數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

1、3.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念明目標、知重點1了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程.2 .理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3 .掌握復數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復數(shù)相等的充要條件.填要點記疑點1 .復數(shù)的有關(guān)概念復數(shù)定義：形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中a,bR,i叫做虛數(shù)單位.a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部.表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi.復數(shù)集定義：全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集.表示：通常用大寫字母C表示.2 .復數(shù)的分類及包含關(guān)系(1)復數(shù)(a+ bi , a, b R)純虛數(shù)a=0 虛數(shù)bf非純虛數(shù)/0(2)集合表示:圍內(nèi)很多問題

2、還不能解決，如從解方程的角度看，象那么怎樣解決方程X?二- 1在實數(shù)系中無根的問題呢？我們能否將實數(shù)集進行擴充, 圍內(nèi)就無解，使得在新3復數(shù)相等的充要條件a+ bi = c+ di ? a= c 且 b二 d.設a,b,c,d都是實數(shù)，那么探要點究所然情境導學為解決方程X?=1,數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；數(shù)的概念擴充到實數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范x2=-1這個方程在實數(shù)范的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？本節(jié)我們就來研究這個問題.探究點一復數(shù)的概念思考1為解決方程X2=2,數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程X2+1-0在實數(shù)系中無根的問題呢？答設想引入新數(shù)i,使i是方程X、1=0的根，即i-

3、i二-1,方程片+1=0有解，同時得到一些新數(shù).思考2如何理解虛數(shù)單位i?答(l)i21.(2)i與實數(shù)之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律.99(3)由于iV0與實數(shù)集中a>0(aF)矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在復數(shù)集中不再成立.(4)右i=-1,那么i=i,i=-1,i=-i,i=1.思考3什么叫復數(shù)？怎樣表示一個復數(shù)？答形如a+bi(a,bF)的數(shù)叫做復數(shù)，復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi,這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式，其中a、b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.思考4什么叫虛數(shù)？什么叫純虛數(shù)?答對于復數(shù)z=a+bi(a,bR),當b*0時叫做虛數(shù)；當a=0且bK時，叫做純虛數(shù).

4、思考5復數(shù)m+ni的實部、虛部-，定是m、n嗎？答不一定，只有當mR,nR,則mn才是該復數(shù)的實部、虛部.例1請說出下列復數(shù)的實部和虛部，并判斷它們是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù).12+3i;-3+2i272+i:冗；-羽i；®0.解的實部為2,虛部為3,是虛數(shù)；的實部為一 3,虛部為2,是虛數(shù)；的實部為72,虛部為1,是虛數(shù)；的實部為n,虛部為0,是實數(shù)；的實部為0,虛部為一3,是純虛數(shù)；的實部為0,虛部為0,是實數(shù).反思與感悟 復數(shù)a+ bi中，實數(shù)a和b分別叫做復數(shù)的實部和虛部.特別注意,b為復數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號叫做復數(shù)的虛部.跟蹤訓練1符合下列條件的復數(shù)一定存在

5、嗎？若存在, (1)實部為一寸2的虛數(shù)；請舉出例子;若不存在,請說明理由.虛部為一72的虛數(shù);虛部為一寸2的純虛數(shù);實部為一72的純虛數(shù).(3)即一存在且唯一,解存在且有無數(shù)個，如一V2+i等；(2)存在且不唯一，如1-V2i等;72i；(4)不存在，因為純虛數(shù)的實部為0.例2當實數(shù)訕何值時，復數(shù)公斗嚴+(電2謚為實數(shù)；虛數(shù)；(3)純虛數(shù).m2m=0解當m.0,即三2時，復數(shù)”是實數(shù)；m2nT0,當m.O即m存0且/2時，復數(shù)z是虛數(shù)；m+m-6二0當mm2nf0即nF3時，復數(shù)z是純虛數(shù).反思與感悟利用復數(shù)的概念對復數(shù)分類時，主要依據(jù)實部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數(shù).跟蹤訓練2實

6、數(shù)m為何值時，復數(shù)z=硼一+(m+2m-3)i是實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).解要使z是實數(shù)，小需滿足皿+2仆3=0,且7乎有意義即門工0,解得三一3.要使z是虛數(shù)，m需滿足m+2m-3工0,且4M有意義即m-110,解得ml且nf-3.(3)要使z是純虛數(shù)，m需滿足0,m-1I'0,且m+2n3工0,解得0或m二一2.探究點二兩個復數(shù)相等思考1兩個復數(shù)能否比較大??？答如果兩個復數(shù)不全是實數(shù)，那么它們不能比較大小.思考2兩個復數(shù)相等的充要條件是什么？答復數(shù)a+bi與c+di相等的充要條件是a二c且b二d(a,b,c,dR).例3已知x,y均是實數(shù)，且滿足(2x1)+i=一y(3y)i

