北京2013屆高三數(shù)學(xué) 最新試題分類(lèi)匯編（含9區(qū)一模及上學(xué)期期末試題精選）專題數(shù)列 理

1、北京2013屆高三最新模擬試題分類(lèi)匯編（含9區(qū)一模及上學(xué)期期末試題精選）專題：數(shù)列一、選擇題 （2013屆北京豐臺(tái)區(qū)一模理科）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A2B3C4D5 （2013屆北京西城區(qū)一模理科）等比數(shù)列中，則“”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件 （2013屆東城區(qū)一模理科）已知數(shù)列中，那么數(shù)列的前項(xiàng)和等于（）ABCD （2013屆房山區(qū)一模理科數(shù)學(xué)）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若，則（）ABCD （北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三3月聯(lián)考綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)（理）試題 ）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABC

2、D （北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則公差等于（）ABCD （北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，則等于（）A16B8CD4 （北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，則等于（）A1B2C3D4二、填空題 （2013屆北京海濱一模理科）等差數(shù)列中, 則（2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)理） 2 4 （14題圖） 以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)軸上截取與閉區(qū)間對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后（坐標(biāo)4所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成4個(gè)單位長(zhǎng)度

3、的線段，這一過(guò)程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來(lái)的坐標(biāo)1、3變成2，原來(lái)的坐標(biāo)2變成4，等等）.那么原閉區(qū)間上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第次操作完成后，恰好被拉到與4重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則 ； .（2013屆北京西城區(qū)一模理科）設(shè)等差數(shù)列的公差不為，其前項(xiàng)和是若，則_（2013屆北京西城區(qū)一模理科）記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)的三邊邊長(zhǎng)分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；（）設(shè)，則的取值范圍是_（2013屆東城區(qū)一模理科）數(shù)列an的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項(xiàng)，若， 則位于第10行的第8列的項(xiàng)等于 ，在圖中位于 （填第幾行的第幾列）（

4、2013屆門(mén)頭溝區(qū)一模理科）在等差數(shù)列中，則等于 （北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）定義映射，其中，已知對(duì)所有的有序正整數(shù)對(duì)滿足下述條件:；若，；，則 ， （北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）對(duì)任意，函數(shù)滿足，設(shè)，數(shù)列的前15項(xiàng)的和為，則 （北京市西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為若，則_ （北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 ）右表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數(shù)為（），則等于 ，.（【解析】北京

5、市朝陽(yáng)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則的值為 .（【解析】北京市朝陽(yáng)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）將整數(shù)填入如圖所示的行列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最小值為 ，最大值為 . （【解析】北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）.數(shù)列滿足且對(duì)任意的，都有，則的前項(xiàng)和_.（【解析】北京市石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）在等比數(shù)列中，則公比 ， 三、解答題（2013屆北京大興區(qū)一模理科）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，設(shè)集合。性質(zhì)1 若對(duì)于，存在唯一一組（）使成立，則稱數(shù)

6、列為完備數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)稱數(shù)列為k階完備數(shù)列。性質(zhì)2 若記，且對(duì)于任意，都有成立，則稱數(shù)列為完整數(shù)列，當(dāng)k取最大值時(shí)稱數(shù)列為k階完整數(shù)列。性質(zhì)3 若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)1及性質(zhì)2，則稱此數(shù)列為完美數(shù)列，當(dāng)取最大值時(shí)稱為階完美數(shù)列；（）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求集合，并指出分別為幾階完備數(shù)列，幾階完整數(shù)列，幾階完美數(shù)列；（）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：數(shù)列為階完備數(shù)列，并求出集合中所有元素的和。（）若數(shù)列為階完美數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2013屆北京豐臺(tái)區(qū)一模理科）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為n（n=2,3,4,）階“期待數(shù)列”： ； .（）分別寫(xiě)出一個(gè)單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；（）若某2

7、k+1()階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為，試證：（1）； （2） （2013屆北京海濱一模理科）設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中.令，若,且，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”，記作：. 已知為平面上一個(gè)定點(diǎn)，平面上點(diǎn)列滿足：，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.（）請(qǐng)問(wèn)：點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”有幾個(gè)？判斷這些“相關(guān)點(diǎn)”是否在同一個(gè)圓上，若在同一個(gè)圓上，寫(xiě)出圓的方程；若不在同一個(gè)圓上，說(shuō)明理由；（）求證：若與重合，一定為偶數(shù)；（）若，且，記，求的最大值.（2013屆北京西城區(qū)一模理科）已知集合 對(duì)于，定義；與之間的距離為（）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若，求；（）（）證明：若，且，使，則； （）設(shè)

