課題平面幾何圖形面積的求解與應(yīng)用二

1、課題平面幾何圖形面積的求解 與應(yīng)用（二）作者: 日期:課題：平面幾何圖形面積的求解與應(yīng)用（二）x教學(xué)目的：知識(shí)與技能：會(huì)應(yīng)用函數(shù)思想表示幾何圖形的面積；已知面積（比）求函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù)過(guò)程與方法：讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、交流、計(jì)算等過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、歸納的良好思維習(xí)慣和合作與交流的能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、交流、歸納等學(xué)習(xí)活動(dòng)，感受合作交流的學(xué)習(xí)方式，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn):重點(diǎn)是掌握分割幾何圖形求面積的方法，難點(diǎn)是求函數(shù)解析式中自變量的取值范圍教學(xué)用具：直尺、多媒體教學(xué)內(nèi)容:一、引入在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和反比例函數(shù)內(nèi)容豐富、涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，是初中函數(shù)

2、的重要內(nèi)容之一.特別是與函數(shù)圖象有關(guān)的面積問(wèn)題，已成為近年中考園中一支鮮艷的奇葩.下面舉例說(shuō)明.二、例題例1、如圖1中正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，畫(huà)與 y軸相切的兩個(gè)圓,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,2）,求圖中兩個(gè)陰影面積的和分析：由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可求點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得兩部分陰影圖形和正好拼接為一個(gè)圓再由坐標(biāo)軸與圓相切可求得兩圓的半徑，從而求得陰影的面積.解:VO A與y軸相切，且坐標(biāo)為（1 ,2）, O A的半徑等于1.又反比例函數(shù)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1, -2 ）,兩陰影的面積和為一個(gè)圓的面積5-412圖-6設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到求解與反比

3、例函數(shù)圖象有關(guān)的面積問(wèn)題時(shí)，通常都要用到反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱這一特征.另外,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想是解決和函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的常用方法1例2、已知：如圖，直線 y -x 2與x軸交于點(diǎn) A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P （x, y）在直線y x 6上運(yùn)動(dòng)，且2x 0, y 0.求四邊形AO BP的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍.分析：本題要求四邊形 AOBP的面積S，可以用 CAP的面積與 0B P的面積之和來(lái)表示，還可以過(guò)P點(diǎn)作x軸或y軸的垂線，將這個(gè)不規(guī)則的四邊形拆成一個(gè)梯形和一個(gè)直角三角形的和或差的方法來(lái)解決.求自變量x的取值范圍時(shí)應(yīng)注意結(jié)合函數(shù)圖象思考解：解法一：連接 0

4、P1直線y -x 2與x軸、2 A(4,0),B(0,- 2).y軸分別交于點(diǎn)A、B,設(shè) p(x,y),x 0,y0,SSjoBPSoAp-OB2-OA |y2112x 4(x 6) x 12.22x 0,y 0,即 x 60, x 6.解法二：設(shè)y-自變量x的取值范圍是0 x 6.x 6 交 x 軸于 M6,0)，交 y 軸于 N (0,6)，則 S S MON Sbnp Sam p. JLJ解法三：作PGX軸于G則SS梯形pbogSi'iPGA -解法四：作PQy軸于Q則S S梯形 PQOA S PBQ .設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解此題讓學(xué)生體會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中遇上面積問(wèn)題時(shí),尋找解決問(wèn)題

5、的突破口時(shí)經(jīng)常要利用點(diǎn)的坐標(biāo)所起的作用，方法多是采取“靠軸”分割圖形求面積的方法.例3、已知直線y x 2與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A和點(diǎn)B,另一直線y kx b(k 0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) C (1, 0)，且把 AO B分成兩部分.(1)若 AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值;(2)若 AO B被分成的兩部分面積比為1:5，求k和b的值.分析：直線y kx b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(£,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0, b)，因此可得 A (2,0 ) ,B(0, 2) .(1)中 C是O A的中點(diǎn).(如圖)，因此可知B C將AOE分成的兩部分面積相等，設(shè)直線BC的解析式為y kx 2,代入

6、點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；(2)中應(yīng)注意對(duì)可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行分類討論.解：(1)直線y x 2與x軸交點(diǎn)A (2 , 0),與y軸交點(diǎn)B(0 , 2),直線 BC經(jīng)過(guò) B( 0 ,2 ) , C (1, 0 ),b 2,k b 0.b 2,2.經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線解析式為y 2x 2 .2所以 k 2,b2 .- SjoMC交于M (0, h),兩部分面積比為(2 )設(shè) yX 2 X2,可得6 h=2.3 M0,3 -經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作直線MN / OA,AB 于 N a,23S',OMCSf CAN .dLNa,2在直線3x 2上,y kxb經(jīng)過(guò)0，1、C (1, 0)或 N 4,3 3、C(1, 0

