高考數(shù)學(xué) 第二節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)與簡單的三角恒等變換教材

1、第二節(jié) 兩角和與差的三角函數(shù)與簡單的三角恒等變換教 材 面 面 觀1兩角和與差的正余弦公式：cos()_；cos()_；sin()_；sin()_.答案coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossin2兩角和與差的正切公式：tan()_；tan()_(、k，k，kZ)答案3輔助角公式asinbcossin()，其中cos_，sin_，tan_.的終邊所在象限由_來確定，角稱為輔助角答案a、b的符號(hào)考 點(diǎn) 串 串 講1兩角和與差的三角公式需理解(1)理解運(yùn)用公式時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)公式的特殊情況，、中有為的整數(shù)倍時(shí)，使用

2、誘導(dǎo)公式更靈活、簡便要真正明確兩角和與兩角差的三角函數(shù)的意義一般情況下，sin()sinsin，cos()coscos.只有在特殊情況下，才有可能sinsinsin()對于兩角和與差公式的異同要進(jìn)行對比與分析，便于理解、記憶和應(yīng)用()明確角、函數(shù)和排列順序以及式中每一項(xiàng)的符號(hào)()要牢記公式，并能熟練地進(jìn)行左右兩邊的互相轉(zhuǎn)化(2)常見的角的代換有：()()()()()()角的代換實(shí)質(zhì)是根據(jù)題意的需要把角看活，要在活字上作文章(3)公式的逆向變換、多向變換使用任何一個(gè)公式都要注意它的逆向變換、多向變換，這是靈活使用公式所必須的，尤其是三角公式眾多，把這些公式用活顯得更加重要，這是學(xué)好三角函數(shù)的基本

3、功如兩角和的正切公式tan()，就必須掌握如下的一些變換：tan()1tantantantantan()(1tantan)tan·tan·tan()tan()tantan(4)引入輔助角的變換形如asinxbcosx(a、b不同時(shí)為零)的式子引入輔助角變形為Asin(x)的形式這里A，sin，cos，的終邊所在象限由a和b確定2二倍角的正弦、余弦、正切(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2tan2公式的推導(dǎo)：在兩角和的正弦、余弦、正切公式中，令即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式從推導(dǎo)中可發(fā)現(xiàn)，二倍角公式是和角

4、公式的特殊情況(2)應(yīng)注意的地方對于“二倍角”的理解，不單純是與2的關(guān)系，而應(yīng)有更廣泛的理解如4是2的二倍角；3是的二倍角；是的二倍角；是的二倍角等等當(dāng)k(kZ)時(shí)，tan的值不存在，這時(shí)求tan2的值可利用誘導(dǎo)公式即tan2tan2(k)tan(2k)tan0.公式的逆向變換與有關(guān)變形1±sin2sin2cos2±2sincos(sin±cos)2a1cos2cos2b1cos2sin2ccos2(1cos2)dsin2(1cos2)e上述公式中，b、c又稱為升冪公式，d、e又稱為降冪公式(3)知識(shí)的延伸及擴(kuò)展三倍角公式sin33sin4sin3cos34cos

5、33cos半角公式sin±cos±tan±萬能公式sincostan和差化積公式sinsin2sincossinsin2cossincoscos2coscoscoscos2sinsin積化和差公式sincossin()sin()cossinsin()sin()coscoscos()cos()sinsincos()cos()3三角函數(shù)的求值、化簡和證明(1)三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與欲求式之間的角、運(yùn)算及函數(shù)的差異

6、一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用同時(shí)也要注意變換欲求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的給值求角關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)式的值，其次判斷該角在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，從而達(dá)到解題的目的在解給值求角的題型時(shí)需注意角的范圍(2)三角式的化簡這類問題主要是利用誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系式、和與差的公式及倍角公式將較復(fù)雜的三角式化得較為簡單，化簡時(shí)注意最簡式的五種形式和要求化簡三角函數(shù)式的意義是為更清楚地顯示式中所含量之間的關(guān)系，以便于應(yīng)用化簡三角函數(shù)式的要求：()能求出值種數(shù)盡量少()使項(xiàng)數(shù)盡量少()盡量使分母不含三角函數(shù)()盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)化簡常用的技巧()注

