2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)(備戰(zhàn)中考題型整理,突破提升)含詳細(xì)答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)（備戰(zhàn)中考題型整理，突破提升） 含詳細(xì)答案一、旋轉(zhuǎn)1 .閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的 頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這 個(gè)規(guī)律的圖形稱為 手拉手”圖形.如圖1,在 手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若 /BAC= /DAE, AB=AC, AD=AE,貝U BD= CE在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造手拉手”圖形來解答下面的問題：（2）如圖 2, AB=BC, /ABC=/BDC= 60°,求證：AD+CD= BD;（3）如圖3,在

2、 ABC中，AB= AC, Z BAC= m。，點(diǎn)E為ABC外一點(diǎn)，點(diǎn) D為BC中點(diǎn), /EBC=/ACF ED± FD,求/EAF的度數(shù)（用含有 m的式子表示）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） ZEAF =1m。.2【解析】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EC只要證明DABEAC即可；（2）如圖2中，延長(zhǎng)DC到E,使得DB=DE首先證明4BDE是等邊三角形，再證明 ABD0 4CBE即可解決問題；（3）如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) m°得到AG,連接CG EG EF、FG,延長(zhǎng)ED到1 。M,使得 DM=DE,連接 FM、CM.想辦法證明AFEA

3、FG 可得 / EAF=Z FAG=2 m .詳（1）證明：如圖1中, Z BAC=Z DAE,Z DAB=Z EAC,在 DAB和4EAC中，AD=AEDAB= EAC , AB=AC DAB0 EAC, .BD=EC(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng) DC至ij E,使得DB=DE DB=DE, /BDC=60,° .BDE是等邊三角形， / BD=BE, / DBE=Z ABC=60 ；/ ABD=Z CBE, .AB=BC, .ABDACBE,.AD=EC, BD=DE=DC+CE=DC+A D .AD+CD=BD.(3)如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) m°得到AG,連接

4、CG EG EF、FG,延長(zhǎng)ED到 M,使得 DM=DE,連接 FM、CM.由(1)可知 EAg AGAC,.1. / 1 = / 2, BE=CG3 BD=DC, /BDE=/CDM, DE=DM,4 .EDBAMDC,EM=CM=CG, / EBC之 MCD,5 / EBC=Z ACF,/ MCD=/ ACF,/ FCM=Z ACB=/ ABC,/ 1=3=/ 2,/ FCG=/ ACB=Z MCF,6 . CF=CF CG=CM, .-.CFGACFM, .FG=FM,7 . ED=DM, DF± EM, .FE=FM=FG8 . AE=AG, AF=AF,9 .AFEAAFG

5、,， J 。/ EAF=Z FAG=m2點(diǎn)睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用手拉手”圖形中的全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)造手拉手”模型，解決實(shí)際問題，屬于中考?jí)狠S題.2 .請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題：1探究1：如圖1,在等腰直角三角形 ABC中， ACB 90°, BC a,將邊AB繞點(diǎn)B1 2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：VBCD的面積為一a2.（提示：過點(diǎn)D作BC2邊上的高DE,可證VABCVBDE）2探究2：如圖2,在一般的RtVABC中， ACB 90

6、6;, BC a,將邊AB繞點(diǎn)B順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請(qǐng)用含a的式子表示VBCD的面積，并說明理由.3探究3：如圖3,在等腰三角形 ABC中，AB AC , BC a,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示VBCD的面積，要有探究過 程.1 2【答案】（1）詳見解析；（2） VBCD的面積為一a2,理由詳見解析；（3） VBCD的面21 2積為一a .4【解析】【分析】1如圖1,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE ,就有DE BC a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論

7、；2如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE ,就有DE BC a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；3如圖3,過點(diǎn)A作AF BC與F,過點(diǎn)D作DE BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由等腰三角形1的性質(zhì)可以得出 BF -BC ,由條件可以得出 VAFB且VBED就可以得出BF DE ,由2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,過點(diǎn)D作DE CB交CB的延長(zhǎng)線于E,BEDACB 90o，由旋轉(zhuǎn)知，AB AD , ABD 900,ABCDBE 90°，Q A ABC 900,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE

8、 ,AB BDVABC VBDE AASBC DE a,一 1 一一Q SVBCD BC DE ,2SVBCD 二 a ；21 92 VBCD的面積為一a ,2理由：如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E,BED ACB 90°，Q線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,AB BD , ABD 90°,ABC DBE 90°,Q A ABC 90°,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE ,AB BDVABC VBDE AAS ,BC DE a,QSvBCD1 -BC DE , 2SVBCD-a2;2

