抽象函數(shù)奇偶性的判定

1、抽象函數(shù)奇偶性的判定Company number ： WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998專題一抽象函數(shù)奇偶性的判定及應(yīng)用探究一：抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題抽象函數(shù)的具體模型/(x + y) = /W + f(y)/(何)=fW + f(y)f(x+ y) = f(x)f(y)f(xy) =類型一：抽象函數(shù)證明函數(shù)的奇偶性問題® xR, /滿足/(x+y) = /(x) + /(y),如何證明/'(x)為奇函數(shù)xeR, 7(x)滿足/(冷，)= /(x) + /(y),如何證明/(a)為偶函數(shù)類型二：抽象函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性問題 若xeR,且/(x+y

2、) = f(x) + /(y)、/(冷，)= /*) +/(y)證明其單調(diào)性若xeR,/(x+y) = /(x)/(y)、節(jié))=f (x)f (y)證明其單調(diào)性探究二：函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性)定義經(jīng)典試題一、判斷單調(diào)性和奇偶性11.判斷單調(diào)性7 /根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì),畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速 獲解。例1 .如果奇函數(shù)X）在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)且有最小值為5,那么/（X）在區(qū)間 -7，- 3上是A.增函數(shù)且最小值為-5B.增函數(shù)且最大值為-5C.減函數(shù)且最小值為-5D,減函數(shù)且最大值為-5分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B, 例2 .偶函數(shù)/（x）在（0, +s

3、）上是減函數(shù)，問/（x）在（yo，0）上是增函數(shù)還是就函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖所示，易知/*）在（f，。）上是增函數(shù)，證明如下：任取 v X2Vo = T > -X2 >0因為/（X）在（O, +8）上是戒函數(shù)，所以>q x/（ 一 x）</（-乙）。|又/（X）是偶函數(shù)，所以/'（-為）=/（再），f（-x2） = f（x2）,從而/（*）故/（X）在（，0）上是增函數(shù)。2.判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求/*）與/（-幻的關(guān)系。例3 .若函數(shù))，= /(v)(/(x)wO)與)，= -的圖象關(guān)于原點對稱，判斷：函數(shù)y = /(x)是什

4、么函數(shù)。解：設(shè)y = /W圖象上任意一點為P (%)，九),y = /(x)與y = /(x)的圖象關(guān)于原點對稱，.尸島,九)關(guān)于原點的對稱點(-工0, -%)在y =-/(x)的圖象上， 一)" = _/(一/)兒=/(一與)又 >0 = /(/). /(f) = /(/)即對于函數(shù)定義域上的任意X都有/(-A) = /(X),所以)，="X)是偶函數(shù)。二、證明單調(diào)性和奇偶性1 .證明單調(diào)性例 4 .已知/(X)對一切X, % 滿足/(0)。0, /* + )，)= /'&)/()，)，且當 x<0時，/(X)>1,求證:x>。時，

5、0</(%)<1；(2) /(%)在R上為減函數(shù)。證明：.對一切x, y eR有/(x + y) = f(x) /(y)。旦/(O)WO,令x = y = 0,得/(0) = 1,現(xiàn)設(shè)1>0,則t<。，f(-x) > 1,而/() = /*)./(x) = l"Si0</(x) < 1,設(shè)X, x2 eRRxl < x2l貝！|0 v f(x2 -xj < hf(x2) = f(x2 -xj + xj = /(X2-X1)-/(X1)</(XI)即/J)為戒函數(shù)。2 .證明奇偶性例5 .已知f(x)的定義域為R且對任意實數(shù)X

6、, y滿足/) = /*) +/"),求 證：是偶函數(shù)。分析：在/() = /(x) + /(y)中，令 X = y=l,得1) = /«) + /=1)=。令 X = y = -1,得/«) = /(1)+/(1) = /(1)=。于是/(-x) = /(lx) = /(l) + /(x) = /(x)故/(X)是偶函數(shù)。三、求參數(shù)范圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中,關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定 義域內(nèi)的增減性，去掉"符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù) 定義域的作用。例6 .已知/&)是定義在(-1, 1)上的偶函數(shù)，且在(

7、0, 1)上為增函數(shù)，滿足 /(-2)-/(4-6/2)<0,試確定。的取值范圍。解：.”力是偶函數(shù),且在(0. 1)上是增函數(shù),在(-1, 0)上是減函數(shù)，-1 <4一/ < 1(1)當。=2時，/(。-2) = /(4-/) = /(0),不等式不成立。2)當、Qvav2 時，/(«-2)</(4-6?)-1 v a -2 < 0=f(cr -4) <=> < -1 <力 -4<0。- 2 T -4*解之得，y3< a <2(3)當 2<av 在時， /(-2)</(4-2)0 < 

8、1; - 2 < 1=/(a2 -4) = < 0<cJ - 4 < 1a-2<a2 -4解之得，2<。<耳綜上所述，所求。的取值范圍是(途，2)U(2,逐)。四、不等式1 .解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函 數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例7 .已知函數(shù) f(x)對任意 x, y eR 有/(x) + /(y) = 2 + /(x +)，)，當 x>0 時， /«>2, 3) = 5,求不等式/儲-2-2)<3的解集。解：設(shè)X、eR且/ < 工2 則一3>0 f

9、(x2 -x,) > 2 ,RP f(x2 -a-1)-2>0,f(x2) = f(x2+= f(x2 -xi) + f(xl)-2> /Cq)：.f(x2)> f(x1)故/(X)為增函數(shù)，X/(3) = /(2 + l) = /(2) + /(l)-2 = 3/(l)-4 = 5二八 1) = 3二,/ (a? 2a 2) v 3 = ./ (1),即a? 24 2 v 1.- - - 1ci 3因此不等式/(/ - 2 - 2) < 3的解集為a- <a<3o2 .討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。例8, 已知/(

