初中數(shù)學(xué)阿氏圓最值模型歸納

1、幾何模型：阿氏圓最值模型【模型來源】“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA： PB=k (k#l),則滿足條件 的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.【模型建立】2 如圖1所示，00的半徑為R,點A、B都在。0外，P為00上一動點，已知R= = 0B,2連接PA、PB,則當(dāng)“PA+二PB”的值最小時，P點的位置如何確定522解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使0C=二R,則可說明 BP0與 PC0相似，則有二PB=PC。故52本題求“PA+二PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定

2、點，P為動點，故當(dāng)A、P、 5C三點共線時，“PA+PC”值最小?！炯记煽偨Y(jié)】計算R4 + A依 的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點P使得24 + kP8的值最小，解決步驟具體如下：1 .如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP，0B2 .計算出這兩條線段的長度比絲=女OBOCPC3 .在OB上取一點C,使得一 = &,即構(gòu)造 POM BOP,則一- = k. PC = kPB OPPB4 .則AA +人尸5=Q4 + PCNAC,當(dāng)A、P、C三點共線時可得最小值典題探究 啟迪思維探究常點例題L如圖，在ABC中，ZC=90% AC=4, B

3、C=3,以點C為圓心，2為半徑作圓C,分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則+ 的最小值為.2【分析】這個問題最大的難點在于轉(zhuǎn)化工尸A ,此處P點軌跡是圓，注意到圓C半徑為2, CA=4, 2連接CP,構(gòu)造包含線段AP的 CPA,在CA邊上取點M使得CM=2,連接 PM,可得CPAs/iCMP,故 PA： PM=2:1,即.2問題轉(zhuǎn)化為PM+PB2BM最小值，故當(dāng)B, P, M三點共線時得最小值，直接連BM即可得變式練習(xí)1 .如圖1，在RTaABC中，NACB=90° , CB=4, CA=6,圓C的半徑為2,點P為圓上一動點，連接AP,BP,求AP + BP, &#

4、169;2AP+BP. ®-AP+BP,AP+33。的最小值. 2- 3答案:：歷，=2歷，=冬甘，:2后.rp1CP1解答i如圖2,連接CR因為CP=2, JC=6, 5c=4,簡單推算:得=,蕓二,而題AC3CB2目中是求“加>+18戶”其中的”=!",故舍棄在月。上取點，應(yīng)用“段=!”，所以在22CB2CD CP PD 1C8上取一點。，使C£M,則有彳二三二而二不，無論夕如何移動，2PCD與4BCP始終相似，故尸始終成立，所以-4尸+!8。=加"。.其中4 D為定點，故,4、P、 22。三點共線時最小，AP+ 1BP =AP+PD=AD=4

5、AC?+CD?=歷(思考上若求3十L/V1呢？) 23例題2.如圖,點C坐標(biāo)為(2,5),點A的坐標(biāo)為(7,0), OC的半徑為正,點B在OC上一動點，OB + -AB 的最小值為.答案:5.變式練習(xí)>>>2 .如圖，在平而直角坐標(biāo)系xoy中，A(6,-l), M(4,4),以M為圓心，2聲為半徑畫圓，0為原點，P是。M上一動點，則P0+2PA的最小值為.答案：10.例題3.如圖，半圓的半徑為1, 48為直徑，AC. 8。為切線，47=1, BD = 2, P為益上一動點，求字PC+PD的最小值.【解答】解：如圖當(dāng)4 P、。共線時，為C+PD最小.理由: 2連接P8、CO,

6、4D與CO交于點M,:48 = 8。=4, 8。是切線，/. Z8D=90 Z BAD=A D=45%是直徑，.N4P8=90°, , N %8=N P84=45°,PA = PB, PO±AB, AC=P0=2, ACW P0,，四邊形AOPC是平行四邊形,OA = OP, NCOP=90。，四邊形AOPC是正方形,.PM=PC,.二亞PC+PD=PM+PD=OM,22DMLCO,：.此時2Zpc+DP 最小=AD - AM = 2® -亞222變式練習(xí)>>>3 .如圖，四邊形A8CD為邊長為4的正方形，。8的半徑為2, P是08上一

7、動點，則PD+iPC的最小值為25 ; 6PD+4PC的最小值為10歷_.A D匕【解答】解：如圖，連接P8、在8c上取一點£,使得8E=1.jc/ PB2=4, 8E8C=4,工 PB2=BE,B(：. P8E- CBE, ：. =1, PC BC 2PE+PD<DE.在 RtZiDCE 中，DE=、.PDC的最小值為5.2連接。8, P8,在8。上取一點E,u二，二.第=強(qiáng)，NPBE=NCBE, pdpc=pd+pe,/ %)/32 + 42=5,J使得8E=Y2,連接EC,作日L8c于F.'.1 PB2=4, BEBD=¥.BP BE / prf-BD