9、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,3如圖3,過點(diǎn)A作AF BC與F,過點(diǎn)D作DEFABABF 90°，Q ABD 90°, ABFDBE 90°，F(xiàn)AB EBD ,Q線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,AB BD ,在VAFB和VBED中,AFB EFAB EBD, AB BDVAFB VBED AAS ,1BF DE a, 2一一 1 111 2Q SvbcdBC DE a a a ,22 241 2VBCD的面積為一a .4【點(diǎn)睛】 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性 質(zhì)、三角形的面積等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練

10、掌握和靈活運(yùn) 用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵 .3 .如圖所示，（1）正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點(diǎn) A, / EAF=90；連接BE、DF.將RAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖（1）給予證明；（2）將（1）中的正方形 ABCD變?yōu)榫匦?ABCD,等腰RtAEF變?yōu)镽tAAEF7,且AD=kAB,AF=kAE,其他條彳不變.（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖 （2）說明理由；（3）將（2）中的矩形 ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?ABCD）,將RtA AEF變?yōu)锳EF,且/BAD=/ EAF=a其他條彳不變.（2）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖（3

11、）,如果不變，直接寫出結(jié)論；如果變化，直接用 k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用 a表示出直線BE、DF形成的銳角3.【答案】（1） DF=BE且DFLBE,證明見解析；（2）數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變，即3 =18(-aDF=kBE, DF± BE; (3)不改變.DF=kBE,【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中線段的長(zhǎng)度不變，得到AF= AE,又/ BAE與/ DAF都與/ BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長(zhǎng) DF交BE于G, 根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360。求出/EGF= 90。，所以DF± BE；（2

12、）等同（1）的方法，因?yàn)榫匦蔚泥忂叢幌嗟龋鶕?jù)題意，可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以FAgEAB,所以DF=kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/EHF= 90°,所以DF，BE；(3)與(2)的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360 °求出/£人5+/ EHF= 180 °,所以 DF 與 BE 的夾角 3= 180 - a. 【詳解】(1) DF與BE互相垂直且相等.證明：延長(zhǎng) DF分別交AR BE于點(diǎn)P、G在正方形 ABCD和等腰直角 4AEF中AD= AB, AF= AE,

13、/ BAD= / EAF= 90/ FAD= / EAB.FADAEABZ AFD= Z AEB, DF= BE / AFD+Z AFG= 180 : / AEG+/AFG= 180 ； / EAF= 90 °,/ EGF= 180 - 90 = 90 ； DFXBEDF= kBE, DF± BE.(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變.延長(zhǎng)DF交EB于點(diǎn)H,. AD=kAB, AF= kAEAFAEADABAD AFAB AE / BAD= / EAF= a/ FAD= / EAB.FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE .FADAEAEJ, / AFA /

14、 AEB, / AFD+/AFH= 180 : / AEH+ZAFH=180 ； / EAF= 90 °,/ EHF= 180 - 90 = 90 ； DFXBE(3)不改變.DF= kBE, 3= 180°-a.延長(zhǎng)DF交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H, J . AD=kAB, AF= kAEAFAEADABAD AFAB AE / BAD= / EAF= a / FAA / EAB .FADAEABDF AF , kBE AE.DF= kBE由 FAD EAB得 / AFD= / AEB / AFD+/AFH= 180 ° / AEB+/AFH= 180 °

15、四邊形AEHF的內(nèi)角和為360 ； / EAF+Z EHF= 180 ° / EAF= a, / EHF= 3 -a+ 3= 180 :3= 180 - a【點(diǎn)睛】本題（1）中主要利用三角形全等的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2） （3）利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的關(guān) 鍵，也是難點(diǎn)所在.4.如圖 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.點(diǎn) D、E分別在 AC BC邊上，DC=EG 連接 DE、AE、BD.點(diǎn) M、N、P分別是 AE、BD> AB 的中點(diǎn)，連接 PM、PN、MN.C E B CBC

16、E B國(guó)1S2曾用圉(1) PM與BE的數(shù)量關(guān)系是 , BE與MN的數(shù)量關(guān)系是 .(2)將ADEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置，判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論 是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)若CB= 6. CE= 2,在將圖1中的ADEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周白過程中，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求 MN的長(zhǎng)度.1【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ; (2)成立，理由見解析；(3) MN=J17 - 21或折+1【解析】【分析】(1)如圖1中，只要證明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題；(2)如圖2中，

