五年級數(shù)論數(shù)論綜合一學生版

1、知識要點/ 一、常見數(shù)字的整除判定方法1 1. 一個數(shù)的末位能被 2或5整除，這個數(shù)就能被 2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被 4或25整除，這個數(shù)就能被 4或25整除；一個數(shù)的末三位能被 8或125整除，這個數(shù)就能被 8或125整除；2 .一個位數(shù)數(shù)字和能被 3整除，這個數(shù)就能被 3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被 9整除；3 .如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4 .如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、11或13整除.【備注】(以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立.)二、整

2、除性質(zhì)性質(zhì)1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被 c整除.即如果c I a, c I b,那么 c I (a b).性質(zhì)2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a, c I b,那么 c I a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么 a也能被b或c整除.即如果bc I a, 那么 b I a, c I a.性質(zhì)4如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù) c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a 一定能被 b與c的乘積整除.即如果 b I a, c I a,且(b , c)=1 ,那么bc I a.例如：如果 3 I 12,

3、4 I 12,且(3 , 4)=1 ,那么(3 X 4) I 12.性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除.如果b | a,那么bm| am (m為 非0整數(shù))；性質(zhì)6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除.如果b |1a ,且 d | c ,那么 bd | ac;常見數(shù)的整除問題【例1 已知道六位數(shù)20口279是13的倍數(shù)，求口中的數(shù)字是幾?【例2】173 口是個四位數(shù)字。數(shù)學老師說：“我在這個口中先后填人3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù),依次可被9、11、6整除?！眴枺簲?shù)學老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少?【例3】 在六位數(shù)11 11中的兩個方框內(nèi)各填

4、入一個數(shù)字, 兩位數(shù)是多少？使此數(shù)能被17和19整除，那么方框中的【例4 在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使4口32口是9的倍數(shù).請隨便填出一種,并檢查自己填的是否正確；一共有多少種滿足條件的填法?【例5】（2008年第一屆“學而思杯”綜合素質(zhì)測評六年級2試）a, b, c, d各代表一個不同的非零數(shù)字，如果abcd是13的倍數(shù)，bcda是11的倍數(shù)，cdab是9的倍數(shù)，dabc是7的倍數(shù)，那么abcd【例6】（ 2008年第七屆“小機靈杯”數(shù)學競賽五年級決賽）多位數(shù)2009和09L 220g9736 ,能被11整除,n 2009n最小值為。日。在表示1996年3月份和4月份日期的6

5、1個六位數(shù)中，能被3整除的六位數(shù)共有個。960310表示 1996 年 3月 10【例7】（第七屆小數(shù)報數(shù)學競賽初賽）用六位數(shù)可以表示日期，例如,【例8】 各位數(shù)碼是0、1或2,且能被225整除的最小自然數(shù)是多少?【例9】 張老師帶領同學們?nèi)シN樹，學生的人數(shù)恰好等分成三組.已知老師和學生共種樹 312棵，老師與學生每人種的樹一樣多，并且不超過10棵.問：一共有多少學生？每人種了幾棵樹？【例10】在865后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能的小?！纠?1】從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字中選出五個不同的數(shù)字組成一個五位數(shù)，使它能 被3

6、、5、7、13整除，這個數(shù)最大是多少？12 】 修改 31743 的某一個數(shù)字，可以得到 823 的倍數(shù)。問修改后的這個數(shù)是幾？13 】 有些數(shù)既能表示成3 個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4 個連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5 個連續(xù)自然數(shù)的和請你找出 700 至 1000 之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡述理由 .14 】 用數(shù)字 6， 7， 8 各兩個，組成一個六位數(shù)，使它能被 168整除。這個六位數(shù)是多少？15 】 一個十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為“十全數(shù)” ，例如， 3785942160 就是一 個十全數(shù).現(xiàn)已知一個十全數(shù)能被1, 2, 3,，18整除，并且它的前四位數(shù)是48

7、76,那么這個十全數(shù)是多少？【例16】把若干個自然數(shù) 1、2、3、連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那 么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應該是多少？最大是多少？17 】 從左向右編號為1 至 1991 號的 1991 名同學排成一行從左向右1 至 11 報數(shù)，報數(shù)為 11 的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向右1 至 11 報數(shù)，報數(shù)為 11 的同學留下，其余的同學出列； 留下的同學第三次從左向右1 至 1l 報數(shù)， 報到 11 的同學留下， 其余同學出列 那么最后留下的同學中，從左邊數(shù)第一個人的最初編號是 【例18】在1、2、3、42007這2007個數(shù)中有多少個自然

