立體幾何中的向量方法(系統(tǒng))（課堂PPT）

1、lAPa 直線的方向向量直線的向量式方程 換句話說(shuō)換句話說(shuō), ,直線上的非零向量直線上的非零向量叫做叫做直線的直線的方向向量方向向量APta 一、方向向量與法向量2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程0a AP 換句話說(shuō)換句話說(shuō), ,與平面垂直的與平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量4oxyzABCO1A1B1C1例1. 如圖所示, 正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為_(kāi)平面OABC 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(kāi)(1)平面AB1C 的一個(gè)法向量坐標(biāo)為_(kāi)(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)5例例267 練習(xí)練習(xí) 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐

2、P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 求平面求平面EDB的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量.ABCDP PE E解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依題題意意得得D DB B( (1 1, , 1 1，0 0) )1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )XYZ設(shè)平面設(shè)平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是8

3、因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的用直線的方向向量方向向量與平面的與平面的法向量法向量表表示空間直線、平面間的示空間直線、平面間的平行、垂直、平行、垂直、夾角、距離夾角、距離等位置關(guān)系等位置關(guān)系.用向量方法解決幾何問(wèn)題910mlab一一. 平行關(guān)系：平行關(guān)系：11au aAC axAByAD 12v u 13 例例1 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE

4、/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), A AE E = =( (- -3 3, ,3 3, ,3 3) ), ,F FG G = =( (- -2 2, ,2 2, ,2 2) )32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系. ./ A AE EF FG GAEAE與與FGFG不共線不共線幾何法呢？幾何法呢？14 例例2 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中點(diǎn)，的中

5、點(diǎn)， (1)求證：求證：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立體立體幾何法幾何法15ABCDP PE EXYZG解解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)AC,AC交交BD于點(diǎn)于點(diǎn)G,連結(jié)連結(jié)EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/16ABCDP PE EX

6、YZ解解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )設(shè)平面設(shè)平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 17ABCDP PE EXYZ解解4：如圖所示建立空間直角

7、坐標(biāo)系，點(diǎn)：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B B( (1 1, , 1 1，0 0) )(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE D DB B = =( (1 1, , 1 1，0 0) )PAxDEyDB 設(shè)解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面18ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練習(xí)練習(xí)如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面相

8、交于所在平面相交于ADAD，點(diǎn)，點(diǎn)分別在對(duì)角線分別在對(duì)角線上，且上，且求證：求證：2133DCDE MNMDDEEN 證明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面幾何法呢？幾何法呢？1920(1) lm0aba b 二、垂直關(guān)系：二、垂直關(guān)系：lmab21(2) l /auau lauABC223 （）0uvu v u v 23 例1 四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等, AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證1 幾何法24例1 四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等, AB、CD

9、的中點(diǎn)分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證2 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.xyZxy(0,0,0)B(0,2,0)D( 3,1,0)C32 6(,1,)33A3 16(,)623M3 3(,0)22N25例1 四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等, AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MNAB, MNCD.證3MAADDN 1122ABADDC 11()22ABADACAD 111222ABACAD 111()0222MN ABABACADAB MNAB, 同理 MNCD.26 練習(xí)練習(xí) 棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為a a 的正方體的正方體 中中,E,E、F F分別是棱分別是棱AB,OAAB,OA上的

10、動(dòng)點(diǎn)，且上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,AF=BE,求證：求證： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO E27ABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正方方形形底底面面點(diǎn)點(diǎn)是是的的中中點(diǎn)點(diǎn) 作作交交于于點(diǎn)點(diǎn)求求證

11、證平平面面 證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以例例228ABCDPEFXYZ-, ,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱錐錐中中底底面面是是正正方方形形底底面面點(diǎn)點(diǎn)是是的的中中點(diǎn)點(diǎn)作作交交于于點(diǎn)點(diǎn)求求證證平平面面 證2：例例229A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中點(diǎn)，求證：中點(diǎn)，求證：D1F1111DCBAABCD 練習(xí)練習(xí) 正方體正方體中，中，E、F分別分別平面平面AD