8、，且是否一定，使？說(shuō)明理由；（）記若，且，求的最大值（2013屆東城區(qū)一模理科）設(shè)是由個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記作：.其中 稱為數(shù)組的“元”，稱為的下標(biāo). 如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都是來(lái)自 數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的子數(shù)組. 定義兩個(gè)數(shù)組，的關(guān)系數(shù)為.（）若，設(shè)是的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求的最大值；（）若，且，為的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組，求的最大值；（）若數(shù)組中的“元”滿足.設(shè)數(shù)組含有四個(gè)“元”，且，求與的所有含有三個(gè)“元”的子數(shù)組的關(guān)系數(shù)的最大值.（2013屆房山區(qū)一模理科數(shù)學(xué)）對(duì)于實(shí)數(shù)，將滿足“且為整數(shù)”的實(shí)數(shù)稱為實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，用記號(hào)表示例如對(duì)于實(shí)數(shù)，無(wú)窮數(shù)列滿足如下條件：， 其

9、中 （）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有，求符合要求的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（）若是有理數(shù)，設(shè) （是整數(shù)，是正整數(shù)，,互質(zhì)），對(duì)于大于的任意正整數(shù)，是否都有成立，證明你的結(jié)論（北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三3月聯(lián)考綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)（理）試題 ）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于(1) 分別判斷數(shù)集與數(shù)集是否具有性質(zhì)，說(shuō)明理由；(2) 求證：；(3) 已知數(shù)集具有性質(zhì)證明：數(shù)列是等差數(shù)列（北京市東城區(qū)普通校2013屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 ）設(shè)，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，對(duì)于滿足的整數(shù)，數(shù)列， 由 確定。記()當(dāng)時(shí)，求M的值；()求M的最小值及相應(yīng)的k的值

10、（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.（）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件：； .() 當(dāng)時(shí)，求，的值；（）當(dāng)時(shí)，求證：；（）設(shè),且，求證：.（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）數(shù)列中，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）在單調(diào)遞增數(shù)列中，不等式對(duì)任意都成立.（）求的取值范圍；（）判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列？說(shuō)明理由；（）設(shè)，求證：對(duì)任意的，.（北京市西城區(qū)2013屆

11、高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）如圖，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實(shí)數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合對(duì)于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積令（）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)，使得；（）是否存在，使得？說(shuō)明理由；（）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的取值集合（北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷（解析）已知為等差數(shù)列,且.(I)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(II)求數(shù)列的前項(xiàng)和.（北京市順義區(qū)2013屆高三第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)理科試卷（解析）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項(xiàng)和公式;(III)在第(II)問(wèn)的條件下,若對(duì)于任意的不

12、等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍（北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 ）現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中記，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線（）求和的值；（）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（）證明：當(dāng)時(shí)，（北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 ）已知曲線，是曲線C上的點(diǎn)，且滿足，一列點(diǎn)在x軸上，且是坐標(biāo)原點(diǎn)）是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（）求、的坐標(biāo)；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，是否存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，都有，若存在，求出N的最小值并證明；若不存在，說(shuō)明理由（北京市昌平區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）已知每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，其

13、中等于的項(xiàng)有個(gè)，設(shè)，（）設(shè)數(shù)列，求；（）若中最大的項(xiàng)為50， 比較的大??；（）若，求函數(shù)的最小值（【解析】北京市朝陽(yáng)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）將正整數(shù)（）任意排成行列的數(shù)表.對(duì)于某一個(gè)數(shù)表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個(gè)數(shù)表的“特征值”.（）當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出排成的各個(gè)數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某個(gè)行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，），且滿足請(qǐng)分別寫(xiě)出時(shí)數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類(lèi)數(shù)表的“特征值”（不必證明）；（）對(duì)于由正整數(shù)排成的行列的任意數(shù)表，記其“特征值”為，求證：.（【解析】北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題

14、）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若在上為增函?shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為. ()已知函數(shù)，若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()已知，且的部分函數(shù)值由下表給出， 求證：；()定義集合請(qǐng)問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說(shuō)明理由. （【解析】北京市石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）定義：如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“三角形”數(shù)列對(duì)于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)使得仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”（）已知是首項(xiàng)為，