7、意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化；()注意利用代數(shù)上的一些恒等變形法則和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；()對于二次根式，注意二倍角公式的逆用；()注意利用角與角之間的隱含關(guān)系；()注意利用“1”的恒等變形；()注意條件的合理使用：盡可能不去破壞條件的整體結(jié)構(gòu)，即要把所求式子適當(dāng)變形，能使條件整體代入；將條件適當(dāng)簡化、整理或重新改造、組合，使其與所求式子更吻合作為三角變換的基礎(chǔ)的三角式的化簡，有三種基本類型：根式形式、分式形式、多項(xiàng)式形式常用方法有：公式法、切割化弦法、異名化同名、異角化同角(3)三角恒等式的證明恒等式的證明，包括有條件的恒等式和無條件的恒等式兩種無條件的等式證明，常用綜合法(執(zhí)因索果)和分析

8、法(執(zhí)果索因)，證明的形式有化繁為簡、左右歸一、變更論證等有條件的等式證明，常常先觀察條件式及欲證式中左、右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別及聯(lián)系，靈活使用條件，變形得證.典 例 對 對 碰題型一 兩角和與差的三角公式應(yīng)用例1求下列各式的值：(1)cos80°cos35°cos10°cos55°；(2)sin75°sin15°；(3)tan15°tan30°tan15°tan30°；(4).解析充分利用公式，把已知的角化為可求的特殊角(1)原式cos80°cos35°sin80°

9、;sin35°cos(80°35°)cos45°.(2)原式sin(45°30°)sin(45°30°)sin45°cos30°cos45°sin30°sin45°cos30°cos45°·sin30°2cos45°sin30°2××.(3)tan45°tan(30°15°)，tan30°tan15°1tan30°tan15&#

10、176;.原式tan30°tan15°tan30°tan15°1.(4)原式tan(45°15°)tan30°.變式遷移1已知ABC中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0.求角A、B、C的大小解析由sinBcos2C0得sinBcos2Csin(2C)由0B、C，所以B2C或B2C.即B2C或2CB.由sinA(sinBcosB)sinC0，得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0.所以sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0.即sinB(sinAcosA)0.因

11、為sinB0，所以cosAsinA.由A(0，)，知A.從而BC，知B2C不合要求再由2CB，得B，C.所以A，B，C.題型二 二倍角公式的應(yīng)用例2化簡：(1)cos72°·cos36°；(2)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°；(3)cos·cos·cos·cos··cos.解析(1)cos36°·cos72°.(2)原式cos20°·cos40°·cos

12、80°.(3)原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得原式.點(diǎn)評解的過程中反復(fù)地使用二倍角公式sin22sincos.要注意到凡是角是二倍角關(guān)系的余弦函數(shù)的連乘積問題時(shí)，可采用類似的方法解之.變式遷移2化簡：(tan)·(1tan·tan)解析原式····.題型三 角的湊配例3已知，0，cos()，sin()，求sin()的值分析注意到()()()欲求sin()，即求cos()，這只需求出cos()和sin()的值因此“整體變換”的方法是解本題的合理選擇解析0，sin()，cos().sin()cos()cos()()

13、cos()·cos()sin()·sin()××().點(diǎn)評角度的和差之間相差k或k(kZ)時(shí)，可以用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變換本題若從已知直接去求sin、cos、sin、cos，則解題過程十分復(fù)雜因此類似問題中應(yīng)考慮優(yōu)先使用上面的簡捷解法.變式遷移3已知sin，tan()1，且是第二象限的角，那么tan的值是()A.BC7 D7答案D解析由sin，是第二象限角，可得tan，從而tantan()7.題型四 輔助角公式的應(yīng)用例4不查表，計(jì)算64sin220°.解析原式64sin220°64sin220°64sin220°32co

14、s40°64×32.點(diǎn)評對于形如asin±bcos的三角函數(shù)式的化簡求值，往往需要通過提取公因式構(gòu)造輔助角(主要為，)，然后逆用兩角和與差的正、余弦公式化簡，尤其是當(dāng)系數(shù)中含有時(shí)，一般都可運(yùn)用輔助角公式.變式遷移4已知函數(shù)f(x)2cos2xsin 2x，xR.(1)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的取值集合；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解析(1)f(x)2cos2xsin 2x2sin(2x)1，當(dāng)2x2k(kZ)，即xk(kZ)時(shí)，f(x)取最大值3.所以，f(x)的最大值為3，相應(yīng)的x的取值集合為x|xk，kZ(2)f(x)2sin(2x)1，由2k2x2k(

