2018年河南省開封市高考一模數(shù)學(xué)理

1、2021年河南省開封市高考一模數(shù)學(xué)理一、選擇題：本大題共 12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有 一項為哪一項符合題目要求的1. 設(shè)U=R集合 A=x|x > 1 , B=x|x > a,且(？UA)U B=R那么實數(shù)a的取值范圍是()A. (- a, 1)B. (- a, 1C. (1 , +a)D. 1 , +a解析： U=R 集合 A=x|x > 1=1 , +a),B=x|x > a=(a , +a), ?UA=(- a , 1),又(?UA)U B=R實數(shù)a的取值范圍是(-a, 1).答案：A2. 假設(shè)復(fù)數(shù)Z1 , Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)

2、于虛軸對稱，且Z1=1-2i ,那么復(fù)數(shù) 生 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)Z1的點在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限 解析： Z1=1-2i ,且復(fù)數(shù)Z1 , Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱, Z2=-1-2i,那么 z212 =1 -2i 1=3 _4 iZ11-2i 1 -2i 1 2i 5 5復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為Z1(3 , ),在第四象限55答案：D3. 向量 a =(m-1 , 1) , b=(m , -2),那么"m=2'是"a _ b "的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分

3、也不必要條件解析： a=(m-1 , 1) , b=(m , -2), a _ b? m(m-1)-2=0.由 m(m-1)-2=0，解得 m=-1 或 m=2.“ m=2'是“ a _b 的充分不必要條件71答案：A4. 假設(shè) 2cos2 a = sin( - a )，貝U sin2 a 的值為()4A. 8B. 58C.1或d.8解析:顯然,COS a假設(shè)'2cos2 a = sin( - a )，即 2(cos a -sin a )= -2- COS、； tan a =1， sin2 a =1.座一才，4cos a =sin a時，滿足條件，此時，豐 sin a，貝U 2

4、(cos a +sin a)= -，即 cos a +sin a1 1+2sin a COS a =，即 sin2 a =2sin a COS a8綜上可得，sin2 a =1或一8'答案：C5.等比數(shù)列an的前n項和為S,且9S=S, a2=1,那么A. 12B巨2ai=()D.2解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q工19S3=S6, a2=1,9a1 1 -q3 d 1 -q6彳，ag=1.i -qi -q那么 q=2， a1= 1答案：A6.曲線2 x 2 a2 _y2 =1(3 > 0, b > 0)為等軸雙曲線，且焦點到漸近線的距離為2 ，那么該b雙曲線的方程為A. x

5、2 y2= 12 2“B.x -y =1C. x2 _ y2=, 22 2D.x -y =2解析：根據(jù)題意，假設(shè)曲線三-爲(wèi)=1a >0, b>0為等軸雙曲線，那么a2=b2,a b即焦點的坐標(biāo)為土 2a, 0； 其漸近線方程為x ± y=0 , 假設(shè)焦點到漸近線的距離為 、2，那么有2 2那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為聳七=1，即x-y2.答案：D，其意思.現(xiàn)將該木棍依此規(guī)律截取，如下圖的程7天后所剩木棍的長度單位：尺，那么處可分別填入的是7.我國古代名著?莊子？天下篇?中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭 為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完 序框圖的功能就是計算截

6、取A.iS= S- 1 ,i = 2iB.iS= S- 1 ,i = 2iC.iS= S iS" 2，i=i+1D.i w 7, S= S , i = i+12解析：由題意可得：由圖可知第一次剩下 1 ,第二次剩下 2，由此得出第7次剩下 2 , 22227可得為i w 7s=| i=i+1 答案：D8.如圖，在一個正方體內(nèi)放入兩個半徑不相等的球O、Q,這兩個球相外切，且球 O與正方體共頂點A的三個面相切，球Q與正方體共頂點 B的三個面相切，那么兩球在正方體的面 AAGC 上的正投影是Si解析：由題意可以判斷出兩球在正方體的面 AACC上的正投影與正方形相切，排除 C、D, 把其中一

