高考數(shù)學(xué)命題角度4_3空間中的折疊問(wèn)題大題狂練文

1、命題角度4.3:空間中的折疊問(wèn)題1.如圖1,四邊形ABCD為等腰梯形,AB 2,AD DC CB 1,將 ADC 沿 AC 折起,使得平面ADC 平面ABC, |E為AB的中點(diǎn)，連接DE , DB .【答案】（1）證明見解析（2）£>BE到平面BCD的距離為【解析】試題分析：（1）在圖1中,作CH AB于H|,由平面幾何知識(shí)可知平面ADC 平面ABC,所以BC 平面ADC，可證。（2） E為AB的中點(diǎn),的距離等于 A到平面BCD距離的一半，過(guò)|A作AQ 是A到平面| BCD的距離.CDAC BC ,又E到平面BCD于Q, AQ 平面BCD, AQ就13試題解析：證明：在即中，作

2、盅3于凡則朋7&=又S.AC1BC, 丫平面KDCJ平面ABC,且平面平面出。=/C2/.白（7_L平面/DC ,又加匚平面SC1AD（2）如圖2 ， E為AB的中點(diǎn),E到平面BCD的距離等于 A到平面BCD距離的一半.而平面ADC 平面BCD,所以過(guò)A作AQCD 于 Q,又由 AQ BC, BC CD C 則AQ 平面BCD, AQ就是A到平面BCD的距離.由圖易得AQ CH 2E到平面BCD的距離為H(1)AB于M交2.已知下圖中，四邊形 ABCD是等腰梯形，AB/CD , EF /CD , DMEF于點(diǎn)N, DN 3陰，MN 邪,現(xiàn)將梯形ABC冊(cè)EF折起，記折起后 C D為C&#

3、39;、D'且使D'M 2-6,如圖示.(I )證明：D'M 平面ABFE ,(n)若圖中， A 60；,求點(diǎn)M到平面AED'的距離.【答案】(I)見解析(n) 2J2 .【解析】試題分析：(I)折疊前后， D'NEF MNL EF,故EFL平面MND',故EF D'M . 利用勾股定理可證得 D'M MN ,所以D'M 平面ABFE (II )設(shè)點(diǎn)M到平面AED'的 距離為h, D 8, AM 4,利用勾股定理證明 D'E AE ,利用等體積法可求得點(diǎn) M到 平面AED'的距離為2衣.試題解析：(

4、I)可知 EF/AB, D'N ±EF MNLEF,又 D'N MN N ,得 EF，平面 MND',得 EF D'M,' D'M 2 MN 2 27 D'N2D'M MN ,又 MN EF N , .-. D'M 平面 ABFE(II)設(shè)點(diǎn)用到平面乂即'的距離為抵由 片/-庫(kù)。,= %_/財(cái)/ 得 S*dRm二 2 j DE -二 6= AM =4,在j?/AZT岫中, 口'/=。'施2+/;如, 又Z)'E = 6, AM = 2j 得. D'E AE ,SAED

5、9; 1AE D'E 6,又 Saem 1AM MN 25/3 , 22代入式，得2h 1 273 2冊(cè),解得h 2石，3點(diǎn)M到平面AED'的距離為272 .3 .如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正三角形 ABC中，D,F分別為AB, AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn).將 BCD與 AEF分別沿CD, EF同側(cè)折起，使得二面角 A EF D與二面角B CD E的大小都等于90。，得到如圖2所示的多面體圖1(1)在多面體中，求證:A,B,D, E四點(diǎn)共同面;(2)求多面體的體積.【答案】(1)見解析(2)736【解析】試題分析：(1)由已知條件可證明 AE 平面DEFC和BD 平面DEFC ,所以

6、AE/BD,故A, B,D,E四點(diǎn)共同面; 117J3(2)利用體積分割求 V Vacdef Va BCD 二 SwcdefDE -Sbcd DE 336試題解析；(1)因?yàn)槎娼莇D的大d等干網(wǎng)力,所以平面謝，平面DEFC J又盤_LM,4ETu平面平面盤Fc平面D邱C二即所以/E_L平面。即C,同理,可得平面所以空打班，故4人口后四點(diǎn)共同面j(2)因?yàn)?AE 平面 DEFC , |BD 平面 DEFC , EF/CD , AE /BD , DE CD ,所以AE是四棱錐| A CDEF|的高，點(diǎn)| A到平面|BCD的距離等于點(diǎn)| E到平面| BCD ,又AE DE 1,CD 2J3,EF