7、).k1解得b123,2;3;k2b22,2.點(diǎn)撥:C (1,0）恰為OA邊的中點(diǎn)，為應(yīng)用“三角形的中線平分面積”提供了條件，“等底同（等）高的兩個(gè)三角形面積相等”，“平行線間距離處處相等”都是求解和面積相關(guān)問(wèn)題常用的知識(shí)例4、已知 ABC中,AB AC 3, BAC 90,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，把一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處.（1）如圖1-1，若BD CD ,將三角板繞點(diǎn) D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)倆條直角邊分別交 AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)F，求出重疊部分的面積（直接寫(xiě)出結(jié)果）（2）如圖1-2,若BD CD,將三角板繞點(diǎn) D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交 AB于點(diǎn)E、另一條直角邊交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F

8、,設(shè)AE X,兩塊三角板重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍；x的取值范圍.（3）若BD 2CD，將三角板繞點(diǎn) D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交 AC于點(diǎn)F ,另一條直角邊交射線 AB于點(diǎn)E,設(shè)CF x（x 1），兩塊三角板重疊部分的面積為y,求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的代數(shù)式表示三角形的底和相應(yīng)的高，另外第（3）問(wèn)中條件“使一條直角邊交AC于點(diǎn)F ,另一條直角邊交射線AB于點(diǎn)E”應(yīng)分兩種情況分類討論解：（1）S四邊形aedf94 (2)如圖1-3，過(guò)點(diǎn)D作D M丄AE于M/ ABAC 3,BAC 90 , BC5/2AB372./ BDCD , BD

9、BC3血.22yBE DM IbE BD sin 4522分析：解此題關(guān)鍵是用含有: 1 x 2, 2 x 3.AB” " Df/圖1-31332(3 X)-3(3 x)(0 x 3). (1)如圖1-4,連結(jié)AD,過(guò)D點(diǎn)分別作AB、 AC的垂線，垂足分別為 MN./ ABAC 3, BAC 90 , BC y/2AB 3罷.三、練習(xí)1.函數(shù)2 .求直線BDBDDC2CD,2/2, CD 罷.sinC 運(yùn)易證 12./ DME= / DNF=90 DME s' DNF .ME DMFN DNCF x(x 1),ME 2FN 2(x3.直線y厲 1,DM BD sin B1).

10、ySi'iADESadf-(2x 1) 2-(3 x)1j22如圖1-5,過(guò)D點(diǎn)作A C的垂線,垂足為N.yS：| ABCS)CDF91,-x 12 1x(2JLi2 22 231-x-(1x 2),y2291-x(2x 3).kx(k 0)與 y2x 4和直線2x 8交x軸,4 .如圖，點(diǎn)B在直線y x面積為2，求點(diǎn)B的坐標(biāo).5.直線y內(nèi)作等腰直角2.2|x 1(1 x 2).3).2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于y軸,垂足為 6則' B OC的面積為多少？x2x 6與y軸圍成的三角形的面積.y軸于A、B,直線I過(guò)原點(diǎn)交A B于點(diǎn)。，分' AOB的面積為1上

11、，且點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn) A(2,0)、0(0, 0) , ABO的邑1與x軸,y軸分別交點(diǎn)A、B ,以線段AB為直角邊在第一象限31AB C,AB=2, / BAC=90 度，點(diǎn) P(a, )在第二象限， ABP面積與'A BC 面2積相等，求a的值.簡(jiǎn)要答案:1 : 3兩部分，求直線l的解析式.1.12. 2523. y6x 或 yx34. （3，2）5. a四、總結(jié)本節(jié)課要求學(xué)生掌握兩種基本技能:(1)會(huì)應(yīng)用函數(shù)思想表示和求解幾何圖形的面積;(2)已知面積(比)求函數(shù)關(guān)系式中的待定系數(shù).在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、交流、計(jì)算等過(guò)程，多動(dòng)手動(dòng)腦動(dòng)口，發(fā)表自己的見(jiàn)解,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、和轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)思想建議例題由教師引導(dǎo)學(xué)生完成，練習(xí)題學(xué)生盡可能獨(dú)立完成，必要時(shí)也可以小組合作完成，最后教師引導(dǎo) 學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié).五、課后反思與函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題是考查學(xué)生綜合素質(zhì)和能力的熱點(diǎn)題型,它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想，整體思想和轉(zhuǎn)化例4中第(3 )問(wèn)條思想，求解這類問(wèn)題的重點(diǎn)是掌握分割幾何圖形求面積的方法，難點(diǎn)是求函數(shù)解析式中自變