圓錐曲線參數(shù)方程（課堂PPT）

1、1橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程珠海市二中珠海市二中 馬清太馬清太21、 圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程sin,cosryrx（1）圓心在原點(diǎn)半徑為）圓心在原點(diǎn)半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程（2 2）圓心在（）圓心在（a a，b b），），半徑為半徑為r的圓參數(shù)方程的圓參數(shù)方程sincosrbyrax3引例、引例、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)

2、旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. OAMxyNB分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)相同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過(guò)引進(jìn)參的坐標(biāo)可以通過(guò)引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系數(shù)建立聯(lián)系. 設(shè)設(shè)XOA=4OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, M(x, y), 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax()f為參數(shù)消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. .引

3、例、引例、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 5cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸（1）cos ,sin .xbYya焦點(diǎn)在 軸（2）12222 byax12222 bxay普通方程普通方程2、 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓分別是橢圓的

4、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). ab 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 的取值范圍的取值范圍是是另外另外,0,2 )說(shuō)明：說(shuō)明：6OAMxyNB辨析：辨析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :12222byax橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :)(sinbycosa為為參參數(shù)數(shù) xxyO圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: :圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2)(sinycos為為參參數(shù)數(shù) rrx的幾何意義：的幾何意義：AOP=PA橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.7【例例1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通

5、方程化為參數(shù)方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx（5）已知橢圓的參數(shù)方程為）已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是參數(shù)是參數(shù)) ，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ），短軸長(zhǎng)為（），短軸長(zhǎng)為（ ），焦），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（點(diǎn)坐標(biāo)是（ ) ，離心率是（，離心率是（ ）。）。2cos sinxy42323,08例例2、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使，

6、使P到到直線直線 l：x-y+4=0的距離最小的距離最小.xyOP分析分析1：平移直線平移直線 l 至首次與橢圓至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求相切，切點(diǎn)即為所求.分析分析2：),sin,cos(P 22設(shè)設(shè)222|4sincos| d則則小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。9例例3、已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。22110064xy:10cos ,8sinA解 設(shè)20cos,16si

7、n2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面積為yXOA2A1B1B2F1F2ABCDyX10引申引申1:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx11:,ABCABP解 橢圓參數(shù)方程 設(shè)點(diǎn)P(3cos,2sin) S面積一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求點(diǎn)到線的距離最大值線AB的方程為66所以當(dāng)=時(shí)有最大值 面積最大

8、4這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)12引伸2：P、Q是拋物線y2 = x與圓 (x-3)2+y2=1上的兩動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值xyAPQ引伸3 點(diǎn)P在橢圓 上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓 上運(yùn)動(dòng)，求PQ的最大值1422 yx412322xyXyPQOA12PQPAAQPA所以只要求|PA|的最大值13練習(xí)練習(xí)11.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值22y194x.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓圓

9、 B. 橢圓橢圓 C. 直線直線 D. 線段線段B析析:設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x14的取值范圍求滿足實(shí)數(shù)yxx-9yyx,2,. 1 ，并畫(huà)出草圖變化時(shí)，求圓心的軌跡a當(dāng)?shù)娜?值取值范a數(shù)表示的 圖示的圖形為圓043a2aa2ayx2ayx已知方程2.242223.已知橢圓C的參數(shù)方程是5cos ,024sinxyqqpq=0,b0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)

10、方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實(shí)質(zhì)是三角代換的實(shí)質(zhì)是三角代換.說(shuō)明：說(shuō)明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.17sec ,tan .xaXyb焦點(diǎn)在 軸（1）tan ,sec .xbYya焦點(diǎn)在 軸（2）22221xyab22221yxab普通方程普通方程221sec,sectan1cos其 中則3、 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程1 .在雙曲線的參數(shù)方程中，常數(shù)在雙曲線的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是雙分別是雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng). a、b02. 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù)32

11、20,2 )18例例2222100 xyMababOMA BMAOB(,) 如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，為為原原點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論？OBMAxy19.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為,則直線的方程為（asec ,btan ）： b將y=x代入，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為aAax = （sectan ）2.Bax = （se同

12、理可得，點(diǎn)B的橫坐cta2標(biāo)n為）.ba設(shè) AOx= ,則tan.20解：解：MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可見(jiàn)，平行四邊形的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無(wú)關(guān)。21oyx)HM(x，y)2拋物線y =2px(p0)的參數(shù)方程為:1其中參數(shù)t=(0),tan幾何意義為：,().ttRy2x=2pt為參數(shù)，2pt拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)。.x即P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn),則有t=y4、 拋物線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方

13、程2221212121212121221()2,(),11,xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt 例例 . .若若曲曲線線為為參參數(shù)數(shù) 上上異異于于原原點(diǎn)點(diǎn)的的不不同同兩兩點(diǎn)點(diǎn)，所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)分分別別是是則則弦弦所所在在直直線線的的斜斜率率是是 、C23112121222111222122221212,(2,2),(2,2)22122M MM MttMMMptptMptptptptkptpttt 解解：由由于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)方方程程分分別別是是 和和 ，則則可可得得點(diǎn)點(diǎn)和和的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為2422.,2(0),OA Bypx pOAOB OMA

14、BABMM 例例如如圖圖是是直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)是是拋拋物物線線上上異異于于頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的兩兩動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn), ,且且并并于于相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)，求求點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程。xyoBAM252211221212221122222121221 21 21 2:,( , ),(2,2),(2,2)(,0)( , ),(2,2),(2,2)(2 (),2 (),0,(2)(2 )0,1.M A Bx yptptptptttttOMx y OAptptOBptptABp ttp ttOAOBOA OBpt tp t tt t 解解 根根據(jù)據(jù)條條件件 設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為且且則則因因?yàn)闉樗砸?/p>

15、即即所所以以.(8)262221211212211222,0,2()2()0()0,(0).(9)(2,2),(2,2),OMABOM OBpx ttpy ttx ttyyttxxAMxptyptMBptxptyA M B 因因?yàn)闉樗砸约醇此砸约醇匆蛞驗(yàn)闉榍仪胰c(diǎn)點(diǎn)共共線線，27221221121 222(2)(2)(2)(2)()20.(10)(8),(9)(10),()2020(0)xptptyptxypty ttpt txyypxxxypxxM所所以以化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)，得得將將代代入入得得到到即即這這就就是是點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡方方程程設(shè)出參數(shù)能大大簡(jiǎn)說(shuō)明：化運(yùn)算。283,?A BAOB 在在例例 中中 點(diǎn)點(diǎn)在在什什么么位位置置時(shí)時(shí)的的面面積積最最小小？最最究究：小小值值是是多多少少探探xyoBAM2922221111222222222221 21222222212121223(2)(2)21(2)(2)212(1) (1)222()44,4.AOBOAptptp ttOBptptp ttAOBSpt tttpttpttpttA BxAOB