7、33, gD 2, ,所 以7,. 311V VA CDEFVA BCD 二 S弟形 CDEF DE 二 S BCD DE334 .以口D為直徑的圓。經(jīng)過(guò)小£,兩點(diǎn)，延長(zhǎng)口人。8交于尸點(diǎn)，將&P川?沿線段川?折起，使F點(diǎn) 在底面25的射影恰好為小D的中點(diǎn)Q.若加二區(qū)=1 ,皿=2 ,線段M的中點(diǎn)分別為（1）判斷四點(diǎn)兒以£ F是否共面，并說(shuō)明理由;（2）求四棱濰日-GOCQ的體積.5 0【答案】（1）四點(diǎn)兒。艮不共面.（2）3r【解析】試題分析：（1）證明四點(diǎn)不共面，基本方法為反證法，即假設(shè)四點(diǎn)共面，則由線線平行/7/次.得到線面平行平面八出山，再由線面平行得到線線平

8、行0。仇與條件相交矛盾,反設(shè)不成立，得到結(jié)論，（2）求四棱錐的體積，關(guān)鍵在于求高，而高的尋求往往借助于線面垂 直關(guān)系得到,本題根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直,PQ 1 AD ,所以"Q為四棱錐" - AUCQ的高，再代入體積公式即可.試題解析：（1）假設(shè)四點(diǎn)/ULEJ；共面，因?yàn)閕77/WC|, UCC平面,所以附平面, 又因?yàn)槠矫?加必1。平面川北。二公認(rèn)1,圮匚平面.4BG兒 所以象:/川。，與已知= P 矛盾，所以四點(diǎn)兒D,匕不共面.（2）由題意“小一一 2又J81/1D,人占1川于/,所以八"1平面所以平面4RCD J平面巴加，門點(diǎn)在底面0，e的射影恰為

9、力的中點(diǎn)Q,所以CD|,所以國(guó),7 zxor = m為四棱錐y-八"CQ的高，八出二HC=1,= 2|,一I _3_3. PD =口= " 一"" 一 2 , 一工線段戶打的中點(diǎn)為現(xiàn)日所以E點(diǎn)到平面川，僅的高為1M13 5 dq連接 CQ,所以 CQ1W % . 8=/ 8 W?5.如圖(1),五邊形ABCDE中,ED EA, AB/CD,CD 2AB, EDC 1500.如圖(2),將 EAD沿AD折到 PAD的位置，得到四棱錐 P ABCD .點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，且BM 平面PCD .9(1)(1)求證：平面PAD 平面PCD；1 ,求四棱錐P A

10、BCD的體積.(2)若直線PC與AB所成角的正切值為 1,設(shè)AB2C【答案】(1)見解析；(2) 232【解析】試題分析：(1)要證明面面垂直，一般先證線面垂直，題中已知BM 平面PCD ,由于M是PC的中點(diǎn)，只要取PD的中點(diǎn)N ,可證AN /BM ,從而得 AN 平面PCD ,因此就得到面面垂 直；(2)由(1)的垂直可證 PAD是等邊三角形，因此有 PDA 60 ,再得 CDA 90 , 于是有CD 平面PAD ,可得CD PD ,這樣可求得圖形中各線段長(zhǎng)，可得四棱錐的底面 積和高，得體積.試題解析：1(1)證明：取PD的中點(diǎn)N ,連接AN ,MN ,則MN /CD,MN -CD ,2_

11、_1又 AB/CD, AB CD ,所以 MN /AB, MN AB,2則四邊形 ABMN為平行四邊形，所以 AN/BM ,又BM 平面PCD , AN 平面 PCD ,AN 面 PCD平面PAD 平面PCD（2）取AD的中點(diǎn)0,連接尸。,因?yàn)閃平面PCD,.AN±PDtAN±CD.由ED二曲即IPD二五d及N為PD的中點(diǎn)，可得APKD為等邊三角形, ，/即幺=60%又/EDC = 15O%，GD_L.4D,/. CD _L平面 PAD、CD u平面 ABCD，平面PAD _L平面ABCD.PO AD 面 PAD 面 ABCDPO 面 PAD所以PO 面ABCD所以PO是錐

12、P ABCD的高.AB/CD,， PCD為直線PC與AB所成的角，由（1）可得 PDC 900, tan PCD 理 1 , . CD 2PD , CD 2由 AB 1 ,可知 CD 2,PA AD AB 1,則 VP ABCD 7 Pos ABCD T . 326.如圖（1）所示，已知四邊形 SBCD是由直角 SAB和直角梯形 ABCD拼接而成的，其中SAB SDC90：.且點(diǎn)A為線段SD的中點(diǎn)，AD 2DC 1, AB SD現(xiàn)將 SAB沿AB進(jìn)行翻折，使得二面角S ABC的大小為90、得到圖形如圖（2）所示，連接SC,點(diǎn)E,F分別在線段SB,SC上.(1)證明： BD AF ；(2)若三超

