1.2二重積分的計算方法ppt課件

1、6.1.2 6.1.2 二重積分的計算法二重積分的計算法一一 問題的提出問題的提出二二 直角坐標計算二重積分利用直角坐標計算二重積分利用三三 利用極坐標計算二重積分利用極坐標計算二重積分四四 小結(jié)小結(jié) Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 按定義按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限二重積分是一個特定乘積和式極限 然而，用定義來計算二重積分，一般情況然而，用定義來計算二重積分，一般情況下是非常麻煩的下是非常麻煩的. 那么，有沒有簡便的計算方法呢那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹們今天所要研究的課題。下面介紹:一、問題的提出二、利用直角

2、坐標計算二重積分 二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此, 先介紹： 1、積分域 D:如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點：a a、平行于、平行于y y軸且穿過軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個；區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個； b b、).()(21xx（1X-型域（2Y-型域：型域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y Y型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點：a a、穿過區(qū)域且平行、穿過區(qū)域且平行于于x x軸的直線與

3、區(qū)域邊界的交點不多于兩軸的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個。個。b b、).()(21yy).()(21yxyaxbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy 2、X-型域下二重積分型域下二重積分的計算的計算: 由幾何意義，假設由幾何意義，假設 此為平行截面面積為已知的立體的體積此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲截面為曲邊梯形面積為：邊梯形面積為：DVdxdyyxf),(曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積)0),(yxf那那么么yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所以：所以：dxdy.yf(xba(x)(

4、x)21 dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注: 假設假設 (x,y)0 仍然適用。仍然適用。注意注意: 1: 1上式說明上式說明: : 二重積分可化為二次二重積分可化為二次定積分計算定積分計算; ;2 2積分次序積分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3積分限確定法積分限確定法: : 投影定限法。投影定限法。為方便，上式也常記為：為方便，上式也常記為：3、Y-型域下二重積分的計算：型域下二重積分的計算： 同理：同理：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB 于是于是 Ddcyydyyxfdyxf ),(),()()(21面積為：面積為：為曲邊梯形，

5、為曲邊梯形，常數(shù)截立體，其截面也常數(shù)截立體，其截面也用y用y 知的立體體積.知的立體體積.亦為平行截面面積為已亦為平行截面面積為已 1積分次序積分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y;dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可記記為為注意注意: 注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵在于正確確定積分限關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、一定要做到熟練、準確。準確。4 4、利用直系計算二重積分的步驟、利用直系計算二重積分的步驟（1畫出積分區(qū)域的圖形畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標；求出邊界曲線交點坐標；（3確定積分限，化為二次定積分；確定

6、積分限，化為二次定積分；（2根據(jù)積分域類型根據(jù)積分域類型, 確定積分次序；確定積分次序；（4計算兩次定積分，即可得出結(jié)果計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.5 若區(qū)域為組合若區(qū)域為組合域，如圖則：域，如圖則：3D2D1D.321 DDDD0 6、如果積分區(qū)域既是、如果積分區(qū)域既是X型，型， 又是又是Y型型, 則有則有 Dbaxxdxfdydyxf)()(21),( dcyydyfdx)()(21 例例 1 1 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域.解：解：兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1(,)0 ,0(22 yxxy2xy

7、2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx)( 1022dxxxxxx)(21)(42102 .140332xy 2yx Y型型yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。及及是是由由拋拋物物線線其其中中計計算算2,2 xyxyDxydD 例例2解：解： （如圖將（如圖將D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy)(yx后后先先 xxd

8、yyxfdx32120),(. 解：解：積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xyo231yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30 ,31xyxx 321,20原式原式axy2 解：解：= ayaaaydxyxfdy02222),( 原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a解解 dxexy不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例6 6解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其其中中計計算

9、算 1D2D3D先去掉絕對值符號，如圖先去掉絕對值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇 積分次序）積分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型X型型7.小結(jié)三 利用極坐標系計算二重積分 當一些二重積分的積分區(qū)域當一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標表示比用極坐標表示比較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標較簡

10、單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮其計算問題。其計算問題。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeAoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 1 直系與極系下的二重積分關(guān)系如圖）iiiiirrr 2221)(21i（1面積元素變換為極

11、系下：面積元素變換為極系下：（2二重積分轉(zhuǎn)換公式：二重積分轉(zhuǎn)換公式：.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下的二重積分需要進行的二重積分需要進行“三換三換”： rdrddxdyDDryrxrxysincos2 極系下的二重積分化為二次積分的的上上下下限限關(guān)關(guān)鍵鍵是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域，用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限由兩射線的傾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作過極點的半射線與平面區(qū)域相交，任意作過極點

12、的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。二重積分仍然需要化為二次積分來計算。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1區(qū)域如圖區(qū)域如圖1, ).()(21 r具體地如圖）具體地如圖）圖圖1（2區(qū)域如圖區(qū)域如圖2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r圖圖2AoD.)

13、sin,cos()(0 rdrrrfd（3區(qū)域如圖區(qū)域如圖3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r圖圖3 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4區(qū)域如圖區(qū)域如圖4).(0 rDoA,2 0)(r圖圖4例例 1 1 計計算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原點點，半半徑徑為為 R 的的圓圓周周所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解在在極極坐坐標標系系下下D：Rr 0， 20. dxdyeDyx 22 Rrrdred0202 ).1(2Re 20)1(212deR1 yx122 yx解解如如圖圖：在在極

14、極坐坐標標系系下下 sincosryrx圓圓方方程程為為 1 r, 直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd20 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(

15、42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 當當 R時時,41 I,42 I故故當當 R時時,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 解解根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標標系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交點點)6,( aA, 所所求求面面積積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a計算二重積分應該注意以下幾點：計算二重積分應該注意以下幾點： 先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直系方程表示簡單還是極系方程表示簡單，邊界曲線用直系方程表示簡單還是極系方程表示簡單，其次要看被積函數(shù)的特點，看使用極坐標