8、數(shù) a能使2008+a能被2007-a整除。【例19以多位數(shù)142857為例，說明被 差能否被11整除.11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的【例20已知兩個三位數(shù)abc與def的和abc def能被37整除，試說明：六位數(shù)abcdef也能被37整除.【例211兩個四位數(shù)A275和275B相乘，要使它們的乘積能被72整除，求A和B.【例22為了打開銀箱，需要先輸入密碼，密碼由 7個數(shù)字組成，它們不是 1、2就是3.在密碼中1的 數(shù)目比2多，2的數(shù)目比3多，而且密碼能被 3和16所整除.試問密碼是多少？【例231 一個19位數(shù)7723704442 44s4能被13整除，求0內(nèi)的

9、數(shù)字-99【例241多位數(shù)20094P29L ?項9736 ,能被11整除，n最小值為多少?n 個 2009【例25三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5,a和b,將它連續(xù)重復寫2008次成為：5ab54bL44512009個,5ab如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù) 5ab是多少?【例26試說明一個4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是反序數(shù)為6321,它們的和7557是11的倍數(shù).)11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對應的【例271至9這9個數(shù)字，按圖所示的次序排成一個圓圈.針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)(例如，在 1請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時和7之間剪開，得到兩個數(shù)是 1934

10、26857和396整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字758624391).如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被 的乘積是多少？【例28個六位數(shù)abcdef如果滿足4abcdef fabcde則稱abcdef為迎春數(shù)(如4 102564 410256,則 102564就是“迎春數(shù)”).請你求出所有“迎春數(shù)”的總和整除與其他知識綜合性題目【例29在小于5000的自然數(shù)中，能被 11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個【例30】用1, 9, 8, 8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位數(shù)？【例31】在1至2008這2008個自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個?【例32】有15位

11、同學，每位同學都有編號，他們是 1號到15號，1號同學寫了一個自然數(shù)，其余各位 同學都說這個數(shù)能被自己的編號數(shù)整除.1號作了檢驗：只有編號連續(xù)的兩位同學說的不對，其余同學都對，問：說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？如果告訴你1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請找出這個數(shù).【例33】某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1, 2,，12.他們的電話號碼依次是 12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被 13整除，問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？【例 34】 已知：23! 258D20C673888

12、49766AB000 .貝U DCB A ?【例35】有一個九位數(shù)abcdefghi的各位數(shù)字都不相同且全都不為0,并且二位數(shù)ab可被2整除，三位數(shù)詼可被3整除，四位數(shù) 說 可被4整除，依此類推，九位數(shù) abcdefghi可被9整除.請問 這個九位數(shù)abcdefghi是多少？【練習1】 若a1a2a3a4a能被11整除，求滿足條件的整數(shù)a?！揪毩?】 將1996加一個整數(shù)，使和能被23與19整除，加的整數(shù)要盡可能小，那么所加的整數(shù)是 【練習3】 從0、1、2、4、7五個數(shù)中選出三個組成三位數(shù)，其中能被3整除的有 個?！揪毩?】一個五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字正好是連續(xù)的五個非零自然數(shù)。這個數(shù)能否被

13、9整除?！揪毩? 如果七位數(shù)2008D能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位數(shù)【練習6 有的自然數(shù)能被它自己的數(shù)字和整除，例如24,試再寫出6個位數(shù)不同的數(shù)字沒有 0的自然數(shù),每一個都能被自己的數(shù)字和整除： ?！揪毩?】 求被11整除且數(shù)字和等于 43的五位數(shù)。【練習8 六位數(shù)x1991y ,能被52整除，那么x , y 【練習9】（2008年第六屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青少年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽四 年級決賽）207, 2007, 20007, L首位是2,個位是7,中間數(shù)字全部是0的數(shù)字中，能被 27整除而不能被81整除的最小數(shù)是?！揪毩?0】把三位數(shù)

