《黃金分割》專題練習(xí)

1、一、選擇題1.已知C是線段AB的一個黃金分割點(diǎn)，則 AC： AB為（3 - .522.若X - y =黃金數(shù),則x的值是（）A.523.把2米的線段進(jìn)行黃金分割，則分成的較短的線段長為（4. 1,5上的一種一種感覺，本應(yīng)沒有什么客觀的標(biāo)準(zhǔn)，但在自然界里，物體形狀的比例卻提供了在勻稱與協(xié)調(diào) 羊感的參考，在數(shù)學(xué)上，這個比例稱為黃金分割。在人體軀干（由腳底至肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn),高為1.60m,軀干與身高的比為為（）A. 2.5cm5.如圖，在正五邊形也就是說，若此比值越接近 0.618 ,就越給別人一種美的感覺。如果某女士身0.60 ,為了追求美，她想利用高跟鞋達(dá)到這

2、一效果，那么她選的高跟鞋的高度約B . 5.1cmC . 7.5cmABCD斗，對角線AR AC與EB分別相交于點(diǎn) MN.D卜列命題:.8.2cm四邊形EDCr菱形；四邊形MNCDI等腰梯形； AElNf EDMi:等； AEM CBNf 似；點(diǎn)M是線段AD BE、NE的黃金分割點(diǎn),其中假命題有（A. 0個二、填空題 AC1. C是AB的黃金分割點(diǎn)，則 4cm（保留兩個有效數(shù)字）。BC頭頂局度為65cm的女性，應(yīng)穿鞋跟為cm的高跟鞋才能使身材最完美（精確到1cm）。如圖，節(jié)目主持人現(xiàn)站在舞臺 AB的一端A點(diǎn)，在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處可獲得最佳0.618時，身材是最完美的。一位身高為

3、165cm,4.2. P為線段AB= 10cm的黃金分割點(diǎn)，則 AP 3.當(dāng)人的肚臍到腳底的距離與身高的比等于黃金分割比 肚臍到美學(xué)效果,若舞臺AB長20米，主持人要想站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處，她應(yīng)走到距A點(diǎn)至少 米處，如果向B點(diǎn)再走米，也處在舞臺的黃金分割點(diǎn)處（結(jié)果精確到0.1米）5 .如圖，在平行四邊形 ABCM,點(diǎn)E是邊BC上的黃金分割點(diǎn)，且 BE>CE, AE與BD相交于點(diǎn)F.那 么BF: FD的值為6 .如圖，在 ABC中，點(diǎn) D是AB的黃金分割點(diǎn)（AD>BDD , BG= AD,如果/ ACD= 90° , 那么tanA 三、解答下列各題1 .在人體軀干（腳底到

4、肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比例越接近0.618越給人以美感。張女士的身高為1.68米，身體軀干（腳底到肚臍的高度）為1.02米，那么她應(yīng)選擇約多大的tWj跟鞋看起來更美。（精確到十分位）2 . 一般認(rèn)為，如果一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個人好看。如圖， 是一個參加空姐選拔的選手的身高情況，那么她應(yīng)穿多高的鞋子才能好看？（精確到1cm）參考數(shù)據(jù)：黃金分割比為 W5二1 , V5 = 2.236 o23 .要設(shè)計(jì)一座2m高的維納斯女神雕像（如圖），使雕像的上部AC（肚臍以上）與下部 BC （肚臍以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，即點(diǎn)C

5、（肚臍）就叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，這個比值叫做黃金分割比。試求出雕像下部設(shè)計(jì)的高度以及這個黃金分割比？（結(jié)果精確到0.001 ）4 .如圖，在 ABC中，AB= AC, / A= 36° , / 1 = /2,請問點(diǎn) D是不是線段 AC的黃金分割點(diǎn)。請說 明理由。5 .如圖， ABC中，AB= AC, / BAC= 108° ,在BC邊上取一點(diǎn) D,使BD= BA,連接 AD 求證:（2）點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn)。(1) AD6 BAC6 .如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果 二=型AB AC那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)。某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想

6、到“黃 金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1 , S2 ,如果色 = S2 ,那么稱直S S1線l為該圖形的黃金分割線。(1)研究小組猜想：在 ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)(如圖2),則直線CD是 ABC的黃金分割線。你認(rèn)為對嗎？為什么？(2)請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交 AB于點(diǎn)E,再過點(diǎn)D作直線DF / CE ,交 AC于點(diǎn)F ,連接EF (如圖3),則直線EF也是4ABC的黃金分割線。請你說明理由。(4)如圖4,點(diǎn)E是口 ABCD的

7、邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn) E作EF/AD交DC于點(diǎn)F,顯然直線A ABCD各邊黃金分割點(diǎn)。EF是口 ABCD的黃金分割線。請你畫一條 口 ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過7. (2013?黃石)如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果AC BC,那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金AB AC分割點(diǎn)。某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分， 這兩部分的面積分別為 S、S2,如果SL = S2那么稱直線i為該SS1圖形的黃金分割線。(1)如圖2,在 ABC中，/ A= 36° , AB= AC, / C的

8、平分線交 AB于點(diǎn)D,請問點(diǎn) D是否是 AB邊 上的黃金分割點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；'(2)若 ABC在(1)的條件下，如圖 3,請問直線CD是不是 ABC的黃金分割線，并證明你的結(jié) 論；(3)如圖4,在直角梯形 ABCD43, / D= /C= 90° ,對角線 AG BD交于點(diǎn)F,延長AB DC交于點(diǎn) E,連接EF交梯形上、下底于 G H兩點(diǎn)，請問直線 GH是不是直角梯形 ABCM黃金分割線，并證明你的 結(jié)論。8.已知線段AB,求作線段AB的黃金分割點(diǎn) C,使AO BQ相似形專題練習(xí)答案一、選擇題1. D2. D3. A4. C5. B二、填空題1 .心或無 222 . 6.