15、公差為的等差數(shù)列，若是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求的取值范圍；（）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，證明是“三角形”數(shù)列；（）若是（）中數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，問(wèn)數(shù)列最多有多少項(xiàng)?(解題中可用以下數(shù)據(jù) :)（北京市房山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）(本小題滿分14分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且 .（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值；（）設(shè)是否存在，使得 成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由北京2013屆高三最新模擬試題分類(lèi)匯編（含9區(qū)一模及上學(xué)期期末試題精選）專題：數(shù)列參考答案一、選擇題 B B C D D 【答案】C

16、解：因?yàn)?，所以，解得，所使用，解得，選C. 【答案】D【解析】由可知數(shù)列是等差數(shù)列，且以為首項(xiàng)，公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，即。選D. 【答案】C解：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，即，所以，選C.二、填空題 14 ； （這里為中的所有奇數(shù)） ； ， 第行的第列 【答案】 解：根據(jù)定義得。，所以根據(jù)歸納推理可知。 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，即。兩邊平方得，即，即，即，即?shù)列的任意兩項(xiàng)之和為，所以，即。所以，解得或（舍去）。 【答案】6解：設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，則，所以，又，即，所以。 【答案】 解：由題意可知第一列首項(xiàng)為，公差，第二列的首項(xiàng)為，公差，所以，所以第5行的公比為，所以。由題意知

17、，所以第行的公比為，所以 【答案】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以。是等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，所以?【答案】； 解：因?yàn)榈?列前面有兩列，共有10個(gè)數(shù)分別小于第3列的數(shù)，因此：最小為：3+6+9+12+15=45.因?yàn)榈?列后面有兩列，共有10個(gè)數(shù)分別大于第3列的數(shù)，因此：最大為：23+20+17+14+11=85. 【答案】解：由可得，所以。所以。由得，令，得，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以。 【答案】解：在等比數(shù)列中，所以，即。所以，所以，即數(shù)列是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，所以。三、解答題解：（）； 為2階完備數(shù)列，階完整數(shù)列，2階完美數(shù)列； （）若對(duì)于，假設(shè)存在2組及（）使成立，則有，即，

18、其中，必有，所以僅存在唯一一組（）使成立，即數(shù)列為階完備數(shù)列； ，對(duì)，則，因?yàn)?，則，所以，即 （）若存在階完美數(shù)列，則由性質(zhì)1易知中必有個(gè)元素，由（）知中元素成對(duì)出現(xiàn)（互為相反數(shù)），且，又具有性質(zhì)2，則中個(gè)元素必為，。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明顯然時(shí)命題成立，假設(shè)當(dāng)（時(shí)命題成立，即當(dāng)時(shí)，只需證由于對(duì)稱性只寫(xiě)出了元素正的部分，其中既中正的部分的個(gè)元素統(tǒng)一為，其中則中從，到這個(gè)元素可以用唯一表示其中，中從（+1）到最大值這個(gè)元素可用唯一表示其中中正的部分個(gè)元素都存在唯一一組（）使成立，所以當(dāng)時(shí)命題成立。即為階完美數(shù)列， 解：（）數(shù)列為三階期待數(shù)列1分?jǐn)?shù)列為四階期待數(shù)列,.3分(其它答案酌情給分)（）設(shè)

19、等差數(shù)列的公差為， ，所以，即， 4分當(dāng)d=0時(shí),與期待數(shù)列的條件矛盾， 5分當(dāng)d0時(shí),據(jù)期待數(shù)列的條件得： 由得，7分當(dāng)d0時(shí)，同理可得由得，8分（）（1）當(dāng)k=n時(shí)，顯然成立；9分當(dāng)kn時(shí)，據(jù)條件得，即， ,11分 14分解：（）因?yàn)闉榉橇阏麛?shù)）故或，所以點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)有8個(gè)2分又因?yàn)椋此赃@些可能值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上4分（）依題意與重合則，即，兩式相加得（*）因?yàn)楣蕿槠鏀?shù)，于是（*）的左邊就是個(gè)奇數(shù)的和，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以一定為偶數(shù)8分（）令，依題意，因?yàn)?0分因?yàn)橛校覟榉橇阏麛?shù)，所以當(dāng)?shù)膫€(gè)數(shù)越多，則的值越大，而且在這個(gè)序列中，數(shù)字的位置越靠前，則相應(yīng)的的值越

