(完整word版)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納(重點(diǎn))

1、反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)現(xiàn)實(shí)世界中的反比例關(guān)系反比例函數(shù)14實(shí)際應(yīng)用反比例函數(shù)的 圖象和性質(zhì)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)_ k1 .理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式' x （k為常數(shù)，上H。）,能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).2 .能描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步理解函數(shù)的三種表示方法，即 列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn).I F3 .能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)x （k為常數(shù)，上H 0）的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4 .對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，能 找出常量

2、和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題 ”的過(guò)程，體會(huì)函數(shù) 是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.5 .進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法. （三）重點(diǎn)難點(diǎn)1 .重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運(yùn)用.2 .難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握. 二、基礎(chǔ)知識(shí)（一）反比例函數(shù)的概念_ k1. x （上H。）可以寫成J二b"（七h(yuǎn)0）的形式，注意自變量 x的指數(shù)為-1,在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn) 題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù) kwQ這一限制條件；k2. 工（上MO）也可以寫成xy

3、=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式;3.反比例函數(shù)X的自變量 "Q ,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn).（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)kx的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量x的取值不能為0,且x應(yīng)對(duì)稱取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)1.函數(shù)解析式:2 .自變量的取值范圍:3 .圖象:（1）圖象的形狀：雙曲線.M越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.M越小，圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質(zhì):與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線.當(dāng)k。 時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng)上0

4、 時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大.（3）對(duì)稱性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即若（ a, b）在雙曲線的一支上，則（）在雙曲線的另一支上.圖象關(guān)于直線二士K對(duì)稱，即若（a, b）在雙曲線的一支上，則（方，I口）和（-b, -a）在雙曲線的另一支上.積是4. k的幾何意義如圖1,設(shè)點(diǎn)P （a, b）是雙曲線（三角形PAO和三角形PBO如圖2,由雙曲線的對(duì)稱性可知,y=- 占占占X上任意一點(diǎn)，作 PA，x軸于A點(diǎn)，PB，y軸于B點(diǎn)，則矩形PBOA的面的面積都是2P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q也在雙曲線上，作QC，PA的延長(zhǎng)線于C,則有三角形PQC的面積為5.說(shuō)明:(1)雙曲線的兩個(gè)

5、分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)當(dāng)用方守時(shí),兩圖象沒有交點(diǎn);時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)， 且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.(四)實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)1 .求函數(shù)解析式的方法:(1)待定系數(shù)法；(2)根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.2 .注意學(xué)科間知識(shí)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上.(五)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.三、例題分析1.反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是()A. y=3xC. 3xy=1D.(2)下列函數(shù)中,y是x的反比例函數(shù)的是()1 =B.C.D.答案：(1) C; (2) A.22,圖象和性質(zhì)(1)已知函數(shù)

6、二(七+ 1)1C是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么 k= .若y隨x的增大而減小，那么 k= .I ab八，加s y=一(2)已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則函數(shù)X的圖象位于第 象限.(3)若反比例函數(shù)'一最經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1, 2),則一次函數(shù))二一"+ 2的圖象一定不經(jīng)過(guò)第 象限.a-，、一-，、一尸一(4)已知abv0,點(diǎn)P (a, b)在反比例函數(shù)X的圖象上，則直線J=數(shù)+ $不經(jīng)過(guò)的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限I F什.n 一尸一一一一(5)若P (2, 2)和Q (m ,一加)是反比例函數(shù)|工圖象上的兩

7、點(diǎn)，則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限答案：(1)-2 1; (2) 一、三；(3)四；(4) C; (5) C; (6) B.3,函數(shù)的增閾生j = -(i 0)(1)在反比例函數(shù)工'的圖象上有兩點(diǎn)從瓦X),雙孫力)，且為。|,則)1?的值為().A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)(2)在函數(shù)'一 x (a為常數(shù))的圖象上有三個(gè)點(diǎn)(T Pl) J 4,必，5為'，則函數(shù)值九%、入 的大小關(guān)系是().y隨x的增大而減小的函數(shù)有().A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)*巧海南用的南

8、禽片吉絳*的南禽”占n，a一八”布扇咐(4)已知反比例函數(shù)X的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過(guò)同一點(diǎn)，則當(dāng) x>0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而(填 增大”或 減小”).答案：(1) A; (2) D; (3) B.注意，(3)中只有是符合題意的，而是在每一個(gè)象限內(nèi)” y隨x的增大而減小.4ff_ 4,斛析式的確te1 1 若力與匯成反比例，I與2限正比例，則y是2的().A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C. 一次函數(shù)D.不能確定ky=-(2)若正比例函數(shù) y=2x與反比例函數(shù)X的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為(2, m),則m= , k= ,它們的另一個(gè)交點(diǎn)為 .江戶今(3)已知反比例函