7、個球擴大為與正方體相切，那么另一個球被擋住一局部，由于兩球不等，所以排除A; B正確.答案：B9.如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個2X 2X 3的長方體框架，一個建筑工人A. 17B. 27C. 37D. -7解析：根據(jù)題意，最近路線，那就是不能走回頭路，不能走重復(fù)的路,一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次，最近的行走路線共有：n= A =5040,不能連續(xù)向上，.先把不向上的次數(shù)排列起來，也就是2次向右和2次向前全排列 A-,接下來，就是把3次向上插到4次不向上之間的空當(dāng)中，5個位置排三個元素，也就是A3 ,那么最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的共有m=A-A3=l440

8、種，其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率m 14402pH n 50407答案：B的圖象大致是11/C.y，=1+ lnx ,即Ov xv 1時，函數(shù)y單調(diào)遞減，當(dāng)x> 1，函數(shù)y單調(diào)遞增,ee因為函數(shù)y為偶函數(shù)答案：D211. 拋物線My=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點A,點F為焦點，假設(shè)拋物線M上一點P滿足PAL PF,那么以F為圓心且過點P的圓被y軸所截得的弦長約為(參考數(shù)據(jù)：,5 - 2.24)()a. “24b. .23c. . 22D.解析：由題意，A(-1 , 0) , F(1 , 0), 點P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為 m聯(lián)立圓與拋物線的方程得x2+4

9、x-1=0,/ m> 0 , m=-2+、5 ,點P的橫坐標(biāo)為-2+|PF|=m+1=-1+ .5 ,圓 F 的方程為(x-1) 2+y2=( ,5-1) 2,令 x=0，可得 y 二，52、 5 , EF =2寸5 2弱=2J5 2x2.24 二血！答案：D12. 函數(shù)f(x) = 4sin(2x -二),x 0 , 込，假設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-3的所有零點依次記63為 X1 , X2 , X3，Xn ,且 X1V X2V X3V V Xn ,貝X1+2X2+2X3+2Xn-1+Xn = ()1276-A. 3B. 445 nC.455 nD 1457応3解析：函數(shù) f(x) =

10、4sin(2x -),61 : 1 .令2xk二得x k , k Z ,即f(x)的對稱軸方程為x k , k乙622323T f(x)的最小正周期為T= n , 0< X < 4身,3當(dāng)k=0時，可得第一根對稱軸x=,當(dāng)k=30時，可得x=4乞,33f(x)在0 , 警上有31條對稱軸,3根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)f(x) = 4sin(2x )與y=3的交點有31個點，即xi, X2關(guān)6于二對稱，X2, X3關(guān)于邑對稱，36即 Xl+X2= X 2, x2+x3= X 2,，Xn-l+Xn=2X 896 6 6將 以 上 各 式 相 加 得 ：Xl+2X2 + 2X3 +2X

11、28+2X29+2X30+X31 =2 2589(2 5 8 . 89)455二66633_59 貝V Xl + 2X2+2X3+ +2Xn-l+Xn=(X l+X2)+ (X 2+X3)+X 3+ +Xn-1+(X n-1+Xn)=2( ，)=4552 2 2n .答案：C二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13. (x-y) 1°的展開式中， 対 的系數(shù)與xV的系數(shù)之和等于 .解析：因為(x-y) 10的展開式中含x7y3的項為C103x10-3y3(-1) 3=-C103x7y3, 含 x3y7 的項為 C10x10-7y7(-1) 7=-C107x3y7.由C10

12、3=C1Cf=120知,x7y3與x3y7的系數(shù)之和為-240.答案：-2405x 3y 乞 1514. 設(shè)x, y滿足約束條件*yx+1 ，且x, y Z,那么z=3x+5y的最大值為 x -5y 蘭 35x 3y _15解析：由約束條件 yx，1作出可行域如圖，x -5y 弐3作出直線3x+5y=0, x, y Z平移直線3x+5y=0至(1 , 2)時，目標(biāo)函數(shù)z=3x+5y的最大值為13. 答案：13x 12e 一，xv 215. 設(shè)f x2，且f(f(a)=2，那么滿足條件的a的值有/ Iog3(x2 -1), x£2f2ex-*, xv2解析：f x2，且 f(f(a)=

13、2jjog3(x2 -1，x K2當(dāng) av 2 時,f(a)=2ea-1假設(shè) 2ea-1 v 2,貝U f(f(a)=2e2e'二=2，解得 a=1-ln2 ;假設(shè) 2ea-1 >2,那么 f(f(a)=Iog3(2ea° )-1 =2,解得 a=ln 辱+1，成立;2當(dāng) a>2 時，f(a)=log3(a -1),假設(shè) Iog3(a 2-1) v 2，那么 f(f(a)=2e log3(a2-1)-1 =2,解得 a=2,或 a=-2，與 a> 2 不符,2 2 2 10假設(shè) log3(a -1) > 2，那么 f(f(a)=log3(log3(a