15、kZ)，得kxk(kZ)所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ).題型五 給角求值例5求tan20°4sin20°的值分析題中有正切和正弦，所以要切割化弦，統(tǒng)一函數(shù)名，然后通分，再適當(dāng)?shù)剡x取公式解析原式.點(diǎn)評給角求值(無條件求值)的關(guān)鍵是考慮角與角之間的關(guān)系，構(gòu)造特殊角，或是利用正負(fù)相抵消、分子分母約去公因式等手段達(dá)到求值的目的.變式遷移5求2sin50°sin10°(1tan10°)·的值解析原式2sin50°sin10°·sin80°2sin50°2sin10°

16、83;cos10°2sin50°·cos10°sin10°·cos(60°10°)2sin(50°10°)2×.題型六 給值求值例6已知tan()3，求sin22cos2的值分析從條件入手，可求出tan，而結(jié)論可化為關(guān)于tan的關(guān)系式，將tan代入即可，也可以將看作一個(gè)整體，在結(jié)論中通過三角公式構(gòu)造角.解析解法一：tan()3，3，解得tan.于是sin22cos2sin2cos2111.解法二：sin22cos2sin2cos21cos(2)sin(2)111.點(diǎn)評解法一中轉(zhuǎn)化成ta

17、n后，對欲求式構(gòu)造分母，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式；解法二是充分考慮角的變換，與2的正余弦的關(guān)系，構(gòu)造角求得，這兩種思路都是給值求值中常見的解題思路.變式遷移6設(shè)cos()，sin()，其中(，)，(0，)求cos()解析(，)，(0，)，(，)，(，)，sin()，cos().coscos()()cos()cos()sin()·sin()××，cos()2cos212×21.題型七 給值求角例7已知0，0，且3sinsin(2)，4tan1tan2，求的值分析由的關(guān)系式可求出的正切值，再據(jù)已知和2構(gòu)造求式，從而可求出的一個(gè)三角函數(shù)值，再據(jù)、的范圍求范圍，從

18、而確定角.解析由4tan1tan2得tan.由3sin()sin()，得tan()2tan，tan()1.又0，0，0.點(diǎn)評本例中，首先由4tan1tan2的形式聯(lián)想倍角公式，求得tan.再利用角的變換求tan()，據(jù)、范圍確定角.一般地，求角的問題可“恰當(dāng)”地?fù)?jù)范圍選擇一個(gè)三角函數(shù)值，再據(jù)范圍確定角，是必不可少的兩步.變式遷移7已知tan，tan，并且、均為銳角，求2.解析tan1，tan1，且、均為銳角，0，02.又tan2.tan(2)1，2.題型八 條件等式的證明例8求證以下條件恒等式：(1)已知：2sinsincos，sin22sin·cos，求證：2cos2cos2；(2

19、)已知：5sin3sin(2)，求證：tan()4tan0.分析題(1)從條件中消去的正弦，然后推演，題(2)把條件中的角進(jìn)行拆拼，使出現(xiàn)及，然后推演證明(1)由已知4sin212sincos1sin2，1sin224sin22(12sin2)由此得cos22cos2，所證等式成立(2)把5sin3sin(2)化成5sin()3sin()，得5sin()cos5cos()sin3sin()cos3cos()sin.移項(xiàng)合并得2sin()cos8cos()sin0.依題意k且k，kZ.上式兩邊都除以2coscos()，即得tan()4tan0.變式遷移8已知sinm·sin(2)，其中

20、m0,2k(kZ)，求證：tan()tan.證明由題得m則.tan()tan.【教師備課資源】題型九 正切公式的應(yīng)用例9已知tan2，求：(1)tan()的值；(2)的值解析(1)因?yàn)閠an2，所以tan，所以tan().(2)由(1)知，tan，所以.變式遷移9化簡：.解析tan，原式tan.題型十 三角恒等式的證明例10求證：2cos().證明sin(2)2cos()sinsin()2cos()sinsin()coscos()sin2cos()sinsin()coscos()sinsin()sin.兩邊同除以sin得：2cos().點(diǎn)評證明三角恒等式，可先從兩邊的角入手變角，將表達(dá)式中出現(xiàn)