20、大而當(dāng)取值為1或的次數(shù)最多時(shí)，取2的次數(shù)才能最多，的值才能最大.當(dāng)時(shí)，令所有的都為1，都取2，則.當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，可取個(gè)1，個(gè)，此時(shí)可都取2，達(dá)到最大此時(shí)=.若,令,其余的中有個(gè)，個(gè)1.相應(yīng)的，對(duì)于，有,其余的都為2，則當(dāng)時(shí)，令則相應(yīng)的取則=+綜上，13分 （）解：當(dāng)時(shí)，由，得 ，即 由 ，得 ，或 3分（）（）證明：設(shè)，因?yàn)?，使 ，所以 ，使得 ，即 ，使得 ，其中所以 與同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù) 5分 所以 6分（）解：設(shè)，且，此時(shí)不一定，使得 7分反例如下：取，則 ，顯然因?yàn)?，所以不存在，使?8分（）解法一：因?yàn)?， 設(shè)中有項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，項(xiàng)為負(fù)數(shù)不妨設(shè)時(shí)；時(shí)，所以 因?yàn)?，所以 ， 整理得

21、 所以 因?yàn)?；又 ，所以 即 12分對(duì)于 ，有 ，且，綜上，的最大值為 13分解法二：首先證明如下引理：設(shè)，則有 證明：因?yàn)?，所以 ，即 所以 11分上式等號(hào)成立的條件為，或，所以 12分 對(duì)于 ，有 ，且，綜上，的最大值為 13分解：（）依據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，取得最大值為2 （）當(dāng)是中的“元”時(shí)，由于的三個(gè)“元”都相等及中三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可以只計(jì)算的最大值，其中由，得 當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，達(dá)到最大值，于是 當(dāng)不是中的“元”時(shí)，計(jì)算的最大值，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)綜上所述，的最大值為1 （）因?yàn)闈M足由關(guān)系的對(duì)稱性，只需考慮與的關(guān)系數(shù)的情況當(dāng)時(shí)，有即，且，時(shí)，的最

22、大值為當(dāng)時(shí)，得最大值小于所以的最大值為 （） ， .2分若，則 所以 3分（） ， 所以 ，從而 當(dāng)，即時(shí)， 所以解得： （，舍去） .4分當(dāng) ，即 時(shí)，所以 解得 （ ，舍去） 5分 當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 解得 （ ，舍去） 6分綜上，集合，. 7分（）結(jié)論成立. 8分由是有理數(shù)，可知對(duì)一切正整數(shù)，為0或正有理數(shù)，可設(shè)（是非負(fù)整數(shù)，是正整數(shù)，且互質(zhì)）由，可得； 9分若，設(shè)（，是非負(fù)整數(shù)）則 ，而由得，故，可得 11分若則， 若均不為0，則這正整數(shù)互不相同且都小于，但小于的正整數(shù)共有個(gè)，矛盾. 故中至少有一個(gè)為0，即存在，使得.從而數(shù)列中以及它之后的項(xiàng)均為0，所以對(duì)于大于的自然數(shù)，都有 13分解：

23、由于和都不屬于集合，所以該集合不具有性質(zhì)；由于、都屬于集合，所以該數(shù)集具有性質(zhì) 4分(1) 具有性質(zhì)，所以與中至少有一個(gè)屬于由，有，故，故，故由具有性質(zhì)知，又，從而故 8分由(2)可知，由知，均不屬于由具有性質(zhì)，均屬于，即由可知故構(gòu)成等差數(shù)列 13分 解：（）當(dāng)時(shí)，.1分當(dāng)時(shí)，.3分因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即.5分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.6分（）由（）得.則. . -得 9分 .12分所以.13分 ()解： 由（1）得，再由（2）知，且.當(dāng)時(shí)，.得，所以2分當(dāng)時(shí)，同理得4分（）證明：當(dāng)時(shí)，由已知,.所以.9分（）證明：因?yàn)?，?所以,即 .11分).14分解：(1)為常數(shù)列，an是以為首項(xiàng)的等差數(shù)

