2017年高考數學(四海八荒易錯集)專題15橢圓、雙曲線、拋物線理

1、專題15橢圓、雙曲線、拋物線步步為M】2 21已知方程 mb-3mtr1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是（）A. ( 1,3)B. ( 1,3)C. (0,3)D. (0,3)答案 A祥析方程詁 +子廠諾_產 1表示雙曲線，二（朋+珂* （3肌:-即解得一於吐由雙曲線性質，知以=（屈+町+0屈町=4曲（其中亡是半焦距）,二焦距2C=2X2|M|=4,解得刑=1,二一 1*3,故選A.2 .已知雙曲線2y2= 1（b0），以原點為圓心，雙曲線的半實軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線b相交于A,B,2 2x3yC,D四點，四邊形ABCD勺面積為 2b,則雙曲線的方程為（

2、）x24y2B.寺=12 2答案由題意知雙曲線的漸近線方程為b22y= x,圓的方程為x+y= 4,解析聯立by=2x,k JI=12.2 2x y故雙曲線的方程為-12=1.故選 D.E的離心率為（）A. 2B.|C. 3D. 2答案A解析如圖，因為MF與x軸垂直，所以|MF| =b.a1ix/Fil 1又 sinZAi= 所以.諾二羅 gp.l=3|i|.由雙曲線的定義得2a=|Fi|-|AFi|=2|J|=,U所以屏二也，所以以=護+亦二 2朋,所以離心率總二牛=邊2 2x y4.已知Fi、Fi為橢圓齊+= 1 的左、右焦點，若M為橢圓上一點，且厶MFFi的內切圓的周長等于 3n,151

3、6則滿足條件的點 皿有（）A. 0 個B. 1 個C. I 個D. 4 個由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為8X4b4+b2=2b,得b23.已知Fi,F2是雙曲線E:=1 的左，右焦點，點iM在E上，MF與x軸垂直，sin /MFF=R，貝卩即第一象限的交點為84b2答案 C32 2解析 由橢圓方程善+y= 1 可得a= 25,b= 16,2516 a= 5,b= 4,c= 3.由橢圓的定義可得|MF| + |MF| = 2a= 10,且 廳冋 =2c= 6,:,MFF的周長 |MF| + |MF| + |F1F2I = 10 + 6 = 16.設厶MFF2的內切圓的

4、半徑為r,3由題意可得 2nr= 3n，解得r= p設 M知對則 B上 w：E 二扎化|+ .:尺 +.：r： *r=護 1局| -珈即|X16X5=|X6 -珈 匕解得恤4= 4.二城 0,4威(0, -4).即満足條件的點 M有 2個.故選 C2 2 222axv5.已知圓x+v=上點E處的一條切線I過雙曲線-2=1(a0,b0)的左焦點F,且與雙曲線的右16a b1 支交于點P,若OE=2(OF+ Op，則雙曲線的離心率是 .答案手4解析 如圖所示，設雙曲線的右焦點為H,連接PH由題意可知|OEf=號,1T T由OE=2(0F+OP,可知E為FP的中點.由雙曲線的性質，可知O為FH的中點

5、,1所以OE/ PH且 |OE= ?|PH,4故 IPH= 2|0EE=a.由雙曲線的定義，可知PF-PH = 2a(P在雙曲線的右支上 h所 tt|P = 2d+|P/f = y.因為直線I與圓相切，所以廳丄 OE又OEliPH, PFlPH.在R3FH中，|尸砰=|丹評+|PF弓 即戸倂+ (瓠 昶得討孚即戸孚2 2XV26.經過橢圓匚+召=1 的右焦點的直線I交拋物線y= 4x于AB兩點，點A關于y軸的對稱點為C43則0B0C=_答案 52 2解析 由橢圓x+V= 1 知右焦點為(1,0)，當直線I的斜率為 0 時，不符合題意，故可設直線I的方程43為x=my+1.設A(X1,y,B(X

6、2,y2)，則y1y2= 4,由題意知CX1,y, OB* OC=(X2,y2) ( X1,yj= X1X2+y1y2= 1 4 = 5.7._若拋物線y2= 4x上的點M到焦點的距離為 10,則M到y(tǒng)軸的距離是 _ .答案 9解析 拋物線y2= 4x的焦點F(1,0) 準線為x= 1，由M到焦點的距離為 10,可知M到準線x= 1的距離也為 10,故M的橫坐標滿足XM+1 = 10,解得XM=9,所以點M到y(tǒng)軸的距離為 9.C：a+b= 1(ab0)的離心率為 2 且點(1 , |)在該橢圓上.(1)求橢圓C的方程;過橢圓C的左焦點F1的直線I與橢圓C相交于A B兩點，若AOB勺面積為 竽，