21、較多的相異的角朝著我們選定的目標(biāo)轉(zhuǎn)化然后分析兩邊的函數(shù)名稱變名，將表達(dá)式中較多的函數(shù)種類盡量減少，這是三角恒等變形的兩個(gè)基本策略.變式遷移10求證：.證明右邊左邊方 法 路 路 通1利用兩角和與差的三角公式，要注意公式的正用、逆用和變形應(yīng)用例如：sin75°sin(45°30°)；tan(45°)；tantantan()·(1tantan)等分別是公式的正用、逆用和變用2倍角公式具有倍角化單角和升降冪的作用如由cos2cos2sin2可將倍角化單角，由2cos21cos2，起到了降冪的作用3運(yùn)用公式解題要充分考慮角、名、結(jié)構(gòu)(如sin±

22、;cos，sincos)，化異為同，聯(lián)想公式，如常見的切化弦，倍角與單角的轉(zhuǎn)化，韋達(dá)定理的應(yīng)用等4要辯證地看待公式中的單角和復(fù)角例如，既可視為單角，±為復(fù)角；也可視 為復(fù)角，例如，視是的二倍角，2的半角；又可視為()與的和角，或是()與的差角，等等即2··2()().5應(yīng)該熟悉公式的逆用和變形后用公式的順用是常見的，但逆用和變形后則往往容易被忽視，而公式的逆用和變用則更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變用后，才掌握了公式的應(yīng)用對于公式tan()，應(yīng)注意兩種變形：tantantan()·(1tan ·tan)

23、和1tan·tan，這些都是在解題中經(jīng)常用到的6教材淡化了和差化積與積化和差公式，卻加強(qiáng)了積和互化的數(shù)學(xué)化歸思想事實(shí)上，初中所學(xué)的因式分解，其實(shí)質(zhì)就是和積互化的思想，本節(jié)中的升降冪公式就是和積互化的典范，而公式asin±bcos·sin(±)(其中tan)就是和差化積的特例，和差化積本身就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡化統(tǒng)一的一種基本模式，它是化簡、求值、證明等問題的落腳點(diǎn)，更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的必要手段7三角函數(shù)式的恒等變形是解決有關(guān)三角問題的重要環(huán)節(jié)在恒等變形中：(1)要注意三角函數(shù)式中的特點(diǎn)，即有沒有特殊角；有沒有與特殊角相關(guān)的角；有沒有互余、互補(bǔ)的角；角與角之間有

24、沒有和差倍半的關(guān)系；哪些角需要保留，哪些角需要化掉等(2)要注意公式的靈活運(yùn)用，即有沒有公式可以直接套用；有沒有公式可以逆用；有沒有公式的變形式(3)要注意常用方法和技巧選擇，即有沒有常值“1”可代換；是否可以升冪(降冪)；是否需要萬能代換等等8公式(T±)在k，k，±k，kZ時(shí)不成立；公式T2在和k，kZ時(shí)不成立一般情況下，sin(±)sin±sin；sin22sin，cos22cos，這都是學(xué)生容易忽視的9求值常用方法：利用所學(xué)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其出現(xiàn)特殊角，若非特殊角，則實(shí)施角的拆拼，或使其出現(xiàn)正負(fù)相消，或約分的情況10已知角的三角函數(shù)值求角時(shí)，實(shí)際上就是解最簡單的三角方程，在沒有角的限制條件時(shí)，其解不是唯一的，而是有無窮多個(gè)已知角的三角函數(shù)值求角的一般步驟是：(1)由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角所在的象限；(2)根據(jù)角所在的象限求出角的最小正角；(3)最后利用終邊相同的角寫出角的一般表達(dá)式11化簡三角函數(shù)式?？蓮摹敖恰薄懊薄靶巍比齻€(gè)方面考慮，逐步地進(jìn)行變換，減少差異，達(dá)到化簡目的，具體應(yīng)遵循的原則是：(1)如果不含同角三角函數(shù)，一般應(yīng)從變化函數(shù)形式入手，盡量