(完整)選修4-5《不等式選講》知識(shí)點(diǎn),推薦文檔

1、高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)91、不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱性）a b b a（傳遞性）ab, b c a c（可加性）a b（同向可加性）a（異向可減性）aa c b cb,cdacbdb, cdacbd（可積性）aab, c 0 ac bcb, c0 ac bc（同向正數(shù)可乘性）a b 0,c d 0ac bd（異向正數(shù)可除性）a b 0,0 c d（平方法則）（開(kāi)方法則）（倒數(shù)法則）a b 0 an bn(n N,且 n 1)a b 0 班 n/b( n N,且 n 1)111a b 0;a b 0-aba2、幾個(gè)重要不等式 a2 b2 2ab a, bR，（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取號(hào)）變形公式：ab

2、2,2a b（基本不等式）aba, bR ，（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取到等號(hào)）變形公式：ab 2 , ab ab用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件 “一正、二定、三相等”（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）a b c 3/Obc （a b、c R ）（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取到等號(hào)）3 a2 b2 c2 ab bc ca a, b R（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取到等號(hào)）.333 a b c 3abc（a 0, b 0,c 0）（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取到等號(hào)）.b a右ab 0,則一 一 2 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）a bb a右ab 0,則一 2 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）a

3、b分bb m彳ana1 ,（其中 a b 0, m 0, n 0）aa mbnb規(guī)律：小于 1同加則變大，大于 1同加則變小.當(dāng)a0時(shí)，xax2a2x域xa;x a.絕對(duì)值三角不等式b.3、幾個(gè)著名不等式平均不等式:(即調(diào)和平均變形公式：幾何平均算術(shù)平均平方平均).b a b J, (a,b R ,當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取號(hào))2.2abb2(a b)22哥平均不等式:22&a22ann二維形式的三角不等式:Laia2an)2.xi2yi2x22y22, (xix2)2(yy2)2(x1，y1,x2,y2R).二維形式的柯西不等式:22222(a b )(c d ) (ac bd) (a,b,c,d

4、R).當(dāng)且僅當(dāng) ad bc時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式:a2b2a3b3).222222(aia2a3 )(bib2b3 ) (am一般形式的柯西不等式:(ai2a22. an2)(h2b22bn2)(aibia2b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式:ur ir設(shè)，是兩個(gè)向量，則ururirur,當(dāng)且僅當(dāng)1r是零向量，或存在實(shí)數(shù) k ,使“kLr時(shí)，等號(hào)成立.排序不等式(排序原理)設(shè) aia2an, blb2bn為兩組實(shí)數(shù).Ci,C2,.,Cn是bi,b2,.,bn的任一排列,aibna2bn i .anbiaiCia2c2.anCnaibia2b2. anbn.(反序和亂序和順序和

5、)，當(dāng)且僅當(dāng)aia2an或bib2 . bn時(shí)，反序和等于順序和琴生不等式：(特例：凸函數(shù)、凹函數(shù))若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f (x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)xi,x2(xi x2),有X x2f(xi) f (x2)f ()或224、不等式證明的幾種常用方法f(xi xf(xi) f(x?)則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).22.常用方法有：比較法(作差，作商法)、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法, 常見(jiàn)不等式的放縮方法：數(shù)學(xué)歸納法等.舍去或加上一些項(xiàng)，如 (a I)2211 2(a 2)；將分子或分母放大(縮小),k(k 1)k(k1)2 , k . k ;

6、 k . k . k*(k N ,k1)等.5、元二次不等式的解法求一兀二次不等式 ax2 bx c0(或0)2(a 0, b 4ac 0)解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象 .五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 .分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿(奇穿偶切),結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集f(x) g(x)f(x) g(x)7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x) g(x) 0(“或”時(shí)同理)f (x) g(

7、x) 0g(x) 0規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 f(x) a(a 0)f(x) 0f(x) a2 f (x) a(a 0)f(x) 0f(x) a2.f (x) g(x)f(x) g(x) f(x)00 或2g(x)2f(x) g(x) f(x) g(x)f(x) 0g(x) 02f(x) g(x)2_f(x) 0 .國(guó),g(x)g(x) 0f(x) g(x)規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a 1 時(shí)，af(x) ag(x) f(x) g(x)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，af(x

8、) ag(x)f(x) g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法f(x) 0當(dāng) a 1 時(shí)，logaf(x) loga g(x) g(x) 0f(x) g(x)f(x) 0當(dāng) 0 a 1 時(shí), logaf(x) loga g(x) g(x) 0.f(x) g(x)規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對(duì)值不等式的解法：a (a 0)定義法：a.a (a 0)平方法：|f(x) |g(x) f2(x)g2(x).同解變形法，其同解定理有： x a a x a(a 0); x a x 破x a(a 0); f (x)|g(x) g(x)f (x) g(x) (g(x) 0)

9、f (x)| g(x) f (x) g(x)或f(x)g(x) (g(x) 0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)(或兩個(gè)以上)絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有:討論a與0的大小;討論與0的大小; 討論兩根的大小.14、恒成立問(wèn)題不等式ax2 bxc 0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是:當(dāng)a 0時(shí) b 0,c 0;當(dāng)a 0時(shí)a 00.不等式ax2 bx c 0的解集是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是:當(dāng)a 0時(shí) b

10、 0,c 0;a 0當(dāng)a 0時(shí)0. f(x) a恒成立f (x)max a;f (x) a恒成立 f(x)max a; f(x) a恒成立f(x)min a;f (x) a恒成立 f (x)mina.15、線性規(guī)劃問(wèn)題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線Ax By C 0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax By C后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（x0,y0）（如原點(diǎn)），由Ax0 By0 C的正負(fù)即可判斷出 Ax By C 0 （或0）表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn)法二：根據(jù)Ax By

11、C 0（或 0）,觀察B的符號(hào)與不等式開(kāi)口的符號(hào)，若同號(hào)，Ax By C 0（或 0）表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)z Ax By （A, B為常數(shù)）的最值：法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù)z Ax By （x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得， 將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)z值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù) z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù) z的最小值法二：畫一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線 10: Ax By 0 ,平移直線10 （據(jù)可行域，將直線10平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解（x, y）；第四步，將最優(yōu)解（x, y）代入目標(biāo)函數(shù)z Ax By即可求出最大值或最小值.第二步中 最優(yōu)解的確定方法：利用z的幾何意義：y Ax *,*為直線的縱截距. B B B若B 0,則使目標(biāo)函數(shù)z Ax By所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最