17、結(jié)論仍然成立，連接 AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H .由VECB VDCA ,推出BE AD , DAC EBC ,即可推出BH AD ,由M、N、P分另U AE、1 1BD、AB 的中點(diǎn)，推出 PM /BE, PM BE, PN/AD , PN AD ,推出2 2PM PN , MPN 90 ,可得 BE 2PM 2 MN V2MN ;2(3)有兩種情形分別求解即可 .【詳解】(1)如圖1中，S1. AM = ME, AP= PB,1 PM / BE, PM - BE , 2. BN=DN, AP=PB,1 .PN/AD, PN AD, 2 . AC= BC, CD= C匕.AD= BE,.PM

18、 = PN, / ACB= 90 °,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, PMN的等腰直角三角形，MN 72PM， MN:2 1BE ,2BE 2MN， 1-故答案為 PM -BE , BE J2MN (2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.理由：連接AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H. ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / ACE/ ACD= / ECB .ECBDCA, .BE=AD, /DAC=/EBC Z AHB=180 - (/H

19、AB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°, BHXAD, M、N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，11 .PM/BE, PM BE, PN/AD, PN AD, 22.PM = PN, /MPN=90；BE 2PM 2 MN >/2MN .2則 CG GE DG J2,當(dāng)D、E、B共線時(shí),BE BG GEV34 亞,，MN -2 BE2而i.當(dāng)D、E B共線時(shí),GE DG V2,在 RtAbcg中，bg Jbc2 cg2

20、j62 & 2 扃,BE BG GE34 2,在 RtABCG中，BG JbC2 CG2 J62 22 2 后，,MN 出 BE2綜上所述，MN=而-1或J萬+1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問 題，屬于中考?jí)狠S題.5.在等邊4AOB中，將扇形 COD按圖1擺放，使扇形的半徑 OC、OD分別與OA、OB重 合，OA= OB=2, OC= OD= 1,固定等邊AOB不動(dòng)，讓扇形 COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線 段AC BD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a. ( 0V

21、 a w 360°(1)當(dāng)OC/ AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=度；發(fā)現(xiàn)：(2)線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖 2給出證明.應(yīng)用：(3)當(dāng)A、C D三點(diǎn)共線時(shí)，求 BD的長(zhǎng).拓展：(4) P是線段AB上任意一點(diǎn)，在扇形 COD的旋轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出線段PC的最大值與最小值.【答案】(1) 60或240; (2) AC=BD理由見解析；(3) X13+1或巫； (4) PC的 22最大值=3, PC的最小值=J3 - 1.【解析】分析：(1)如圖1中，易知當(dāng)點(diǎn)D在線段AD和線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC/ AB,此時(shí)旋 轉(zhuǎn)角a =60或240°.(2)結(jié)論：AC=BD,只要證明AO8

22、 4BOD即可.(3)在圖3、圖4中，分別求解即可.(4)如圖5中，由題意，點(diǎn) C在以O(shè)為圓心，1為半徑的。上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) O作 OHXABT H,直線OH交。于C'、C，線段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線段 CH的長(zhǎng)即 為PC的最小值.易知 PC的最大值二3, PC的最小值=73-1.詳解：(1)如圖1中，,4ABC是等邊三角形，Z AOB=Z COD=60°,當(dāng)點(diǎn)D在線段AD和線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC/ AB,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角 a =6賊240 °,故答案為60或240;(2)結(jié)論：AC=BD,理由如下：如圖 2 中， ZCOD=Z AOB=60 °, . .

23、 / COA=/DOB.在 AAOC和 ABOD 中，OA OBCOA DOB , .AO® BOD, .-.AC=BD；CO OD點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、(3)如圖3中，當(dāng)A、C D共線時(shí)，作 OHLAC于H.在 RtA COH中，. OC=1, ZCOH=30 °, . CH=HD=1 , OH=2/I .在 RtAOH 中,AH= J0A2 0H 2=痘，BD=AC=CH+AH=1 屈 22如圖4中，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，作OHXACT H.易知 AC=BD=AH- CH= 13 12綜上所述：當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)