7、求圓心在原點O且與直線I相切的圓的方程.由八4X,x=my1,得y2 4my 4=0,X1X2=2y：4&已知橢圓5c1解由題意可得e=- = $a2又a2=b2+c2,所以b=a.4因為橢圓C經過點（i,3）,解得a= 2,所以b= 3,2 2故橢圓C的方程為+y= i.43由知尺（一 1,0）,設直線I的方程為x=tyl,鬥 H由 1蘭+= 1 消去心得（4 + 3 為回-6。一 9= D, u+T_ 1顯然心 0恒成址設月 g 丁月（巧 yj）所以曲_1|=V)1+)-2:4W36 _12yr2+l4+3*4+ 3PAOB* 問O|化簡得 18t4t2 17= 0,即(18t2+

8、 17)(t2 1) = 0,已知橢圓C的長軸左，右頂點分別為A, B,離心率e=，右焦點為F,且KF- BF= 1.求橢圓C的標準方程;若P是橢圓C上的一動點，點P關于坐標原點的對稱點為Q,點P在x軸上的射影點為M連接QM并延長交橢圓于點N,求證：/QPN=902 2則 yi+j-=6r朋-94 +3/*解得又圓所以2217t1=1,t2=18(舍去)，|0tx0+1|1O的半徑r=2=-2,A/1 + t2(1+12r二彳，故圓O的方程為x2+y2= 2.6(1)解 依題意，設橢圓C的方程為扌+ = 1(ab0),則Aa,0) ,B(a,0) ,F(c,O), 由e=a=f，得a=2c.由

9、AF- BF= 1,22得(c+a,0) (ca,0) =ca= 1.聯立，解得a= #2,c= 1,所以b2= 1,2x2故橢圓C的標準方程為+y= 1.(笏正明 設用“yi) g m由題青知l;2)j又Q(-Xifpi),地 I)*宙Q, W N三點共線，知色=冷又知如+1= -歸衛(wèi)+ 1把入，得駅畑+1=4X1+X1因為點P,N在橢圓上，所以X2+ 2y1= 2,x2+ 2y2= 2,把代入，得kpckPN+ 1 =彳二三=0,X2X1即kp*PN= 1，所以/QPI= 90.礙礦爲易疣酚】易錯起源 1、圓錐曲線的定義與標準方程例 1、(1) ABC的兩個頂點為A 4,0) ,B(4,0

10、) , ABC周長為 18,則C點軌跡方程為()2 2 2 2x yy xA.16+y=y)B2+ 9=1(y主)2 2 2 2y xx y7C.16+6=1(yz0)D+眷=1(y-0)2 2x y在平面直角坐標系中，已知ABC的頂點A 4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓= 1 上，則259sinA+ sinCsinB-.5答案(1)D(2)4解析 丁厶他匕的兩頂點衛(wèi)(一 4), 3(4.0),周長為 18, :|Bq + HC|=10/108, A點 C到兩個定點的距離之和等于定值，滿足橢圓的定義點 C的軌跡罡以片為蕉點的榊圓,20=10橢圓的標準方程是養(yǎng)違=1舛 0).故選 D由桶圓方

11、程知其焦點坐標為-斗刑(4Q,恰分別為AABC的頂：和 C的拳標，由橢圓定義知|氏 4|sin J + sin C_|C 4-BA _ _10_5sin *C|S 4【變式探究】(1)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2= 24y的焦點重合，其一條漸近線的傾斜角為30,則該雙曲線的標準方程為(2 2y xC. = 11224+ BC2a=Wf在AABC中，由正弦定理可知82 2x yA = 19272 2y xBE27=12 2y xD. =12412拋物線y2= 4x上的兩點A,B到焦點的距離之和為 8，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 _答案(1)B(2)3解析(1)由拋物線x2= 24y得焦點

12、坐標為(0,6),雙曲線的一個焦點與拋物線x2= 24y的焦點相同，2 2C = 6，設雙曲線的標準方程為豈一書=1(a0,b0)，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為a b-3，即b= , 3a,又c2=a2+b2,.a2= 9,b2= 27,2 2雙曲線的標準方程為眷27= 1.故選B.(2)設A(X1,y1) ,B(X2,y2)，由拋物線的定義及題意知，X1+ 1 +x2+ 1 = 8, X1+X2= 6.線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 3.【名師點睛】(1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質，注意焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲309線、拋物線方程的不同表示形式.(2)求圓錐曲線