13、t B AEC的體積為四棱錐 S ABCD體積的2,求點(diǎn)E到平面51【答案】(1)見解析(2)-2【解析】試題分析：(1)利用線面垂直的判斷定理可證得 BD 平面SAC,則BD AF .(2)利用體積的比值結(jié)合體積公式可得點(diǎn)E到平面ABCD的距離為1 .2試題解析：(I)因?yàn)槠矫?SAB 平面ABCD ,又SA AB,所以SA 平面ABCD .又BD 平面ABCD ,所以SA BD .在直角梯形 ABCD 中， BAD ADC 90 , AD 2CD 1, AB1所以 tan ABD tan CAD ,2又 DAC BAC 90 ,所以 ABD BAC 90 ,即 AC BD,又 AC SA

14、A,所以BD 平面SAC.因?yàn)锳F 平面SAC,所以BD AF .(n )設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為h ,ABCD的距離.2,因?yàn)閂B AECVE ABCVE ABC，且ABCD115V S弟形 ABCD SA1 15所 VS ABCD 32 22V 112V E ABC-Sabc h-2 1 h232rr 11即h 一,故點(diǎn)E到平面ABCD的距離為一.227.如圖，在矩形 ABCD中，AD 2, AB 4,E,F分別為AB, AD的中點(diǎn)，現(xiàn)將 ADE沿DE折起，得四棱錐A BCDE(1)求證：EF平面ABC;(2)若平面 ADE 平面BCDE ,求四面體FACE的體積.【答案】(1)見解析

15、；(2)【解析】試題分析：(1)取線段AC的中點(diǎn)M ,連接MF ,MB ,只需證明四邊形|BEFM |為平行四邊形，即有 EF BM ,可得；一 . .1(2)先證CE 平面ADE ,進(jìn)而四面體FACE的體積V S EFA CE .3試題解析：取線段 AC的中點(diǎn)|M 連接 MF , MB ,因?yàn)閨F為AD|的中點(diǎn)，所以 MF CD ,且MF 1CD ,在折疊前，四邊形|ABCD為矩形，|E為AB的中點(diǎn)，所以BE CD ,且 21 BE -CD . MF BE ,且MF BE ,所以四邊形|BEFM為平行四邊形，故EF BM , 2又EF 平面ABC, BM 平面ABC ,所以EF |平面ABC

16、. 在折彘前.四邊形*s為矩形，*0=2,超=4 E為5的中點(diǎn),所以人回區(qū)都是等腰直角三龜形3且& = 絲=即=方C = Z,所以/d 二CEff = 45% 且DE=EC=m .又ZDEA+ZCEB = 18C, /. ZDEC = 90",又平面 沖月 _L 平面4 CDE,平面/DEc 平面BCDE = DEQEu平面BCDE ,所以四平面ABE ,即CE為三棱錐C- EFD的高.因?yàn)镕為期的中點(diǎn),所以喝刑=!，!乂0/£=:><2父2=1,所以四面體四鹿的體積 2 24口 = k jj-j CE k 1 k-3皿 338.如圖1,平行四邊形 AB

17、CD中， AC BC, BC AC 1 ,現(xiàn)將 DAC沿AC折起, 得到三棱錐D ABC （如圖2）,且DA BC ,點(diǎn)E為側(cè)棱DC的中點(diǎn).圖1圖2（I）求證：平面 ABE 平面DBC ;（n）求三棱錐 E ABC的體積；（出）在 ACB的角平分線上是否存在點(diǎn) F ,使得DF /平面ABE?若存在，求DF的長(zhǎng); 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（I）見解析；（n） vb ACE 工；（出）DF V2.12【解析】試題分析：（I）由平面幾何知識(shí)先證明AE CD ,再由線面垂直的判定的定理可得BC 平面ACD ,從而得AE BC ,進(jìn)而可得AE 平面BCD ,最后由由線面垂直的1判定的定理可得結(jié)論；

18、（n）由等積變換可得 vb ace 1 BC SACE，進(jìn)而可得結(jié)果；（口）3取AB中點(diǎn)O ,連接CO并延長(zhǎng)至點(diǎn)F ,使CO OF ,連接AF , DF , BF ,先證四邊 形ACBF為平行四邊形，則有 BC / AF ,利用平面幾何知識(shí)可得結(jié)果 .試題解析：（I）證明：在平行四邊形 ABCD中，有AD BC AC ,又因?yàn)镋為側(cè)棱DC 的中點(diǎn)，所以AE CD ;又因?yàn)锳C BC , AD BC ,且AC AD A,所以BC 平面ACD .又因?yàn)锳E 平面ACD ,所以AE BC ;因?yàn)锽C CD C , 所以AE 平面BCD , 又因?yàn)锳E 平面ABE ,所以平面ABE 平面BCD .(n