24、，BD的長(zhǎng)為析3 1或而122(4)如圖5中，由題意，點(diǎn) C在以0為圓心，1為半徑的。上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) 0作OHXABT H,直線0H交。于C'、C，線段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線段 CH的長(zhǎng)即為PC的最小值.易知 PC的最大值=3, PC的最小值=73 - 1.勾股定理、圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解 決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，利用輔助圓解決最值問題，屬 于中考?jí)狠S題.6.兩塊等腰直角三角板 ABC和 DEC如圖擺放，其中 /ACB=/ DCE=90°, F是DE的中 點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如

25、圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為 和位置關(guān)系為;(2)如圖2,若將三角板 DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均 不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說明理由；(3)如圖3,將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖 3, (1)中的猜想還 成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.FHXFG.【解析】試題分析：(1)證AD=BE根據(jù)三角形的中位線推出FH=- AD, FH/ AD, FG=- BE,22FG/ BE,即可推出答案；(2)證 AC* BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可

26、推出答案；(3)連接BE、AD,根據(jù)全等推出 AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案.試題解析：(1)解：CE=CD AC=BC /ECA=/ DCB=90 ,BE=AD, F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)， .FH=-AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE, 22.FH=FG .ADXBE, FHXFG,故答案為相等，垂直.(2)答：成立，證明：CE=CD /ECD叱 ACD=90 , AC=BC.ACEABCE.AD=BE,DDB.FH=FG FHI± FG,，（1）中的猜想還成立.（3）答：成立，結(jié)論是 連接AD, BE,兩線交于同（1）可

27、證由（1）知：FH=1 AD, FH/ AD, FG=1BE, FG/ BE,FH=FG FHI± FG.Z, AD 交 BC 于 X, .fh=-ad, fh/ ad, fg=be, fg/ be, 三角形ECD ACB是等腰直角三角形， . CE=CD AC=BC / ECD叱 ACB=90 ,°/ ACD=Z BCE在 ACD和ABCE中AC=BCACD= BCE ,CE=CD .ACDABCE.AD=BE, /EBC4 DAC, / DAC+/ CXA=90 , ° / CXA=Z DXB, / DXB+/ EBC=90,°/ EZA=180 &

28、#176;90 =90 ；即 AD± BE,1. FH/ AD, FG/ BE,FHXFG,即 FH=FG, FHI± FG,結(jié)論是 FH=FG FHXFG.【點(diǎn)睛】運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定 理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān) 鍵.7.如圖1,在銳角 4ABC中，/ABC=45°,高線 AD、BE相交于點(diǎn) F.(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2,將4ACD沿線段AD對(duì)折，點(diǎn) C落在BD上的點(diǎn) M, AM與BE相交于點(diǎn) N, 當(dāng)DE/ AM時(shí)，判斷NE與AC的數(shù)

29、量關(guān)系并說明理由.【答案】(1) BF=AC理由見解析；(2) NE=AC,理由見解析.2【解析】試題分析：(1)如圖1,證明AADCABDF (AAS),可得BF=AQ(2)如圖2,由折疊得：MD=DC,先根據(jù)三角形中位線的推論可得：AE=EC由線段垂直平分線的性質(zhì)得： AB=BC則/ABE=/ CBE結(jié)合(1)得：BDF0ADM,則/. r ,/1八/DBF=/ MAD,最后證明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN=- AC.試題解析：(1) BF=AC理由是：如圖 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC

30、=45 ；.ABD是等腰直角三角形，叫. AD=BD, / AFE=Z BFD,/ DAC=Z EBC在ADC和4BDF中，DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AC/c、"1，口(2) NE=-AC,理由是：2如圖2,由折疊得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC .BEXAC,，AB=BC,/ ABE=Z OBE,一由(1)得：AADOABDF7, .ADOAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=/ BA

31、N, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ OBE/ ANE=Z NAE=45 ；.AE=EN, .en=2ao.8.如圖：在ABC中，ZAOB=90°, AC=BQ / PCQ=45,把/ PCQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋 轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn) A作AD, CP,垂足為 D,直線 AD交CQ于E.(1)如圖，當(dāng)/PCQ在/ACB內(nèi)部時(shí)，求證： AD+BE=DE(2)如圖，當(dāng)CQ在/ACB外部時(shí)，則線段 AH BE與DE的關(guān)系為 ;(3)在(1)的條件下，若 CD=6, SAbce=2Saacd,求 AE 的長(zhǎng).【答案】 見解析(2) AD=BE+DE