13、方程的基本方法就是待定系數法，可結合草圖確定.【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1 圓錐曲線的定義(1) 橢圓：|PF| + |PF| = 2a(2a|FiR|);(2) 雙曲線：|PF| - |P冋| = 2a(2ab0)的左，右焦點分別為F1,F2,焦距為 2c.若直線y=3(x+c)與橢10ab易得直線BC的斜率為匚，cos /CFF2=-,bc又由雙曲線的定義及|BQ= |CF|可得|CF| - |CF| = |BF| = 2a, |BFF- |BF| = 2a? |BF| = 4a,2 2 2,-4a+ 4c- 16a22-2-廠故 cos/CFF2=；=?-2a-2a= 0? (;) - 2(

14、；) 2 = 0? -= 1 + 3,c2Azazca aa故雙曲線的漸近線方程為y=( ,3+ 1)x.2 2x y【變式探究】 設橢圓 C：孑+-2= 1(ab0)的左，右焦點分別為/PF1F2= 30,則橢圓C的離心率為()2 2(2)設雙曲線扌一 p= 1(a 0,-0)的右焦點為F,右頂點為 代過F作AF的垂線與雙曲線交于點，過B,C分別作AC, AB的垂線，兩垂線交于點D,若D到直線BC的距離小于a+a2+b2,則該雙 曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.(1,0)U(0,1) B.(a, 1)U(1,+)C. (2,0)U(0,2)D. (a, 2)U(2 ,+呵答案(1)D(2

15、)AFi,F2,P是C上的點，PF丄F1F2,A.fB.3 C.B,C兩11解析 因為 FE丄尸遲，, 赧陽=在-tan30 =攀，陽=攀” 又片刑|+郵|=羊芒=加，所以寺ayjJ.仃即橢圓 C的離心率為亍一由題作出團象如圉所示.F(c,0).易得Bb2a,Cc,12b2ab2-kAB=c-a a caaac = b2.b2ab2kAC=ac=a ac，a ac-kBD= 2.bb2a acIBD：ya=g2(xc),卄a acac ac b2即y=+a,.岸a a-c ”、ac a-2岸ac二點 D到的距離為花臚-川切+3+S+G.禹電二久 1.a-a【名師點睛】(1)明確圓錐曲線中a,b

16、,c,e各量之間的關系是求解問題的關鍵.2 22.雙曲線a2-語1(a,b0)的漸近線方程為(2)在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據題目給出的橢圓或雙曲線13的幾何特點，建立關于參數c,a,b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】在橢圓中：a2=b2+c2,離心率為e=-=a在雙曲線中：c2=a2+b2,離心率為e=|=y=跟注意離心率e與漸近線的斜率的關系.橢圓、雙曲線中,a,b, c之間的關系1+b214易錯起源 3、直線與圓錐曲線2|AB|，求直線AB的方程.cf2解由題意，得a= 且c+ - = 3,a2c解得a=2

17、,c= 1,貝U b= 1,2x所以橢圓的標準方程為勺+y2= 1.當AB丄x軸時，|AB= 2，又|CP= 3,1 +扣若 Q0,則線段肋的垂直平分線為 3軸與直線平行不合題意.從而將 0,故直線 PC的方程為則P點的坐標為-2, 了話, 從而IPC=+產 因為 |PC= 2|AB,? 3k2+1、1+k2Tk+2k2當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k(x 1) ,A(xi,yi) ,B(x2,y2),將直線AB的方程代入橢圓方程,2 2 2 2得(1 + 2k)x 4k x+ 2(k 1) = 0,貝VX1,2=k2+k221 + 2k,例 3、如圖，在平面直角坐標系xOy中，

18、已知橢圓 才+話=1(ab0)的離心率為舟,且右焦點F到直過F的直線與橢圓交于B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線I和AB于點p, c,若 |PC=不合題意.所以4 ;21+k221+2k2線I:x= a的距離為 3.(1)求橢圓的標準方程;15解得k= 1.此時直線AB的方程為y=x 1 或y= x+ 1.2【變式探究】(1)設拋物線y= 8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線I與拋物線有公共點，則直線I的斜率的取值范圍為()1 1A. 2,2B. 2,2C. 1,1D. 4,42 2xyx(2)設橢圓C：-+T= 1 與函數y=tan；的圖象相交于 A,A兩點，若點P在橢圓C上，且直線

19、PA的斜434率的取值范圍是2, 1，那么直線PA斜率的取值范圍是 _.33答案(1)C(2) 8, 4】解析(1)由題意知拋物線的準線為x= 2, Q 2,0)，顯然，直線I的斜率存在，故設直線I的方y(tǒng)=k X+2,2222程為y=k(x+ 2)，由2得kx+ 4(k 2)x+ 4k= 0,iy= 8x,當k= 0 時，x= 0,此時交點為(0,0)，當k工0時，0,即4(k2 2)2 16k40,解得Kk0 或 0kW1,綜上，k的取值范圍為-13,故選 c由題意得4 兩點關于原點對稱設Ai(xif11),心一骯，一丫 1)則有厝=1,孚+ 號=1即訊二扣一勵 聲討一期)，1兩式噸里，幅=