24、列，設(shè)，,，(2)，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， （）解：因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以，.令，所以. 4分 （）證明：數(shù)列不能為等比數(shù)列.用反證法證明：假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以.因?yàn)?，都成?所以， 因?yàn)椋?，使得?dāng)時(shí)，.因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，與矛盾，故假設(shè)不成立.9分（）證明：觀察： ，猜想：.用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)， 所以.根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)任意，都有，即.由已知得，.所以.所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?所以對(duì)任意，.對(duì)任意，存在，使得，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，.因?yàn)?，所? 14分 （）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求

25、3分（）解：不存在，使得 4分證明如下：假設(shè)存在，使得因?yàn)椋?，所以，這個(gè)數(shù)中有個(gè)，個(gè)令一方面，由于這個(gè)數(shù)中有個(gè)， 個(gè)，從而 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為）；也表示， 從而 、相矛盾，從而不存在，使得 8分（）解：記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為一方面，從“行”的角度看，有；另一方面，從“列”的角度看，有從而有 10分注意到， 下面考慮，中的個(gè)數(shù)：由知，上述個(gè)實(shí)數(shù)中，的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為；則的個(gè)數(shù)為，所以 12分對(duì)數(shù)表：，顯然將數(shù)表中的由變?yōu)椋玫綌?shù)表，顯然將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表，顯然依此類(lèi)推，將數(shù)表中的由變?yōu)?，得到?shù)表即數(shù)表滿足：，其余所以 ，所以由的任意性知，的取值集合為

26、13分 解:(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為, 因?yàn)? 所以 解得, 所以, 因此 記數(shù)列的前項(xiàng)和為, 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), =, 又當(dāng)時(shí)滿足此式, 綜上, (II)記數(shù)列的前項(xiàng)和為. 則, , 所以. 由(I)可知, 所以, 故 解:(I)由題意可知,. 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),也滿足上式, 所以 (II)由(I)可知,即. 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),所以, 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),所以, 當(dāng)時(shí)(為偶數(shù)),所以 以上個(gè)式子相加,得 . 又, 所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),. 同理,當(dāng)為奇數(shù)時(shí), , 所以,當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 因此,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和 ; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和 . 故數(shù)列的前項(xiàng)和 (III)由(II)可知 當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 所

27、以隨的增大而減小, 從而,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),的最大值是. 當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 所以隨的增大而增大, 且. 綜上,的最大值是1. 因此,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,只需, 故實(shí)數(shù)的取值范圍是 （）解：， 2分； 4分（）解：， 6分因?yàn)?，所?8分（）證：由于的圖象是連接各點(diǎn)的折線，要證明，只需證明 9分事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，下面證明法一：對(duì)任何，10分11分 12分所以13分法二：對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，；10分當(dāng)時(shí)，綜上， 13分解：（）B0A1B1是以A1為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直線B0A1的方程為y=x由 得，即點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，2），進(jìn)而得.3分（）根據(jù)和分別是以和為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可 得 ，即 （*

28、） .5分 和均在曲線上，代入（*）式得， .7分?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為() .8分（）由（）可知， ， 9分，= =.10分 .11分（方法一）-=當(dāng)n=1時(shí)不符合題意，當(dāng)n=2時(shí)，符合題意，猜想對(duì)于一切大于或等于2的自然數(shù)，都有（）觀察知，欲證（）式，只需證明當(dāng)n2時(shí)，n+12n以下用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=3，右邊=4，左邊右邊；(2)假設(shè)n=k（k2）時(shí)，(k+1)2k,當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（k+1）+12k+12k+2k=2k+1=右邊,對(duì)于一切大于或等于2的正整數(shù)，都有n+12n ，即成立綜上，滿足題意的n的最小值為2. .13分（方法二）欲證成立，只需證明當(dāng)n2時(shí)，n+12n，并且，當(dāng)時(shí)，.解: (I) 因?yàn)閿?shù)列所以，所以 4分 (II) 一方面，根據(jù)的含義知， 故，即 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)橹凶畲蟮捻?xiàng)為50，所以當(dāng)時(shí)必有， 所以即當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，有 9分（III）設(shè)為中的最大值. 由（II）可以知道，的最小值為. 根據(jù)題意，下面計(jì)算的值.， ， ，最小值為. .14分證明：（）顯然，交換任何兩行或兩列，特征值不變.可設(shè)在第一行第一列，考慮與同行或同列的兩個(gè)數(shù)只有三種可能，或或.得到數(shù)表的不同特征值是或 3分7145823