32、 (3) 8【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)DA到F,使DF=DE,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距 離相等可得CE=CF,再求出ZACF=Z BCE,然后利用 邊角邊”證明 ACF和 BCE全等，根 據(jù)全等三角形的即可證明 AF=BE,從而得證；(2)在AD上截取DF=DE,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得CE=CF,再求出/ACF=/BCE然后利用 邊角邊”證明4ACF和ABCE全等，根據(jù)全等三角形 的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出 CD=DF=DE,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底 邊的比求出AF=2AD,然后

33、求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù) AE=AD+DE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解. 試題解析：(1)證明：如圖，延長(zhǎng)DA到F,使DF=DE. -. CD)1 AE,CE=CF,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 :/ ACD+Z ACF=Z DCF=45 :又/ ACB=90 : / PCQ=45 ；Z ACD+ZBCE=90 - 45 =45 :，/ACF=/BCE 在 AACF 和 ABCE 中,CE CFACF BCE , .AC陣 BCE (SAS ,AF=BE, . AD+BE=AD+AF=DF=DE,即AC BCAD+BE=DE;(2)解：如圖，在 AD上截取 DF=DE. CD，AE,CE=C

34、F,/ DCE=ZDCF=Z PCQ=45 ；. / ECF=Z DCE/ DCF=90 ；. / BCEZ BCF=Z ECF=90 :又 / ACB=90 ；/ ACF+Z BCF=90 ； . / ACF=Z BCE 在 ACF和 BCE中，CE CFACF BCE , .AC陣 BCE (SAS ,AF=BE, . AD=AF+DF=BE+DE,即AC BCAD=BE+DE；故答案為：AD=BE+DE.(3)/ DC- DCF=Z PCQ=45°,. / ECF=45° +45°=90°,， ECF是等腰直角三角形，.CD=DF=DE=6.Sbc

35、e=2Sa acd,，AF=2AD,，AD= X 6=2 . AE=AD+DE=2+6=8.1 2點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離 相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全 等三角形是解題的關(guān)鍵.9.如圖1,在RtADE中，Z DAE=90°, C是邊AE上任意一點(diǎn)(點(diǎn) C與點(diǎn)A、E不重合)，以AC為一直角邊在 RtA ADE的外部作RtAABC, Z BAC=90 ,連接BE、CD.(1)在圖1中，若AC=AB, AE=AD,現(xiàn)將圖1中的RtADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角 生 得到圖2,那么線段BE.

36、 CD之間有怎樣的關(guān)系，寫出結(jié)論，并說明理由；(2)在圖1中，若CA=3, AB=5, AE=10, AD=6,將圖1中的Rt ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)銳角”，得到圖3,連接BD> CE. 求證：ABEACD；計(jì)算：BD2+Cg的值.E【答案】(1) BE=CQ BEX CD,理由見角；(2) 證明見解析；BD 2+CE2=170.【解析】【分析】(1)結(jié)論：BE=CD, BEX CD;只要證明 ABA® ACAD,即可解決問題；(2) 根據(jù)兩邊成比例夾角相等即可證明ABEACD. 由 得到/AEB=/CDA.再根據(jù)等量代換得到 Z DGE=90 °,即DG

37、7; BE,根據(jù)勾股定理 得到bd2+cE2=cB?+ee2,即可根據(jù)勾股定理計(jì)算.【詳解】(1)結(jié)論：BE=CD, BEX CD.理由：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE與CD的交點(diǎn)為點(diǎn) G,如圖2. / CAB=Z EAD=90 ；在ACAD和 BAE中,C CAD=Z BAE.AB ACBAE CAD ,ACADIA BAE, . CD=BE,AE AD/ ACD= / ABE. / BFA=Z CFG / BFA+ZABF=90 ； /CFG/ACD=90 ； Z CGF=90 ； .-.BEX CD.(2) 設(shè)AE與CD于點(diǎn)F, BE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G,如圖3. / CABB=Z

38、 EAD=90 :，/ CAD=Z BAE. .CA=3, AB=5, AD=6, AE=10, .,些=公2=2, .AB&MCD;AB AC. ABEAACD, . / AEB=/CDA. ./AFD=/EFG Z AFD+Z CDA=90 ；/ EFG/AEB=90 ；/ DGE=90 ； . DG, BE,Z AGD=Z BGD=90 ； . . CEcG2+EG2, BD2=BG2+DG2,BD2+cE!=cG?+eG2+bG2+DG2. . CG2+bG2=CE2，EG2+DG2=ED2,BD2+cE!=CB2+eD2=CA2+AB2+AD2+AD2=170.E【點(diǎn)睛】本題