14、-1)=2，解得 a =3 +1, - a= . 310 1 或 a=- . 310 1 與 a> 2 不符.由此得到滿足條件的a的值有1-ln2和In 尹 1和2和，311，共4個.答案：416. 一個棱長為5的正四面體(棱長都相等的三棱錐)紙盒內(nèi)放一個小正四面體，假設(shè)小正四面 體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，那么小正四面體的棱長的最大值為 .解析：T在此紙盒內(nèi)放一個小正四面體，假設(shè)小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，小正四面體的外接球是紙盒的內(nèi)切球，設(shè)正四面體的棱長為 a,那么內(nèi)切球的半徑為6a，外接球的半徑是 6 a ,124紙盒的內(nèi)切球半徑是-5=工衛(wèi),12 12 '設(shè)小正四面體的棱

15、長是 x，那么5 - 6 = 6 x，解得x= 3 ,1243小正四面體的棱長的最大值為三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟17. 在厶 ABC中，角 A, B, C所對應(yīng)的邊分別為 a, b, c,且 2cosB(acosC+ccosA)+b=0. (I )求角B的大??；(n )假設(shè)a=3，點D在AC邊上且BD丄AC BD=153，求c.14解析：(I )直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出B的值(n)進一步利用解直角三角形的方法求出結(jié)果答案：(I )在厶ABC中，角A, B, C所對應(yīng)的邊分別為 a, b, c,且 2cosB(acosC+ccosA)+b

16、=0.那么：2cosB(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0 , 整理得：2cosBs in (A+C)=-si nB ,由于：Ov Bv n ,那么：sinB 工 0,解得：1cosB=-,2所以：B=2：.3(n )點D在AC邊上且BD丄AC, 在直角 BCD中，假設(shè) a=3, BD=15'3 ,14解得：cD= 32-( 15衛(wèi))2,14解得：CD= 33 ,14那么：cos / dbc 瞬,sin / DBC14所以：論ABD 5育SBC )記巒誓護疇，那么：在 Rt ABD中, AB= 一BD14十=5 .cosABD3/3TT故：c=5.18. 如圖1，在矩形

17、 ABCD中, AD=2AB=4 E是AD的中點.將厶ABE沿BE折起使 A到點P的位 置，平面 PEBL平面 BCDE如圖2.(I )求證：平面PBCL平面PEC(n )求二面角B-PE-D的余弦值.解析：(I )證明：由AD=2AB E為線段AD的中點，可得 AB=AE由面面垂直的性質(zhì)可得PO丄平面BCDE貝U PC丄EC在矩形 ABCD中，由可得 BE丄EC,貝U EC丄平面PBE得到EC 丄PB,又PB丄PE,由面面垂直的判定可得 PB丄平面PEC進一步得到平面 PBCL平面PEC (n )以O(shè)B所在直線為x軸，以平行于 EC所在直線為y軸，以O(shè)P所在直線為z軸建立空間 直角坐標(biāo)系，分

18、別求出平面PED與平面PBE的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得.面角B-PE-D的余弦值.答案：(I )證明：T AD=2AB E為線段AD的中點, AB=AE取BE中點0,連接PQ貝U POL BE,又平面 PEBL平面 BCDE平面 PEBH平面 BCDE=BE P0丄平面 BCDE 貝U POL EC,在矩形 ABCD中 , AD=2AB E為AD的中點， BEL EC,貝U EC丄平面 PBE ECL PB,又 PB丄 PE 且 PEA EC=E PB丄平面PEC 而PB?平面PBC平面PBCL平面PEC(n )以O(shè)B所在直線為x軸，以平行于 EC所在直線為y軸，以0P所在直線

