出連續(xù)3個(gè)自然數(shù)，使得它們的乘積能被30整除，一共有 種選法?！眷柟獭磕嘲嗤瑢W(xué)在班主任老師帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平均分成三組， 如果老師與學(xué)生每人種樹一樣多,共種了 1073棵，那么平均每人種了棵樹？【鞏固】在523后面寫出三個(gè)數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除.那么這三個(gè)數(shù)字的和是多少【鞏固】要使15abe6能被36整除，而且所得的商最小，那么 a,b,c分別是多少?鞏固】 請(qǐng)求出最大的七位數(shù)，使得它能被3、 5、 7、 11、 13 整除，且各位數(shù)字互不相同，這個(gè)七位數(shù)是多少？鞏 固 】 某 個(gè)自然數(shù)既能寫成

18、9 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，還同時(shí)可以寫成個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，也能寫成11【鞏固】a是一個(gè)三位數(shù).它的百位數(shù)字是4, a 9能被7整除，a 7能被9整除，問a是多少?鞏 固 】 將 數(shù)字 4 ， 5， 6， 7， 8 ， 9 各使用一次，組成一個(gè)被667 整除的 6 位數(shù)，那么，這個(gè)6 位數(shù)除以667 的結(jié)果是多少？鞏 固 】 從 50 到 100 的這 51 個(gè)自然數(shù)的乘積的末尾有多少個(gè)連續(xù)的 0？【鞏固】975 935 972 W,要使這個(gè)連乘積的最后4個(gè)數(shù)字都是0,那么在方框內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)?鞏 固 】 11 個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343 整除， 且乘積的末4 位都是 0， 那么這 11 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？【鞏固】以多位數(shù)142857314275為例，說明被7、11、13整除的規(guī)律【鞏固】如果abcde能被6整除，那么2(a b c d) e也能被6整除.【鞏固】若4b 2c d 32 ,試問abcd能否被8整除【鞏固】若四位數(shù)9a8a能被15整除，則a代表的數(shù)字是多少?2就是3.在密碼中2的數(shù)目66L3