39、是幾何綜合變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、相 似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用類比，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題 的關(guān)鍵.10.如圖1, 4ACR AED都為等腰直角三角形，/AED=/ ACB=90°,點(diǎn)D在AB上，連CE, M、N分別為BD、CE的中點(diǎn).(1)求證：MNXCE;(2)如圖2將4AED繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30°,求證：CE=2MN.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)延長(zhǎng)DN交AC于F,連BF,推出DE/ AC,推出EDNsCFN,推出DE ENCF CNDN,求出DN=FN, FC=

40、ED得出 MN是中位線，推出 MN / BF,證NF CAEBCF 推出 /ACE4 CBF,求出 / CBF+/ BCE=90；即可得出答案；(2)延長(zhǎng) DN至IJG,使DN=GN,連接CG,延長(zhǎng)DE、CA交于點(diǎn)K,求出BG=2MN,證 CAEBCG,推出BG=CE即可得出答案.試題解析：(1)證明：延長(zhǎng) DN交AC于F,連BF,圖1- N為CE中點(diǎn)，EN=CN,1 .ACB 和 4AED 是等腰直角三角形，/AED=/ ACB=90 ,° DE=AE AC=BC/ EAD=Z EDA=Z BAC=45 ；2 .DE/ AC,3 .EDNACFN,.DEENDNCFCNNF 

41、9;4 .EN=NC,.DN=FN, FC=ED5 .MN是4BDF的中位線，MN / BF,6 . AE=DE DE=CF7 .AE=CF8 Z EAD=Z BAC=45 ；9 / EAC玄 ACB=90 ；在ACAE和ABCF中，CA= BCCAE= BCF ,AE=CF10 .CAEABCF (SA§ ,11 / ACE玄 CBF," Z ACE-+Z BCE=90,°12 / CBF吆 BCE=90,°即 BF± CE, MN / BF,.-.MN ±CE(2)證明：延長(zhǎng) DN至IJG,使DN=GN,連接CG,延長(zhǎng)DE、CA交

42、于點(diǎn)K,國(guó)2. M為BD中點(diǎn)，2 .MN是4BDG的中位線，.BG=2MN,在4EDN和？CGN中，DN = NGDNE= GNC , EN = NC3 .EDNACGN (SAS ,DE=CG=AE / GCN=Z DEN,4 .DE/ CG, / KCG=Z CKE5 / CAE=45+30 +45 = 120 ；/ EAK=60 ,°6 / CKE4 KCG=30,°/ BCG=120,° 在ACAE和ABCG中，AC=BC CAE= BCG ,AE=CG7 .CAEABCG (SAS ,BG=CE8 .BG=2MN,9 .CE=2MN.【點(diǎn)睛】考查了等腰直

43、角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行 線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力.11 .如圖，點(diǎn)A是x軸非負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0, 4) , M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為 F,過點(diǎn)B作y 軸的垂線與直線 CF相交于點(diǎn)E,連接AC, BC,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t.(I )當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(n )設(shè)ABCE的面積為S,當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 自變量t的取值范圍；(出)當(dāng)t為何值時(shí)，BC+CAM得最小值.3【答案】(1) (1,2); (2) S=- t+8 (

44、0Wt &8; (3)當(dāng) t=0 時(shí)，BC+ACW最小值【解析】試題分析：(I)過M作MGLOF于G,分另1J求 OG和MG的長(zhǎng)即可；(II)如圖1,同理可求得 AG和OG的長(zhǎng)，證明AMGCAF,得：AG=CF=- t2，AF=MG=2,分別表示EC和BE的長(zhǎng)，代入面積公式可求得S與t的關(guān)系式；并求其t的取值范圍；(III)證明ABOsCAF,根據(jù)勾股定理表示 AC和BC的長(zhǎng)，計(jì)算其和，根據(jù)二次根式的 意義得出當(dāng)t=0時(shí)，值最小.試題解析：解：(I)如圖1,過M作MGLOF于G,，MG/OB,當(dāng)t=2時(shí)，OA=2.M是AB的中點(diǎn)，G是AO的中點(diǎn)，.OG=-OA=1 MG是4AOB的中位

