高考數(shù)學中的恒成立問題與存在性問題

1、“恒成立問題”的解法常用方法：函數(shù)性質(zhì)法；主參換位法；分離參數(shù)法；數(shù)形結合法。一、函數(shù)性質(zhì)法nmoxynmoxy1.一次函數(shù)型：給定一次函數(shù),若在m,n內(nèi)恒有，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結論等價于；同理，若在m,n內(nèi)恒有，則有.例1.對滿足的所有實數(shù),求使不等式恒成立的的取值范圍。略解：不等式即為,設,則在上恒大于0，故有：，即.2.二次函數(shù)：.若二次函數(shù)（或）在R上恒成立，則有（或）；.若二次函數(shù)（或）在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達定理以及根的分布等知識求解。例2.已知函數(shù)，若對于任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(

2、，0)選B。例3.設,當時，都有恒成立，求的取值范圍。解：設，（1)當時，即時，對一切，恒成立；-1oxy（2）當時，由圖可得以下充要條件：即;綜合得的取值范圍為-3，1。例4.關于的方程恒有解，求的范圍。解法：設,則.則原方程有解即方程有正根。.3.其它函數(shù)：恒成立（若的最小值不存在，則恒成立的下界0）；恒成立（若的最大值不存在，則恒成立的上界0）.例5設函數(shù)，其中常數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若當時，恒成立，求的取值范圍。解：（2）由（I）知，當時，在或處取得最小值。；則由題意得 即。二、主參換位法：某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函

3、數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮把主元與參數(shù)換個位置，再結合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果。例6已知函數(shù)，其中為實數(shù)（1）已知函數(shù)在處取得極值，求的值；（2）已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍解：由題設知“對都成立，即對都成立。設（），則是一個以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。 所以對，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。三、分離參數(shù)法：利用分離參數(shù)法來確定不等式（,為實參數(shù)）恒成立時參數(shù)的取值范圍的基本步驟:（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最?。┲?；（3） 解不等式(或) ，求得的取值范圍。適用題型：（1）參數(shù)與變

4、量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出。例7當時，恒成立，則的取值范圍是.解: 當時，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以，所以，.例8.已知時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：原不等式即為：，要使上式恒成立，只需-a+5大于的最大值，因為，即或，解得a8.O四、數(shù)形結合（對于型問題，利用數(shù)形結合思想轉化為函數(shù)圖象的關系再處理）：若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例9若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）(A)(B) (C) （D） 選B。例10.當)時，恒成立，求a的取值范圍。答案：.xyo12y1=(x-1)2y2=logax例11.已知關于x的方程有唯一解，求實數(shù)的取值范圍。解：原問題即為：方程有唯一解。令，,則如圖所示，要使和在軸上有唯一交點，則直線必須位于和之間。（包括但不包括)。當直線為時，;當直線為時，的范圍為。另解：方程在方程上有唯一解有唯一解。五。根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性