19、為z軸建立空間 直角坐標(biāo)系， PB=PE=2 那么 B( '.2, 0 , 0), E(- . 2 , 0 , 0), P(0, 0 ,、,2), D(-2.2 , , 2 ,0), pb=(,2,o，-2), pe= (-、.2,0,-、.2), pd=(-2.2, , 2 , -,2).設(shè)平面PED的一個法向量為 m = (x, y - z),亠 m 卩E= - t 2xT2z= 0由-令 z=-1 -那么 m = (1 , 1, -1),m PD= -2、2x 、2 y - F'2z= 0又平面PBE的一個法向量為 n = (0 , 1 , 0),二面角B-PE-D的余弦

20、值為-于2021年雙11期間-某購物平臺的銷19. 近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來蓬勃開展的新機遇-售業(yè)績高達1271億人民幣.與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和效勞的評價體 系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6，對效勞的好評率為 0.75，其中對商品和效勞都做出好評的交易為80次.(I )完成下面的2 X 2列聯(lián)表，并答復(fù)是否有 99%勺把握，認為商品好評與效勞好評有關(guān)？對效勞好評對效勞不滿意合計對商品好評對商品不滿意合計200(II )假設(shè)將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和效勞全好評的次數(shù)為隨機變量X:(1)

21、求對商品和效勞全好評的次數(shù)X的分布列；(2) 求X的數(shù)學(xué)期望和方差.附：2P(K > k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282，其中n=a+b+c+d)n(ad be )a b e d a e b d解析：(I )對商品的好評率為 0.6，故對商品的好評120次，因此對商品好評但對效勞不滿 意40次；剩下對效勞好評但對商品不滿意70次，代入卡方公式得 K2 11.111 > 10.828，比較表格數(shù)據(jù)得結(jié)論.(I )(1)先確定隨機變量取法可以是0, 1 , 2, 3.再分別求對

22、應(yīng)概率，而每次對商品和效勞全為好評的概率為 2 ,所以符合獨立重復(fù)試驗，二項分布XB(3 , ),利用公式求得分布55200 漢(80 漢 104070150 50 120 802八 11.111 > 6.635 ,列.(2)利用X的分布列能求出 X的數(shù)學(xué)期望及方差.答案：(I )由題意可得關(guān)于商品和效勞評價的2X 2列聯(lián)表如下:對效勞好評對效勞不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200故有99%勺把握，認為商品好評與效勞好評有關(guān)(I )(1)每次購物時，對商品和效勞全為好評的概率為2，且X的取值可以是0, 1, 2, 3.5其中 P(X=0)=33.

23、275_125,2P(X=1)= C12 3 煨P(X=2)= C2 5 5 =13P(X=3)= C3 5 喘，X的分布列為:X0123P2754368125125125125 xB(3, 5)，二 E(X)= 3 -=5D(X)= 3 5 I1825 .20.給定橢圓2C： Xy ' = 1(a > b> 0)，稱圓心在原點bx2O半徑為.a2 b2的圓是橢圓 C的“準(zhǔn)圓 橢圓C的離心率e =丄6，其“準(zhǔn)圓的方程為 x2+y2=4.3(I) 求橢圓C的方程；(II) 點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓上的動點，過點P作橢圓的切線11, 12交“準(zhǔn)圓于點 M N.(1) 當(dāng)點P為“準(zhǔn)圓

24、與y軸正半軸的交點時，求直線11, 12的方程，并證明|1丄|2；求證：線段MN的長為定值.解析：(I )根據(jù)橢圓的離心率公式及 a2+b2=4,解得a和b的值，即可求得橢圓方程；(n )(1)把直線方程代入橢圓方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用直線與橢圓相切？ =0,即可解得k的值，進而利用垂直與斜率的關(guān)系即可證明；(2) 分類討論：l 1, l2經(jīng)過點P(X0, y。)，又分別交其準(zhǔn)圓于點M N,無論兩條直線中的斜率是否存在，都有l(wèi) 1, 12垂直.即可得出線段 MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑.答案：(I)由準(zhǔn)圓方程為x2+y2=4，那么a2+b2=4，橢圓的離心率e二丄=、1 - b2

25、6 ,a Y a 3解得：a=. 3 , b=1,2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=1；3(n )證明：(1) 準(zhǔn)圓x +y =4與y軸正半軸的交點為 P(0 , 2),設(shè)過點P(0, 2)且與橢圓相切的直線為y=kx+聯(lián)立整理得(1+3k2)x 2+12kx+9=0.y= kx 2 x22xr y=1直線 y=kx+2 與橢圓相切， =144k2-4 x 9(1+3k2)=0，解得 k= ± 1,-1 i, 12方程為 y=x+2 , y=-x+2. T kl1, k| = 1 ,11*127 k|i k|2 = 1，那么 11丄 12.(2)當(dāng)直線丨1,丨2中有一條斜率不存在時，不妨設(shè)直線