20、弓卅 T 4因為直線刃b0)的一個焦點，若橢圓上存在點A使厶AOF為正三角形， 那么橢圓的離心率為(A.C.D. 3 1點A在第一象限，由已知得直線OA的斜率為k= tan60點/的坐標為- 丁點且在橢圓上秸作二 1,172X2.已知橢圓C:弋Tm卜y2= 1(m0)與雙曲線C：2xy= 1(n 0)的焦點重合，e1,e2分別為C,C2的離心率，則()A.mn且e 1B.mn且ecv1C. mxn且e1D.mxn且ecv1答案 A解析由題意可得：2 “ 2 2 2m1 =n+1，即m=n+2,又；m0,n0,故mtn.22mn 1n2+ 1n2+ 1n2+1又e1ea= 丁 丁 = 丁m n

21、n+ 2n兩點，且點P的橫坐標為 2,則厶PFQ的周長為()答案 A2X2解析因為雙曲線C：y= 1,3所以a=3,b= 1,c=：a2+b2= 2,故 2Q,由于點 P的橫坐標為芻則觀丄工軸.J 令工=2,則有即尸年.f.j -Tan故 IS冋=睞 1=,PQ=、A、iQFi=PFi=PFi + 2a=.則PFiO的周長為 陽| + |0n|+PO單+羋卑故選良4設拋物線E：y2= 2px(p0)的焦點為F,點M為拋物線E上一點，|MF的最小值為 3,若點P為拋物42/n+ 2n+ 1n4+ 2n11+齊亦21，：e1e21.23.已知雙曲線c：XF1,F2,過點F2的直線與雙曲線C的右支相

22、交于P,QA.C.14 .33B. 5 3D. 4 318線E上任意一點，A（4,1），則|PA+ |PF的最小值為（）A. 4 +B. 72C. 4 + 2 3D. 10答案 Bp解析 由題意，IMF的最小值為 3,.2=3,2 p= 6,拋物線E：y= 12x,拋物線y2= 12x的焦點F的坐標是（3,0）;設點P在準線上的射影為D,則根據拋物線的定義可知|PF| = IPD,要求|PA+ |PF取得最小值，即求|PA+ IPD取得最小值，當D P, A三點共線時|PA+ IPD最小，為 4 （ 3） = 7,故選 B.2 25.已知雙曲線X2y2= 1（a0,b0）與拋物線y2= 8x有

23、一個共同的焦點F,兩曲線的一個交點為P,若|PF= 5,則點F到雙曲線的漸近線的距離為（）A. 3B. 2C. 6D. 3答案 A解析丁拋物線尸=血的焦點為恥皿二雙曲 2 牛基=1（識，杜創(chuàng)的一個焦點 F 的坐標為（2；0）也十護=4TP是兩曲線的一個交點，且羽=廠蚣+1 = 5，年=3，. j =24-洛-和聯立 9 24|去一喬2雙曲線的方程為X2魯=1.3又雙曲線的漸近線方程為y=, 3x,19點F(2,0)到漸近線的距離為，3.6.已知點A(2,4)在拋物線y2= 2px(p0)上，且拋物線的準線過雙曲線2 2x y云b2=i(a.b0)的一個焦點,若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方

24、程為 _2答案x2 = i32解析 /點A(2,4)在拋物線y= 2px(p0)上, 16 = 4p,解得p= 4.拋物線的準線方程為x= 2.2 2又拋物線的準線過雙曲線 1(a0,b0)的一個焦點，c= 2，又e=- = 2,a ba2 2 2a= 1，貝 Ub=ca= 4 1 = 3,2雙曲線的方程為x2詈=1.7 .一動圓與已知圓O： (x+ 3)2+y2= 1 外切，與圓 Q: (x 3)2+y2= 81 內切，則動圓圓心的軌跡方程為_ .2 2答案25+6=1解析兩定圓的圓心和半徑分別是0( 3,0) ,1= 1;Q(3,0) ,r2= 9.設動圓圓心為Mx,y)，半徑為R,則由題設條件,可得 |MO=R+ 1, |0M| = 9R. |M0+ |MQ= 10|00| = 6.由橢圓的定義知點M在以0, Q 為焦點的橢圓上，且 2a= 10,2c= 6,.b2= 16.2 2x y動圓圓心的軌跡方程為+ = 1.25162 2x y&過橢圓7=1 的右焦點作一