7、,求x與y.解由復數(shù)相等的充要條件得'J】二1 二y3.A.13X解得二；v4反思與感悟兩個復數(shù)相等，首先要分清兩復數(shù)的實部與虛部，然后利用兩個復數(shù)相等的充要條件可得到兩個方程，從而可以確定兩個獨立參數(shù).9-X6陽除訓練R曰知上+一力一加一R)"YrF).乘Y的侑解由復數(shù)相等的定義得2CXX60解得：X=3,X+1所以X二3為所求.當堂測-查疑缺1 .已知復數(shù)z=a 一 (2A. 1C. ± 舊 5答案C解析令廠22 + b 32-下列雋粉中.滿足方程A.C. ± V2i答案C-b)i的實部和虛部分別是 Ba/2 , 5D. ± jflL 1,得

8、 a-士 人，b 5.¥X+2。抬1層()B. ±iD. ± 2i3.如果 z = nmm+1) + (m 1) i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為(B.0D.1或1答案mm+1=0解析由題意知-m1/0m=0.4.下列幾個命題：兩個復數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等;兩個復數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；1ai(aR)是一個復數(shù)；虛數(shù)的平方不小于0；一1的平方根只有一個，即為一i;i是方程X4-1=0的一個根；加是一個無理數(shù).其中正確命題的個數(shù)為()答案B解析命題正確，錯誤.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1對于復數(shù)z=a+bi(a,bR),可以限制a,b的值得到復數(shù)z的不

9、同情況；2.兩個復數(shù)相等，要先確定兩個復數(shù)的實、虛部，再利用兩個復數(shù)相等的條件進行判斷.40分鐘課時作業(yè)、基礎過關(guān)1 .設a,bR.“a=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的()答案D解析對于復數(shù)a+bi(a,bR),當a二0且bMO時為純虛數(shù).A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析因為a,bR.“a=0”時“復數(shù)a+bi不一定是純虛數(shù)”.“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”則“a二0”一定成立.所以a,bR“a=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.下列命題正確的是()A.若R,則(a+1)i是純虛數(shù)B.若a,bR且a>b,則a+i>

10、;b+i99Jn+導射T點物刖寸物V=4-1D.兩個虛數(shù)不能比較大小在A中，若a二一1,貝|J(a+1)i不是純虛數(shù)，故A錯誤；在B中，兩個虛數(shù)不能比較大小，故B錯誤；在C中，若x二一1,不成立，故C錯誤；D正確.3. 以一&+2i的虛部為實部，以75i+2i"的實部為虛部的新復數(shù)是()A.22iB.一護+eC.2+iD.&+75i答案A解析設所求新復數(shù)z=a+bi(a,bR),由題意知：復數(shù)一人5+2i的虛部為2;復數(shù)75i+2i=75i+2X(1)=一2+寸5i的實部為一2,則所求的z=2一2i.故選A.4. 若(x+y)i=Xl(x,yR),則2x+y的值為()

11、答案解析由復數(shù)相等的充要條件知，'+尸°,解得'=1'x+y=0.=2o=1.x一1二0,y二一1,C. 1答案解析6設答案解析5. 若復數(shù)z=(X-1)+(x-l)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()由復數(shù)z=(x2-1)+(x-l)i為純虛數(shù)得*一1二°，解得X二一1.mER,m2+m-2+(ml)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則nTm+m2=0mIMO?"二一)7.已知(2xy+1)+(y2)i=0,求實數(shù)x,y的值.解/(2xy+1)+(y2)i=0,12xy+1=0,x二廠解得2y一2=0.y=2.1所以實數(shù)X,y的值分別為2,2.二、

12、能力提升&若(X?1)+(胃+3X+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x的值是()A.IB.1C.±1D.-1或一2答案Ax 一 1 二 0, 解析由題意，得 2解得X=1.9. 7a =3 4i. 7.9- (n 3 nl- 1) + (n川 6) i .口 z = Z?則重數(shù)，n二答案2±2一3= n 3m- 1nF 2解析由ZkZ2得2,解得n二±210.已知集合M二1,2 , (a2 3a 1) + (a2 5a 6)iN= 1,3,若 MT答案解析2由 MT N=3知，3 M 即有(a一 3a解得a二一1.211.實數(shù)m分別為何值時，復數(shù)Z二一一2a 3a-

13、 1 = 3,1) + (a2 5a 6) i = 3,所以?+ (m 3m- 18) i是實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純 n+ 3虛數(shù).解要使所給復數(shù)為實數(shù)，必使復數(shù)的虛部為0.m 3 m- 18= 0故若使:為實數(shù)，則m+3.0解得由二6.所以當m=6時，z為實數(shù).(2)要使所給復數(shù)為虛數(shù)，必使復數(shù)的虛部不為故。若使Z為虛數(shù)，則m 3m- 18工0,且n+ 3工0,所以當m%且6 3時，z為虛數(shù).(3)要使所給復數(shù)為純虛數(shù)，必使復數(shù)的實部為0,虛部不為0.2m+ m- 3 = 0故若使z為純虛數(shù)，則n+ 3工0m 3m- 18 I： 03所以當m二一2或m二1時，Z為純虛數(shù).12.設Zi=m+1+(用+m2)i,Z?=4m+2+(m5nf4)i,若Zi<Z2,求實數(shù)m的取值范圍.解由于Z/Z2,mR,ZiR且Z2R,當乙R時，mmm2=0,mu1或mu2.當Z2R時，mi5m+4=0,mu1或mu4,當nr1時，Zi=2,Zz=6,滿足Zi&l