26、l 1斜率不存在,那么 11: x= 土 . 3，當(dāng)11: x= 3時，丨1與準(zhǔn)圓交于點(.3，1)(3，-1)，此時12為y=1(或y=-1)，顯然直線l 1，l 2垂直；同理可證當(dāng)丨1： x= 3時，直線丨1,丨2垂直.2 2當(dāng)l 1，12斜率存在時，設(shè)點P(xo，yo)，其中xo +yo =4.設(shè)經(jīng)過點p(xo, yo)與橢圓相切的直線為y=t(x-x o)+y 0,y= t x - Xoyo由x23y2=1222得(1+3t )x +6t(y o-tx o)x+3(y o-tx o) -3=O.由厶=O 化簡整理得(3-x o2)t 2+2xoyot+1-y o2=O,22222/ x

27、o+yo =4,.有(3-x o )t +2xoyot+(x o -3)=O.設(shè)l 1 , l2的斜率分別為t1, t2,22/ l 1, l 2與橢圓相切， t1, t2滿足上述方程(3-x o )t2+2x oyot+(x o -3)=O , t 1 t 2=-1，即 l 1 , l 2 垂直.綜合知：丨1,丨2經(jīng)過點P(xo, yo)，又分別交其準(zhǔn)圓于點M, N,且丨1,丨2垂直.線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑，|MN|=4 ,線段MN的長為定值.21. 函數(shù) f(x)=(t-1)xex, g(x)=tx+1-e x.(I )當(dāng)t豐1時，討論f(x)的單調(diào)性；(n )f(x) w g

28、(x)在O , +8)上恒成立，求t的取值范圍.解析：(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論t的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(n )問題轉(zhuǎn)化為(t-1)xe x-tx-1+e xw o 對?x> 0 成立，設(shè) h(x)=(t-1)xex-tx-1+e x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可答案：(I )由 f(x)=(t-1)xe 假設(shè) t > 1，貝y XV -1 時，f ' 假設(shè) t V 1，貝y xv -1 時，f '，得 f ' (x)=(t-1)(x+1)e,(x) v 0, f(x)遞減，x>-1 時,(x) > 0, f(x)遞增，x>

29、;-1 時,f ' (x) > 0, f(x)遞增, f ' (x) v 0, f(x)遞減,故t > 1時，f(x)在(-8, -1)遞減，在(-1 , +8)遞增, t V 1 時，f(x)在(-8, -1)遞增，在(-1 , +8 )遞減;f(x)w g(x)在0 , +8)上恒成立，即(t-1)xe x-tx-1+ex w 0 對？x > 0 成立，設(shè) h(x)=(t-1)xex-tx-1+e x,h(0)=0 , h' (x)=(t-1)(x+1)e x-t+e x, h' (0)=0 ,h(x)=e x(t-1)x+2t-1,t=1

30、 時，h (x)=e x > 0, h' (x)在0 , +s)遞增， h' (x) >h' (0)=0，故 h(x)在0 , +s)遞增, 故h(x) > h(0)=0，顯然不成立， t 工 1，那么 h (x)= ex xt -1 ,t 一1 * f令 h (x)=0，那么 x=- 21 ,t 1 當(dāng)-2Lzl W 0即t V 1或t > 1時，t -12假設(shè) t w 2，那么 h (x)在0 , +8)為負，h' (x)遞減，故有 h' (x) w h' (0)=0 , h(x)在0 , +8)遞減， h(x) W h(0)=0 成立，假設(shè)t > 1，那么h (x)在0 , +8)上為正，h' (x)遞增，故有 h' (x) >h' (0)=0，故 h(x)在0 , +8)遞增，故 h(x) > h(0)=0，不成立， -2Lzl > 0 即 1 W t W 1 時，t -12h (x)在0 , - 2t -1 )內(nèi)有 h' (x) > h' (0)=0 , h(x)遞增,t -1故 h(x)在0 , -)內(nèi)有 h(x) > h(0)=0 不成立，t 1綜上，t