45、線，2 .MG = - OB=- X 4=2 M (1, 2)；22(II)如圖 1,同理得：OG=AG=1t. /BAC=90°,2 / BAO+Z CAF=90 :/ CAF+ Z ACF=90 ； = / BAO=Z ACF, / MGA=Z AFC=90 ；MA=AC,AAMGACAF7,，AG=CF=-t, AF=MG=2, EC=4 - - t, BE=OF=t+2,22Sa bce= _ EC?BE= (4t) (t+2) = - t2+ t+4；22242Saabc=I？AB?AC= 1 ? Ji6 t2 ? -J716t"2"=工 t2+4, 1

46、. S=Sabec+Saabc= t+8.22242當(dāng)A與O重合，C與F重合，如圖2,此時(shí)t=0,當(dāng)C與E重合時(shí)，如圖 3, AG=EF,即1、一，、一，t=4, t=8,，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：2AB(III)如圖 1,易得AB8 4CAF, AC得:ac=Jaf2 CF2,22 (1t)2 = J4BC= Jbe2 ec2 = J(t 2)2(4 ；t)2 =c 3 ,一 ，S=1+8 (0+& ；= -OB=-OA-=2,，AF=2, CF=1t,由勾股定理5( It2 4) , BC+AC= ( V5+1)點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合題，知識(shí)點(diǎn)包: 何變換(旋轉(zhuǎn))、三角形的

47、中位線等，解題的 決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)骸⑷热切?、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾12.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5各 ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到4ADE旋轉(zhuǎn)角為 a (0°< a< 180°)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) D,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) E連接BD, BE.(1)如圖，當(dāng)a =60時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F. 求證：4ABD是等邊三角形；求證：BF± AD, AF=DF；請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)D作DG垂直于直線 AB,垂足為點(diǎn)G,連接CE當(dāng)/ DAG=/ ACB且線 段DG與線段AE無公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE+CE

48、勺值.c【答案】（1） 詳見解析；3招-4; （2） 13.【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知 AB=AD, /BAD=60即可得證；由BA=BD EA=ED根 據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證；分別求出BF、EF的長(zhǎng)即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+/ ABC=180、° / DAG+/ DAE+/ BAE=180、° / DAG=/ ACR / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AC 根據(jù)三線合一可得 CE1 AB、 AC=S AH=3,繼而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.試題解析：（1）.一ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60。得到AADE,.AB=A

49、D, /BAD=60；.ABD是等邊三角形；由得4ABD是等邊三角形，.AB=BD, ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60得到 ADE, .AC=AE BC=DE又. AC=BCEA=ED點(diǎn)B、E在AD的中垂線上,.BE是AD的中垂線，點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上，BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF, .AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,在等邊三角形ABD 中,BF=AB?sinZ BAF=6BE=BF- EF=3右-4;（2）如圖所示,c / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAG, / ACB+/ BAC+Z ABC=Z DAG+Z DAE+Z ABC=180

50、, 又 / DAG+Z DAE+/ BAE=180 ,Z BAE=Z ABC,.AC=BC=AEZ BAC=Z ABC,Z BAE=Z BAC, JABXCE；且 CH=HE= CE, -.AC=BC,1.AH=BH=- AB=3,貝U CE=2CH=8 BE=5, .BE+CE=13 考點(diǎn)：三角形綜合題13.如圖1 ,正方形 ABCD與正方形 AEFG的邊AB、AE (ABvAE)在一條直線上，正方形 AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為優(yōu)在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG.(1)當(dāng)正方形 AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG(2)

51、當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC,直接寫出/FCD的度數(shù)；(3)如圖3,如果我=45°, AB =2, AE=V7,求點(diǎn)G至U BE的距離.16<5【答案】(1)證明見解析；(2) 45?；?35。； (3) 5 .【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD, AE=AG, Z BAD=Z EAG=90 ,再求出 / BAE=Z DAG,然后利用 邊角邊”證明 ABE和4ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 證明即可.(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，據(jù)此求解即可1(3)根據(jù)求解5 A HEG = 5 k AEG =尹正方無？lAFt；二16即可.試題解析：(1)如圖2,二四邊形ABCD是正方形，AB=AD, / BAE+/ EAD=90 .四邊形 AEFG是正方形，AE=AG, / EAD+Z DAG=90 :/ BAE=Z DAG.ABEAADG (SAS .BE=DG.(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，此時(shí)/FCD的度 數(shù)為45°或135°.(3)如圖3,連接GR GE.由已知 a =45；可知