降落傘地選擇問題2

1、降落傘的選擇問題摘要本文根據(jù)降落傘在空間下落的高度與時(shí)間的關(guān)系求出下落過程 中受到的空氣阻力系數(shù)，從而得出不同降落傘的載重。依據(jù)價(jià)格與載 重量的函數(shù)用lingo軟件進(jìn)行擬合，在載重量確定的條件下如何優(yōu)化 降落傘的選擇從而達(dá)到支出最少的目的。關(guān)鍵詞:阻力系數(shù)；matlab ; ling。;線性規(guī)劃;數(shù)據(jù)擬合一、問題的提出為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000kg ,需選購一些降落傘。已知空 投高度為500m ,要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過20m/s。降落 傘面為半徑r的半球面，用每根長L,共16根繩索連接的載重m的 物體位于球心正下方球面處,每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面 費(fèi)用Ci由傘的半徑r決定

2、，繩索費(fèi)用C2由繩索總長度及單價(jià)4元/ 米決定;固定費(fèi)用C3為200元。r ( m )22.533.54費(fèi)用（元）651703506601000降落傘在降落過程中受到重力作用外還受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與 降落速度和傘的受力面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑 r=3ms載重m=300kg的降落傘從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)得各 時(shí)刻的高度時(shí)刻t(S)036912151821242730高度h(m)500470425372317264215160108551試根據(jù)以上條件確定降落傘的選購方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘 的半徑多大(表1中選擇)，在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。二模型假設(shè)針

3、對(duì)降落傘下落的問題,需要對(duì)具體的空投做出討論，但是考慮 到空投瞬間直升機(jī)處于近似靜止?fàn)顟B(tài)，故作出以下假設(shè):(1) 降落傘下降瞬間初速度為0 ;(2) 物資可以根據(jù)需要進(jìn)行任意分割;(3 )降落傘只受到空氣阻力和物資重力的作用，不考慮風(fēng)速的影響;(4) 降落傘及其繩索的質(zhì)量近似為0 ;(5) 降落傘在投放瞬時(shí)已經(jīng)打開；(6) 假設(shè)“血仃;基于以上假設(shè)，我們可以根據(jù)物理公式降落傘下降時(shí)所收到的 力的合力為降落傘的加速度（速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)）,左右兩邊同時(shí)積 分從而轉(zhuǎn)換到位移和時(shí)間的關(guān)系采用表格中給出的位移和時(shí)間的一 系列相關(guān)點(diǎn)并通過matlab擬合得到位移時(shí)間函數(shù)中的未知參數(shù)， 進(jìn)而得到阻力系數(shù)。根

4、據(jù)降阻力與降落傘的速度和傘面積的乘積成正 比從而獲得阻力系數(shù)k,獲得不同型號(hào)的降落傘的半徑與載重的關(guān) 系。每種降落傘的價(jià)格由三部分Cl , C2 , C3組成，每種降落傘的 總費(fèi)用C二C1+C2+C3 ,根據(jù)總載重量不低于2000kg ,采用Lingo 進(jìn)行擬合仿真，從而得到最優(yōu)解。三、符號(hào)說明符號(hào)名稱符號(hào)含義k空氣的阻力系數(shù)9重力加速度（取9.8m/52 ）V降落傘的瞬時(shí)速度r降落傘的半徑s降落傘的傘面積m降落傘的載重量a降洛傘的加速度h降落傘離地面的高度t降洛傘下洛的時(shí)間xl,x2/x3,x4/x5每種降落傘的購買數(shù)量S降落傘的位移四、模型的建立與求解4.1首先對(duì)傘下落過程進(jìn)行受力分析空氣

5、阻力f重力mg，根據(jù)牛頓第二定律有:Mg_f=ma;dv同時(shí)有 f=ksv;帶入式中，得到dvMgksv=m 防考慮到題目中給出的是關(guān)于下降的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，故想到將上述公式轉(zhuǎn)換為有關(guān)高度和時(shí)間的關(guān)系式；dvMg - ksv=m 對(duì)兩段同時(shí)積分m x In（加g ksv） + kst+ksc - 0 .t=o 時(shí)刻 v=0；從而解出c,得到V的表達(dá)式:左右兩邊同時(shí)對(duì)t進(jìn)行積分，則左邊變成位移S ,右邊變成有關(guān)t的函數(shù)，積分以后得到的結(jié)果如下:2kstz、 mt m 2 ks k s由于降落傘是從500m高空下落，故有kste m +4.2采用matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合部分：對(duì)x（t進(jìn)行擬合

6、）（1 ）直接帶入位移時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行matlab擬合，得到的結(jié)果如下:500X VS t4003002001000051015202530所得分析報(bào)表如下：ResultsGeneral model：(x) =(-b*x)-c#x+dC&effi cients (with 95% conEi dence bounds):a =-27.07b 二19.29c =L7.48(17.22,17.73)d =527.1(522,532.1)Goodness of fit：SSE： 44. 82Rsquare： 0. 9998Adjusted Rsq.uare： 0.9998!RMSE： 2.531結(jié)果發(fā)現(xiàn)A

7、為負(fù)值，不符合實(shí)際情況，雖然擬合的比較好，但是由于采用了多個(gè)未知變量導(dǎo)致求出來的K值相差很大，故需要改變方法，于是我們想到了另一個(gè)方法見422(2 )采用matlab帶入已知參數(shù)值直接進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，將表中位移時(shí)間點(diǎn)帶入，則有f(x) = (275.8188 十疋)*exp(5.3052 4-Z:)*x)-275.81862 +51.9906 十*xResultsGeneral model：(x) = (275.818S/kA2)*exp(-5. 3052/k)*x)- (51.9906/k)#x- 匚oefficints (wi th 95% conEi dnce bounds):k =3.