8、BP. PE = PB=V2 . 0. FD BD 4 VD+4PC=4 CF42x4版=4,二 BP2 = BEBD,T? 4p/二N PBD, ：. PBE- DBP,/ME-詈 PD， 3-,(>D+PC) =4 (PE+PC) ,/.6pD+4PC的最小值為10&.故答案為5, 10衣.例題4.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3, 大值為.AD點P是圓B上的一個動點，則P0-PC的最2在 RS EFC 中，EF=L 長=工，/. EC=-【分析】當(dāng)P點運動到BC邊上時，此時PC=3,根據(jù)題意要求構(gòu)造IPC,在BC上取M使得此時PM=),22則在點P運動的任意

9、時刻，均有PM二PC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接PD,對于 PDM, 2PD-PMVDM,故當(dāng)D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值一. 2變式練習(xí)»4. (1)如圖1,已知正方形48CD的邊長為9,圓8的半徑為6,點P是圓8上的一個動點，那么Po2pc3的最小值為加pd - Vpc的最大值為五加_(2)如圖2,已知菱形A8CD的邊長為4.Z 8=60。,圓B的半徑為2,點P是圓8上的一個動點，那么Po1PC 的最小值為_病_, pd - Lpc的最大值為_病_.-2-【解答】解：(1)如圖3中，在8c上取一點G,使得8G=4.型=旦=&BC=2=1BG

10、7 PB 7PB = BCBG PB: Z PBG=N PBC, DP+PGNDG,當(dāng)D、G、P共線時，PD+*C的值最小，最小值為DG=J5 2 + g 2=。2PD - Mc=PD - PGWDG,3當(dāng)點P在。G的延長線上時，PD-*PC的值最大，最大值為DG=J礪. 故答案為金，Vw(2)如圖4中，在8c上取一點G,使得8G=1,作。FJ_8c于£.里=2=2 區(qū)=q=2 BG 1 PB 2,< Z P8G=N /BG PB PBG 4 CBP,. PGBGl ,PC PB Tpg=Lc, 2<.PD工PC=DP+PG,2 ； DP+PG2DG,二當(dāng)0、G、P共線時

11、，PD+XpC的值最小，最小值為0G,2在 RtA CDF 中，N OCF=60。，8=4, . DF= CD*sin60° = 23，CF=2,在 RSGDF 中，DG=q(2必)2 + (5)2=收 / PD - XpC=PD - PG<DG.2當(dāng)點P在。G的延長線上時，。-學(xué)。的值最大(如圖2中)，最大值為DG=J方. 故答案為收，收.例題5.如圖，拋物線y= - x2+bx+c與直線AB交于A ( - % - 4) , B (0, 4)兩點，直線AC： y= - -x - 6 2交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點E作EF_Lx軸交AC于點F,交拋物線于點G.(1

12、)求拋物線y= - x2+bx+c的表達(dá)式：(2)連接GB, EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標(biāo)；(3)在y軸上存在一點H,連接EH, HF,當(dāng)點E運動到什么位置時，以A, E, F, H為頂點的四邊形是 矩形求出此時點E, H的坐標(biāo)；在的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為OE上一動點, 求±AM+CM它的最小值.2【解答】解：(1);點A ( - 4, -4) , B (0, 4)在拋物線y=-x2+bx+c上, f - 16 - 46 + c =- 4 (b =- 2c = 4, J c = 4, .拋物線的解析式為丫=_乂2_2乂+4：(2)設(shè)直線A

13、B的解析式為y=kx+n過點A, B,( n = 4 (k = 2.I 一伏+ n =-4,.卜=4,.直線ab的解析式為y=2x+4,設(shè) E (m, 2m+4) , G (m, - m2 - 2m+4),.四邊形GEOB是平行四邊形，.EG=OB=4, (-m2 - 2m+4 - 2m - 4=4, /. m= - 2» G ( - 2, 4)：(3)如圖1,由(2)知，直線AB的解析式為y=2x+4,設(shè)E (a, 2a+4),直線 AC： y=-x-6,.F (a, - a - 6),設(shè) H (0, p), 22以點A, E, F, H為頂點的四邊形是矩形，直線AB的解析式為y=

14、2x+4,直線AC： y= - - x - 6>2.AB_LAC,.EF為對角線,- 4+0) = (a+a) , ( - 4+p) = (2a+4 - a - 6),22222, a= - 2, P= - 1,，E ( - 2, 0). H (0, - 1)；如圖2,由知，E ( - 2, 0) , H (0, - 1) , A ( - 4, - 4),/. EH=>/5 , AE=2 y/5 ,設(shè) AE 交OE 于 G,取 EG 的中點 P,PE= W2連接PC交OE于M,連接EM,EM=EH=V,V5rPE _2 i ME _ V5 1 PE ", AE252

15、9; '2,PE ME 1Z PEM=Z MEA, J PEM- MEA, /.=二一,ME AE 2，PM=LaM,'AM+CM 的最小值二PC,設(shè)點 P(p, 2p+4), 22E ( - 2, 0) , /. PE2= (p+2) 2+ (2p+4)2=5 (p+2) 2,J5 ,、,5/ PE=.,5 (p+2) 2= ,24535，p=-二或 p=-(由于 E ( -2, 0),所以舍去)，P (-二，-1),222/、k-|)，(-1 + 6)2 575 Hn 1575,C(0, -6) , PC=I L=,即：-AM+CM=.222變式練習(xí)>>>