12、E. 證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1， 為單位為單位正交正交 基底，建立如圖所示坐標(biāo)系基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 00DADE 則則 ， 所以所以1D FADE 平平面面 DADE 則則， 30A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中點(diǎn)，求證：中點(diǎn)，求證：D1F1111DCBAABCD 練習(xí)練習(xí) 正方體正方體中，中，E、F分別分別平面平面ADE. 證明證明2：31,E,E是是AA1 1中點(diǎn)，中點(diǎn)，1111DCBAABCD 例例3 3 正方體正方體平面平面C1 1BD

13、. 證明：證明：E求證：求證：平面平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系平面平面C1BD的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 設(shè)平面設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是的一個(gè)法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBD32 證明證明2：E,E,E是是AA1 1中點(diǎn)，中點(diǎn)，1111DCBAABCD 例例3 3 正方體正方體平面平面C1 1BD. 求證：求證：平面平面EBD3

14、3-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 練練習(xí)習(xí) 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的點(diǎn)點(diǎn)求求證證 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG練習(xí)：練習(xí)：3435夾角問(wèn)題：夾角問(wèn)題：lamb(1) , l m的夾角為 ，coscos, a b lamb 36夾角問(wèn)題：夾角問(wèn)題：(2) , l的夾角為 ，sincos, a u u cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u c co os s( (+ + ) )= = c co os s 2 2 ula ula 37夾角問(wèn)題：夾角問(wèn)題：(3) , 的夾角為 ，u v c co

15、os s = =c co os s u v 38夾角問(wèn)題：夾角問(wèn)題：(3) , 的夾角為 ，u v c co os s = =c co os s u v 39xyz 解1：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，設(shè) 則：Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 與 所成角的余弦值為1BD1AF30100111111111111 , 90Rt ABCBCAA

16、BCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，現(xiàn)將沿著平面的法向量平移到位置，已知取、的中點(diǎn)、 ，求與所成的角的余弦值.例例1400111111111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例 中，現(xiàn)將沿著平面的法向量平移到位置，已知取、的中點(diǎn)、 ，求與所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解3、補(bǔ)形：例例1解2補(bǔ)成長(zhǎng)方體補(bǔ)成長(zhǎng)方體重一個(gè)同樣的三重一個(gè)同樣的三棱柱棱柱41 練習(xí)練習(xí) 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB與與CD成成600角，求角，求AD與與BC所成的角大小所成的角大小.1A

17、B 解 設(shè)ADABBCCD 2222 222ADABBCCDAB BCBC CDAB CD 1 1 100 14 2AD ()1AD BCABBCCD BC cos,1/ 2AD BC 42例： 的棱長(zhǎng)為 1.111.B CAB C求與平面所成的角的正弦值解解1 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系.11(010)則，- ， ，BC B 11 平面AB C的一個(gè)法向量為D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF例例243例：的棱長(zhǎng)為 1.111.B CAB C求與平面所成的角的正弦值解解2 A1xD

18、1B1ADBCC1yzEF例例244 例例3 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，側(cè)棱形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中點(diǎn)，作的中點(diǎn)，作EFPB交交PB于點(diǎn)于點(diǎn)F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F45例例3 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點(diǎn)，作中點(diǎn)，作EFPB交交PB于點(diǎn)于點(diǎn)F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一個(gè)

19、法向量為的一個(gè)法向量為解1如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 6046,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF則的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)PBkPF 因?yàn)? , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因?yàn)?131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空間直角坐

20、標(biāo)系，設(shè)DC=1.47)323131(，的坐標(biāo)為點(diǎn)F)21,21, 0(的坐標(biāo)為又點(diǎn)E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因?yàn)?0 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小為 112(,)333FD 48 例例3 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點(diǎn)，作中點(diǎn)，作EFPB交交PB于點(diǎn)于點(diǎn)F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F解3設(shè)DC=1., 2,PBEFPBDF