10、x)是定義在上的奇函數(shù)，若且4 +)工0時，恒有/"/()>0. (1)判斷/")在-1,1上是增函數(shù)還是減函數(shù).并證明你的結(jié)a + b論；(2)解不等式/(5x-1)</(61)五、比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例9,已知函數(shù)/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，元<0時，/(幻是增函數(shù)，若為<0,“2>。,且則/(-.)，/(-%2)的大小關(guān)系是。分析：王<0, > 0且 IxJvLql,0 < -x <x2=> -x2 < Xj <

11、; 0又x<0時，/(x)是增函數(shù)，f<-X2 ) < f(x1 )/(%)是偶函數(shù)/(一七)= /3)故/'(-內(nèi))>/(-9)1對于定義在R上的函數(shù)/，給出三個命題：(1)若-2) = /(2),則/(X)是偶函數(shù)； 若-2)W/(2),則廣不是偶函 數(shù)；(3)若/(-2) = /(2),則/« 一定不是奇函數(shù).其中正確命題的序號為2.下列命題中，說法正確的是(1)若定義在R上的函數(shù)/(幻滿足2)>/，則函數(shù)/*)是R上的單調(diào)增函 數(shù)；(2)若定義在R上的函數(shù)/(X)滿足2)>/，則函數(shù)/")不是R上的單調(diào)減函 數(shù)；(3)若定

12、義在R上的函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,0上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間0,)上也 是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)/W是R上的單調(diào)增函數(shù)；(4)若定義在R上的函數(shù)在區(qū)間(-8,0上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間(0,2)上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)；變式：若定義在R上的函數(shù)對任意的內(nèi),公6氏都有了(玉+)=/(演)+ /()+ 2成立， 且當x>0時，/*)>-2. (1)求證：/(幻+ 2是奇函數(shù)；(2)求證：/*)是R上的增函 數(shù)：函數(shù)y=f(x),滿足配%£氏都有f0+xj=f(xj+ f(x=)-3, (1)判斷函數(shù)f(x)-3的奇 偶性并予以證明 若f(x)最大值為M,最小值為m

13、,求X-m分析;恰當賦值，用定義可證奇偶性，應(yīng)用奇偶性可求M+m解析；令 $ =占=。,則 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3 得 /(O) = 3,令內(nèi)=x,x2 = x 則 f(x-x)=f(x)+ f(-x)-3 得 f(x)+ f(-x)=6,令 g(x) = /(a)-3 則g(-X)=)(7)- 3 = 3 -/(%)= - g(x)所以 f(X)-3 為奇函數(shù)。 g(x)max = M -3,g(x)min =機一3, - g(x)為奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱 M-3 = g(x(),加一3 =以一X。)所以M +7 = 6點評：奇偶性定義是判斷抽象函數(shù)奇偶性的重要方法，恰當賦

14、值找出f(x)+f(-x)=6 是關(guān)鍵2,函數(shù))，=f(x),滿足a,beRJ(ab) =叭b) + R(a), (1)求")J的值，判斷并證明f(x)的奇偶性 解析；令 4=。= 0,則/'(0)=。，令 4=。= 1 則/=。/=/( 一 l)x(-l)= (-l)x /(-l) + (-l)x /(_ 1) = _2/( 1)得 /(-1) = 0 再令a = -,b = x /(-x) = (-l)x f(x)+x /(-1) = -f(x),所以 f(x)為奇函數(shù)點評:要判斷f(x)的奇偶性必先求出而把1寫成(-1)x(-1)是關(guān)鍵3, 定義在R上的函數(shù)y =f(x

15、)滿足/(2-x) = /(2 +外,且在o,7上只有/(1) = /(3) = 0,判斷f(x)的奇偶性并說明理由解析； f(x)在0,7上只有1) = /(3) = 0 令 x = 3 則/(一1) = /(2-3)=/(2 + 3)= ;¥0所以-止1), /'(-1)W-/所以 f(x)既不 是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。點評:判定一個命題不成立，只需舉出反例即可。4, 已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足條件/(工+尚)=-/(。且函數(shù)y = /(x-»是奇函數(shù)，判斷y =f(x)的奇偶性并說明理由解析；因為y = /(x *)是奇函數(shù)，所以/(-X 。=/(X-

16、) 用X替代X 3得 /(-x-1)=-f(x)又 /(X + » = /(X)/(_ x T)= f(x + 橙)=一 X)= 力所以 f(x) 為偶函數(shù)5, 定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:/=% 4/(x)/(y)= /(x +)/八y e R)判斷 y =f(x)的奇偶性并說明 理由解析；令x = 0得4/(O)/(y)=f(y)+/(-y),只需求出/(0),故再令y = O,x = l得 "(1)/(。)= /+ /(1)=> /(0)=1,所以 2/(，)=小)+ /(- y) = /(- y)=f(y) 所以f(x)為偶函數(shù)6,已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(),")上單調(diào)遞增求滿足/(2-x)v/(x)的x取值范圍 解析；由偶函數(shù)性質(zhì)得12-刈</仙1),又f(x)在區(qū)間。,)上單調(diào)遞增 :.2 - . < 忖=>(2 - x)2 %2 < 0 => 2(2 2a) < 0 解得 x > 1點評：運用偶函數(shù)性質(zhì)x)=/(x)=/M)可把變量轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間再利用單 調(diào)性求解，本題若分類討論，則要分四種