16、5.如圖1,拋物線(a+3) x+3 (q/0)與x軸交于點A (4, 0),與y軸交于點8,在x軸上有一動 點E(m, 0) (0<m<4),過點E作x軸的垂線交直線48于點N,交拋物線于點P,過點P作PM_L48 于點M.(1)求。的值和直線八8的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)PMN的周長為G，4E/V的周長為Cz，若2=且，求m的值：(3)如圖2,在(2 )條件下，將線段OE繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)得到0匕 接FA E'B,求EZ2'8的最小值.3y個p丁八圖1圖2【解答】解：(1)令 y=0,則 a/+ (a+3) x+3=0,(x+1) (crx+3) =0. .x=-l

17、或-2,a拋物線 y=ax2+ (a+3) x+3(50)與 x 軸交于點 4 (4, 0)," -=4,，。=-三.二A (4, 0) , B (0, 3),84_r 3設(shè)直線48解析式；/“y=kx+b,則,解得 仁二 3二0卜二 3直線48解析式為y=-*+3.(2)如圖 1 中，PM±AB9 PE LOA,：.Z PMN=Z AEN, / Z PNM=N ANE, ：. PNM口 ANE,：.= AN 5/ NEW 08, 二迪=坐，：.AN=- (4-m), AB OA4旋轉(zhuǎn)角為a (00<a<90°),連J'T po E圖1C2 5

18、拋物線解析式為y=-乎亭+3，PN= - Xn2+-.m+3 - ( - Wm+3)=-旦蘇+3加,44443 2心m Tom"p=,解得m=2|(4-m)5（3）如圖2中，在y軸上 取一點M'使得OMU，連接在AM，上取一點F使得OF = OE.30F = 2, OM、O8=&x3=4,3 OE，2=OMOB.Z 8OF=N M'OF,.0Ex OBCT 0Ey：. M'O" E'OB,. K E' _0E，_2BEV OB 3,.mf=Ze3. AE,-BE, =AE,E,M, =AMe,此時 AS+ZbF最小33最小值=

19、" =M十(|)2=三國.達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)(兩點間線段最短，4、M尸共線時)，化落實1 .如圖，在RTZABC中，ZB=90° , AB=CB=2,以點B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為JJ,點P為圓B上的一動點，求AP + fgpC的最小值. 2【答案卜技2 .如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O, P是OO上一動點，則、QPA+PB的最小值為A【答案:2行.3 .如圖，等邊 ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為。O, P是OO上一動點，則2PB+PC的最小值為,4 .如圖，在 RtZABC 中，ZC=90° , CA=3, CB=4, 0c 的半徑為 2,點 P

20、 是。C 上的一動點，AP + -PB 2的最小值為故選擇在C8上取點，構(gòu)造“核武器”“母子型相似模型“，取點使C，=l,則有要=4=要=?，所以無論。如何移動， CP CB RP 2PC與始終相似，故P"二!始終成立，所以其中從人為 22定點，故、P、4三點共線時最小，AP+%B =AP+PH=gF+彳。2 = M.(思考：若求5 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(2,0), 8(0,2), C(4,0), 0(3,2), P是4AOB外部第一象限內(nèi)的一動點，且NBPA=135。，則2。+尸。的最小值是多少答案4無6 .如圖，RtA ABC, N4CB = 90。，AC=BC=2,以

21、C為頂點的正方形CDEF （C、D、E、F四個頂點按逆時針 方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD=6，連接4F, BD（1）求證： BDC Q AFCt（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點在線段A8上時，直接寫出bM/IaD的值；2（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，8。衛(wèi)當(dāng)。的最小值.（2）解：如圖2中，當(dāng)點D, E在48邊上時,【解答】(1)證明：如圖1中，V四邊形CDEF是正方形， CF=CD, Z DCF=N ACB=90°,/. Z ACF=N DCB, / AC=CB.：. FCA x DCB (SAS). / AC=BC=2, N4C8 = 90°,: 48=2心

22、 / CD±AB.：.4。=8。=6，8D+4D=6+1.2如圖3中，當(dāng)點E, 3在邊48上時.BD=CF=fi. BD=Jb 72 +AB 2=VT5,. BD+AD=f2-2(3)如圖4中.取47的中點M.連接。M. BM. <,/ CD=V2，C/VJ=1, CA = 2, CD2 = CMCA,.型=史，Z DCM=AACD. CA CD/. DCM ACD, .DM = CD=V2 "AD AC V,.dm=-d.2J2. 8O+4D=8O+DM,2圖4，當(dāng)8, D, M共線時，的值最小,2最小值=Jcb2+cM=-7. （1）如圖1,在八8c中，AB=AC, 8。是AC邊上的中線，請用尺規(guī)作圖做出A8邊上的中線CE,并證 明 BD =