9、數(shù)I的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-g),反比例函數(shù)X的圖象在第二、四象限，求 班的值.掰+ 1y -(4)已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)工 (加#-1)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P (x 0,3).(5)為了預(yù)防 非典”，某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時(shí)間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為 6毫克.請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息解答下列問(wèn)題：藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 ，自變量x的取值范圍是 ；藥物燃燒后y 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 .研究表明，當(dāng)空氣中每立方

10、米的含藥量低于 1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室， 那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過(guò) 分鐘后，學(xué)生才能回到教室； 研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌,那么此次消毒是否有效？為什么?答案：（1） B;(2) 4, 8, ( -2 , -4 )；口.（3）依題意，愕=（-2）x（8）且40,解得陰二一4.加= 3,k = l（4）依題意，3如=幽+1> 0孑解得一就二心_3一次函數(shù)解析式為y二1+2,反比例函數(shù)解析式為工3y = (x>S)xv = X4 , 0<x<8,483-3xr = i3.25>1030；消

11、毒時(shí)間為L(zhǎng)3 4（分鐘），所以消毒有效.劍 5.面積計(jì)算力占（1）如圖，在函數(shù)1的圖象上有三個(gè)點(diǎn) A、B、C,過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別向 x軸、y軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的Q 弋 弋兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為 川1、地、孫，則（）.第（1）題圖第（2）題圖F、一口一"-一-'，(2)如圖，A、B是函數(shù) 工的圖象上關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC/y軸，BC/x軸，AABC的面積S, 則().A. S=1B. 1 <S<2C. S=2D. S>2m(3)如圖，RtAAOB的頂點(diǎn)A在雙曲線一工上，且SAAOB=3 ,求m的值.第(3)題圖第(4)題圖4&q

12、uot;一(4)已知函數(shù)X的圖象和兩條直線 v=x, y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于 P1和P2兩點(diǎn)，過(guò)P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1 , P1R1 ,垂足分別為 Q1 , R1 ,過(guò)P2分另I作x軸、y軸的垂線P2 Q 2 , P2 R 2 ,垂足分別為 Q 2, R 2,求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周長(zhǎng)，并比較它們的大小.1J = -(5)如圖，正比例函數(shù)y=kx (k>0)和反比例函數(shù)X的圖象相交于 A、C兩點(diǎn)，過(guò)A作x軸垂線交x軸于B,連接BC,若4ABC面積為S,則S=V3 K<第(5)題圖(6)如圖在 RtAABO中，頂點(diǎn)3SAABO=

13、2 .求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、V瓷L11第(6)題圖_ kA是雙曲線X與直線丁一 1 +(兒+1)在第四象限的交點(diǎn)，ABx軸于B且C的坐標(biāo)和4AOC的面積.(7)如圖，已知正方形軸上，點(diǎn)B在函數(shù)(k>0, x>0)的圖象上，點(diǎn)P (m, n)是函數(shù)OABC的面積為9,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A、C分別在x軸、yky =X (k>0, x>0)的圖象上任意一點(diǎn),過(guò)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F,設(shè)矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S.求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值;當(dāng) 2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.答案：(1) D;(2) C

14、; (3) 6;彤2),月通2物,矩形O Q 1P1 R 1的周長(zhǎng)為8, O Q 2P2 R 2的周長(zhǎng)為6企，前者大.1 .* ，(6)雙曲線為工,直線為丁一一工一乙；直線與兩軸的交點(diǎn)分別為(0, -2)和(一2, 0),且a(1, -3)和c(-3, 1),因此 MOC 面積為4.(7) B (3, 3),上二 9 ;935 = -?(6,工時(shí)，E (6, 0),2127£二93 耳二9-二y=(1)若函數(shù)y=k1x (k1R)和函數(shù) 工(k2刈)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒有公共點(diǎn)，則 k1和k2 (A.互為倒數(shù)B.符號(hào)相同C.絕對(duì)值相等D.符號(hào)相反(2)如圖，一次函數(shù)y = kx+b的圖象與反比例數(shù)m尸一十工的圖象父于A、B兩點(diǎn)：A 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;A、 BmC點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為 D,若OA=OB=OD=1 .二一兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)工(m%)的圖象在第一象限交于求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.如圖，一次函數(shù)y = ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于 A、B兩點(diǎn)，連結(jié) OC, OD (O是坐標(biāo)原點(diǎn)). 利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值; 雙曲線上是否存在一點(diǎn) P,使得4POC和APOD的面積相等？若存在，給出證明并