8、464(3. 287, 3.641)Goodness of fit：SSE： 5420R-squ.are： 0. 9812Adjusted Rsquare： 0. 9812RMSE; 23.26ResultsS18S/krt2)*exp (-5.3052/k)*x)- (51. 9906/k)*x-275. SiSS/V2+500 h 95*X confi deuce bounds):3. 464(3. 287, 3.641)2re： 0.9812經(jīng)過對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)和方差SSE為5420 ,均方根RMSE 為23.28 ,確定系數(shù)R-square為0.9812 ,因此所得的結(jié)果方差比較

9、大，波動(dòng)t匕較大，吻合度不高，且確定系數(shù)才0.9812 ,有待改進(jìn)， 于是經(jīng)過組員討論，可能是因?yàn)椴捎昧?exp函數(shù)導(dǎo)致matlab軟件在 數(shù)位上有所取舍從而導(dǎo)致結(jié)果的精確度不高，經(jīng)過對(duì)exp函數(shù)的研 究，我們決定將其進(jìn)行泰勒展示展開，采用線性擬合可能得到t匕較好 的效果。(3 )將函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，得到關(guān)于變量t的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合;-kste山+oczn!三1一空+mkW2m26/77 6y = K x |)二 IT - 51. 9906 Wk+499+0. 1885電k*七Fit Options.ResultsJsneral model；(x) = -51. W06*x/l499+0.188

10、5*1tCoeici ents (with 95 黑 confi lence bounds): k =3.046 (2.947, 3.146)t =33.88 (15.65, 52.11)Goodness of fit：SSE： 544.3Rsquare： 0.9981Adjusted R-squaxs； 0. 9979RMSE: 7.777根據(jù)前面的分析我們做了直接用MATLAB中curve fitting tool的 rational直接進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，發(fā)現(xiàn)擬合效果比較理想，求出來的k 約等于3.046,確定系數(shù)為0.9979 ,擬合效果非常理想。以下是我們對(duì)比上面三個(gè)擬合方法得到的t匕較

11、圖:t v$. Xa*exp(-b*K)*c*x*d1.86530.9981|7(0.99730.5162h untHed fit 3X V5. trat210.999960.99991.7S64-J untded fit 6 二d f* ：X V. t xvs.t-51.990&k-49.M4.32731翻伽03-9? 3.09H49100.99797.7769：12.74O1fit typeAdj R-sqFit nameDataSSE R-squareDFERMSE根據(jù)kvs=mg及由前面求出的k值帶入到有關(guān)位移s的函數(shù)中去， 求出關(guān)于速度和位移的關(guān)系式，由v=20m/s得出不同半徑的降

12、落 傘相應(yīng)的載重量m的最大值。編寫MATLAB程序求解m :3.046;g=9.8v=20;r=4,6.25,9,12.25,16*;s=pi*2*r;m=k*s*v/g經(jīng)過運(yùn)行matlab程序后，我們得到了五種不同半徑的降落傘的最大 載重量，依次是解得m =156.2333244.1146351.5250478.4646624.9333然后根據(jù)空投物資的重量確定關(guān)系式1 :156.2333*xl+244.1146*x2+351.525*x3+478.4646*x4+624.9333*x5=2000然后根據(jù)不同降落傘的價(jià)格C=C1+C2+C3 ;其中Cl可以通過表格知道，C2=16V2*r*4

13、;C3=200;故在滿足空投物資重量大于等于2000kg的情況下，購買降落傘的花 費(fèi)為：C=(265+128*1.414)*xl+(370+160*1.414)*x2+(550+1.414*192)*x3+(860+224*1.414)*x4+(1200+256*1.414)*x5針對(duì)此類最優(yōu)化解的問題，可以采用Ling。軟件進(jìn)行求解，得到相應(yīng) 的 xl,x2,x3zx4,x5;運(yùn)用lingo軟件求解最優(yōu)解,程序如下：min=(265+128*1.414)*xl+(370+160*1.414)*x2+(550+1.414*192)*x3+(860+224*l.414)*x4+(1200+256

14、*1.414)*x5;156.2333*xl+244.1146*x2+351.525*x3+478.4646*x4+624.9333*x5=2000;求解 得到Global optimal solution found.0.000000Objective value:4673.852Infeasibilities:Total solver iterations:0VariableValueReduced CostXI0.00000080.88630X20.00000025.76218X35.6894960.000000X40.00000058.59952X50.000000101.5610Ro

15、wSlack or SurplusDual Price14673.852-1.00000020.000000-2.336926考慮到現(xiàn)實(shí)情況降落傘個(gè)數(shù)只能是整數(shù)，故購買方案可以是:方法一，購買6個(gè)I二3的降落傘，此時(shí)的總費(fèi)用為W1二821.529004*6二4929.17 ,方法二,購買5個(gè)3號(hào)降落傘,剩余物資總質(zhì)量為242.375kg,這些物資可用一個(gè)2號(hào)降落傘，總費(fèi)用為W2二821.529004*5+244.1146二4351.76 ,方法三，購買5個(gè)3號(hào)降落傘，兩個(gè)1號(hào)降落傘,總費(fèi)用為W3 二 821.529004*5+156.2333*2 二4420.11經(jīng)過分析，明顯二號(hào)購買方案比較劃算，即購買半徑為2.5m的降落傘一個(gè)，半徑為3m的降落傘5個(gè)，總共花費(fèi)為4351.76元。五、模型分析與評(píng)價(jià)此模型關(guān)于降落傘在空中下落的問題進(jìn)行了認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治觯?采用牛頓定律對(duì)其進(jìn)行受力分析從而得到位移時(shí)間函數(shù)，過程