21、EFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。49練習(xí)練習(xí) 的棱長(zhǎng)為 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二面角A-C的大小為1250的棱長(zhǎng)為 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC15152距離問(wèn)題：距離問(wèn)題：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 則則222121212()()()A

22、Bxxyyzz53距離問(wèn)題：距離問(wèn)題：asin, dAPAP a (2) 點(diǎn)點(diǎn)P與直線與直線l的距離為的距離為d , 則則54距離問(wèn)題：距離問(wèn)題：(3) 點(diǎn)點(diǎn)P與平面與平面的距離為的距離為d , 則則 u A P O d55距離問(wèn)題：距離問(wèn)題：(4) 平面平面與與的距離為的距離為d , 則則 umDCPAlab56 例例1 如圖如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)為端點(diǎn) 的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這，那么以這 個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體

23、的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD 圖圖1解：解：如圖如圖1，1111 60ABAAADBADBAADAA 設(shè)，11AAADABAC 2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC答答: 這個(gè)晶體的對(duì)角線這個(gè)晶體的對(duì)角線 AC1 的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的 倍。倍。657 例例1 如圖如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)為端點(diǎn) 的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60，那

24、么以這，那么以這 個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD 圖圖1解解2：如圖如圖1，1111 60ABAAADBADBAADAA 設(shè)，58 練習(xí)練習(xí).(P107.2).(P107.2)如圖，如圖，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 直線直線ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)兩個(gè)半平面內(nèi), ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . BACD 68解159 練習(xí)練習(xí).(P10

25、7.2).(P107.2)如圖，如圖，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A A、B B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 直線直線ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)兩個(gè)半平面內(nèi), ,且都垂直且都垂直AB, AB, 已知已知ABAB4,AC4,AC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長(zhǎng)的長(zhǎng). . BACD 68解260ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線到直線A1B的距離的距離. 建立坐標(biāo)系11111 1 解解:. A E =(-1,0),A B =

26、(0,1,-1):. A E =(-1,0),A B =(0,1,-1)2 2111cos, 10AEAB 113sin, 10AEAB 點(diǎn)點(diǎn)E到直線到直線A1B的距離為的距離為1113sin, 24dAEAEAB 61ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求點(diǎn)的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線到直線A1B的距離的距離.解解262ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求B1到面到面A1BE的距離的

27、距離.u 建立坐標(biāo)系1 11 11 11 1 解解: :. . A A E E= =( (- -1 1, , ,0 0) ), ,A A B B= =( (0 0, ,1 1, ,- -1 1) )2 2設(shè)設(shè) = =( (1 1, ,y y, ,z z) )為為面面A A B BE E的的法法向向量量uu 1 11 1A E = 0,A E = 0,由由A B = 0,A B = 0, 得 u=(1,2,2)u=(1,2,2) 1 11 1A A B B = = 0 0, ,1 1, ,0 0 , , 11111111 B B 到到面面A BEA BE的距的距離離為為A B nA B n2 2

28、 d= d=3 3n n63ABCD1A1B1C1DE 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求B1到面到面A1BE的距離的距離.等體積法等體積法1111BA BEE A BBVV解解264ABCD1A1B1C1DExyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求D1C到面到面A1BE的距離的距離. 解解1:D1C面面A1BE D1到面到面A1BE的距離即為的距離即為D1C到面到面A1BE的距離的距離. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面

29、A1BE的距離為的距離為1113D A udu 65ABCD1A1B1C1DE 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，E為為D1C1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求D1C到面到面A1BE的距離的距離.等體積法等體積法1111DA BEB A D EVV解解266ABCD1A1B1C1Dxyz 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為中，棱長(zhǎng)為1，求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離的距離. 解解1:面面D1CB1面面A1BD D1到面到面A1BD的距離即的距離即 為面為面D1CB1到面到面A1BD的距離的距離1111( 1,1,1),(1,0,0) 平面的一個(gè)法向量為且A BDACD A 111133D AACdAC 67ABCD1A1B1C1D 例例 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