14、3ab接連重復地寫下去，共有2009個3ab ,所得的這個多位數(shù)恰好是 91的倍數(shù)。求ab 等于多少？【練習11】有一個正整數(shù)它的數(shù)碼為 0或1,它可同時被45與4整除。請問滿足上述條件的最小正整數(shù)是 多少？【練習12】一個四位數(shù)能被9整除，去掉末位數(shù)字后所得到的三位數(shù)恰是4的倍數(shù)，這樣的四位數(shù)中最大一個的末位數(shù)字是幾？【鞏固】六位數(shù)20WW08能被99整除，WW多少?【鞏固】六位數(shù)20口口08能被49整除，口中的數(shù)是多少?【鞏固】731口是一個四位數(shù)，在 口中依次填入三個數(shù)字，使所組成的三個四位數(shù)，依次能被9、11、6整除，這三個數(shù)之和是 ?！眷柟獭磕硞€七位數(shù)1993口口能夠同時被 2, 3

15、, 4, 5, 6, 7, 8, 9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次 是多少？鞏 固 】 如 果六位數(shù) 1992 能被 105 整除，那么它的最后兩位數(shù)是多少？【鞏固】已知四H一位數(shù)555口999 （其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是 多少？【鞏固】（2008 “數(shù)學解題能力展示”初賽）已知九位數(shù)2007n 12a2既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)；那么,這個九位數(shù)是多少？鞏固】 一位后勤人員買了 72 本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數(shù)燒去兩個數(shù)字.帳本是這樣的：72本筆記本，共口 67.9 口元（口為被燒掉的數(shù)字），請把口處數(shù)字補上，并求筆記本的

16、單價.鞏固】 有一個五位數(shù)可同時被9和 11整除。若將這個五位數(shù)的第一位、第三位與第五位數(shù)碼移除，則可得到一個兩位數(shù)35 ；若將這個五位數(shù)的前三位數(shù)碼移除，則剩下的兩位數(shù)可被9 整除；若將這個五位數(shù)的末三位數(shù)碼移除，則剩下的兩位數(shù)也可以被9 整除，請問這個五位數(shù)是什么？【鞏固】求滿足下面各小題條件的整數(shù)a：1) 8|a1a2a3a4a 2) 9|a1a2a3a4a 3) 11|a1a2a3a4a【鞏固】由1, 3, 4, 5, 7, 8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被 11整除的最大的數(shù)是多少?【鞏固】有些六位數(shù)，組成六位數(shù)的六個數(shù)字都不相同，而相鄰兩個數(shù)字組成的兩位數(shù)能被3整除,這樣的六位數(shù)

17、一共有幾個？【鞏固】(2008年第三屆“巨人杯”綜合素質(zhì)評估六年級)從199中選出連續(xù)3個自然數(shù)，使得它們的乘積能被30整除，一共有 種選法?！眷柟獭磕嘲嗤瑢W在班主任老師帶領下去種樹，學生恰好平均分成三組， 如果老師與學生每人種樹一樣多,共種了 1073棵，那么平均每人種了棵樹？【鞏固】在523后面寫出三個數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除.那么這三個數(shù)字的和是多少【鞏固】要使15abe6能被36整除，而且所得的商最小，那么 a,b,c分別是多少?鞏固】 請求出最大的七位數(shù)，使得它能被3、 5、 7、 11、 13 整除，且各位數(shù)字互不相同，這個七位數(shù)是多少？鞏 固 】 某 個自然數(shù)既能寫成

18、9 個連續(xù)自然數(shù)的和，還同時可以寫成個連續(xù)自然數(shù)的和，那么這樣的自然數(shù)最小可以是幾？10 個連續(xù)自然數(shù)的和，也能寫成11【鞏固】a是一個三位數(shù).它的百位數(shù)字是4, a 9能被7整除，a 7能被9整除，問a是多少?鞏 固 】 將 數(shù)字 4 ， 5， 6， 7， 8 ， 9 各使用一次，組成一個被667 整除的 6 位數(shù)，那么，這個6 位數(shù)除以667 的結果是多少？鞏 固 】 從 50 到 100 的這 51 個自然數(shù)的乘積的末尾有多少個連續(xù)的 0？【鞏固】975 935 972 W,要使這個連乘積的最后4個數(shù)字都是0,那么在方框內(nèi)最小應填什么數(shù)?鞏 固 】 11 個連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343 整除， 且乘積的末4 位都是 0， 那么這 11 個數(shù)的平均數(shù)是多少？【鞏固】以多位數(shù)142857314275為例，說明被7、11、13整除的規(guī)律【鞏固】如果abcde能被6整除，那么2(a b c d) e也能被6整除.【鞏固】若4b 2c d 32 ,試問abcd能否被8整除【鞏固】若四位數(shù)9a8a能被15整除，則a代表的數(shù)字是多少?2就是3.在密碼中2的數(shù)目66L3