19、)解：因?yàn)?ve abc Vb ace， BC 平面ACD ,所以BC是三棱錐的高,故 Vb aceBC S ACE,又因?yàn)?BC1, CDJ2, AE 更，所以 Sace 1 AE -CD1 1 J21, 222222411所以有 Vb ace 二 BC S ACE -. 312(m)解：取AB中點(diǎn)O ,連接CO并延長(zhǎng)至點(diǎn)F ,使CO OF ,連接AF , DF , BF .因?yàn)锽C AC ,所以射線CO是角 ACB的角分線.又因?yàn)辄c(diǎn)E是的CD中點(diǎn)，所以O(shè)E / DF , 因?yàn)镺E 平面ABE , DF 平面ABE , 所以DF /平面ABE .因?yàn)锳B、FC互相平分，故四邊形ACBF為平行

20、四邊形，有 BC / AF .又因?yàn)镈A BC ,所以有AF AD ,又因?yàn)锳F AD 1,故DF 22.9.如圖，在 ABC中， C為直角，AC BC 4.沿 ABC的中位線DE,將平面ADE 折起，使得 ADC 90：,得到四棱錐 A BCDE .(I)求證： BC 平面ACD ;(n)求三棱錐 E ABC的體積；(m) M是棱CD的中點(diǎn)，過(guò)M做平面|與平面ABC平行，設(shè)平面| |截四錐 A BCDE 所得截面面積為S,試求S的值.【答案】(I)見解析；(n) 8;(出)272 .3【解析】【試題分析】(1儂據(jù)題設(shè)條件，借助線面垂直的判定定理分析推證,(2)先硼定三棱錐的高，再運(yùn)用三棱椎的

21、體積公式求解(3)先確定截面的位置，再分析探求截面的面積：4I )證明：因?yàn)镈EI f£C ；且=90,所以0KJ.3,同時(shí)DE_LDC,又立 cQC = q ,所 MDEJ面 46 .又因?yàn)榭诤蟆癊C,所以HCJ平面/CD.(n)由(I)可知： BC 平面ACD ,又AD 平面ADC ,所以AD BC ,又因?yàn)?ADC 90：,所以|AD DC.又因?yàn)閨BC DC C,所以AD 平面|BCDE.1 一所人 VE ABC VA EBC - S EBC AD .3一一一1 一 一1依題意， SEBC -BC CD - 4 2 4.2218所以，VE ABC 一 4 2 一.33(出)分

22、別取 AD,EA,AB的中點(diǎn)N,P,Q,并連接MN,NP,PQ,QM ,因?yàn)槠矫?/平面ACD ,所以平面 與平面ACD的交線平行于 AC ,因?yàn)镸是中點(diǎn)，所以平面 與平面ACD的交線是 ACD的中位線MN .同理可證，四邊形MNPQ是平面 截 四棱錐A BCDE的截面.即:S SMNPQ由（I）可知:BC 平面ACD ,所以BC AC ,又QM /AC , MN/BC，QM MN四邊形MNPQ是直角梯形.在 RtADC 中，|AD CD 2 . . AC 2版.i 1 一MQ - BC DE 3.2點(diǎn)睛：立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的考點(diǎn)之一，在問(wèn)題 的設(shè)置上通常

23、設(shè)置為考查和檢測(cè)線面的位置關(guān)系和角度距離的計(jì)算問(wèn)題。求解本題的第一問(wèn) 時(shí)，直接運(yùn)用線面垂直的判定定理進(jìn)行分析推證；解答第二問(wèn)時(shí)，先確定三棱錐的高與底面，運(yùn)用體積公式求解；第三問(wèn)的設(shè)置是探求截面的位置及形狀，然后求其面積，使得問(wèn)題獲解。10.如圖1,在邊長(zhǎng)為3的正三角形中，|E, |F, |P分別為AB, |AC, BC上的點(diǎn),且滿足AE FC CP 1.將| AEF沿EF折起到 A EF的位置，使平面 A1EF 平面EFB ,連結(jié) A1B , AP, CQ.（如圖 2）（I）若Q為A1B中點(diǎn)，求證：PQ |平面A1EF ;（n）求證： AE EP ；（出）求CQ與平面A1BE所成角的正切（1）見解析（2）見解析（3）3 <6【解析