9、2 或 3.8。3 .解：設(shè)她應(yīng)選擇高跟鞋的高度是xcm,則(165 - 65) x = 0.618|165 x解得：x5cmu故答案為：5。4 . 7.6 , 4.8 。5 .-126 .解：二.點(diǎn) D是AB的黃金分割點(diǎn)（AD> BDD ,竺 :番 1, a6=ab?bdAB 2BC= AD,BC2= AB?BDBC AB =, BD BC又. / B= / B, . BCD BAC,CD BC AD 5 -1. - oAC AB AB 2在MCD中，/ ACD- 90° ,.，八 CD .5-1 tanAAC 2故答案為,5 一1 2三、解答下列各題1 .設(shè)張女士應(yīng)該選擇

10、xcm高的高跟鞋，則102 x-=0.618,解得 x=4.8 (cm)。168 x2 .解：設(shè)應(yīng)穿xcm高的鞋子，一65。5 1 - -根據(jù)題意，得 一65。解得x=10cmD 95 +x 23 .解：設(shè)維納斯女神雕像下部的設(shè)計(jì)高度為xm,那么雕像上部的高度為(2 x) mi依題意，得2 -x x=x 2解得x1 = -1 + J5之1.236 , x1 = -1 一M5 (不合題意，舍去)。經(jīng)檢驗(yàn)x1 = -1 + J5是原方程的根。答：維納斯女神雕像下部的高度為1.236m。V5 -1故這個黃金分割比為：1球0.618。24 .解：D是AC的黃金分割點(diǎn).理由如下： .在 ABC中,AB=

11、 AC, / A= 36° ,，/ABC= /ACB= - (180° 36° ) = 722Z 1 = Z 2, 1110./ 1 = / 2= _ Z ABO 36。 在 BDC中，/ BDG= 180° -Z 2-Z C= 72.C= / BDCBC= BD,一/ A= / 1, AD= BQ. ABC和 BDC中，/2=/A, / C= / C, . ABS BDC；,AB BC BD -CD ?又,. AB= AC AD= BC= BD,AC AD =, AD CD.aD=AC?CD即D是AC的黃金分割點(diǎn)。5 .證明：(1)AB=AC, /BA

12、C=108° ,/ B= / C= 36 ° , BD= BA ./ BAD= 72° , / CAD= 36° , ./ CAD= / B, . / C= / C, . ADC BAC.AD ABACAC BC二一,CD AC .AC2= BC?CD .AC= AB=BD, BE2= BC?CD 點(diǎn)D是BC的黃金分割點(diǎn)。6. (1)直線CD是 ABC的黃金分割線。理由如下：設(shè) ABC的邊AB上的高為hoSA ABC1,ABLh, 21,1,=ADh，Sabdc=BDh, 22所以,& ADCSAABCAD5二型ABSaadcAD又因?yàn)辄c(diǎn)D為邊A

13、B的黃金分割點(diǎn)，所以有 處=里,因此&ADC = AB ADSzx abc所以，直線CD是 ABC的黃金分割線。1(2)因?yàn)槿切蔚闹芯€將三角形分成面積相等的兩部分，此時s =S2 =一2S/X BDC& ADC曳二,，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線。 s S)(3)因?yàn)镈F / CE,所以zXDEC和AFCE的公共邊CE上的高也相等,所以有Sa dec=SA FCE設(shè)直線EF與CD父于點(diǎn)G .所以Sa dge = S/ fgc所以Sa ADC = S四邊形 AFGD Sa FGC=S四邊形 AFGD + SA DGE SA AEF ' SA BDC =

14、SI邊形 BEFC °又因?yàn)镾AADC =Sa BDC ,所以SA ABCSA ADCSa AEF _ S四邊形 BEFCSA ABCSA AEF因此，直線EF也是 ABC的黃金分割線。(4)畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；畫法一：如答圖1,取EF的中點(diǎn)G ,再過點(diǎn)G作一條直線分別交 AB , 點(diǎn)，則直線MN就是口 ABCD的黃金分割線.畫法二：如答圖2,在DF上取一點(diǎn)N ,連接EN ,再過點(diǎn)F作FM II M ,連接MN ,則直線MN就是口 ABCD的黃金分割線。DC 于 M , NNE交AB于點(diǎn)(第6題答圖1)(第6題答圖2)7.解(1)點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn).理由如下： . A

15、B= AC, /A= 36° , B= / ACB= 72° 。 CD角平分線， ./ ACD= / BCD= 36° ,/ A= / ACDAD= CD ./CDB= 180° -Z B- / BCD= 72 ° , ./ CDB= / B,BC= CDBC= AD BCD BCA中,/ B= / B, / BCD= / A= 36 . BCm BCA.跑回AB BCAD=BDAB AD.點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn)。(2)直線CD ABC的黃金分割線.理由如下：設(shè) ABC中，AB邊上的高為h,則c 111Saabc= _ AB?h, Saac

16、id=AD?h, Szbc戶 BD?hS/xACtX SABC= AD AB,S BCU SaACD= BD AD由(1)知，點(diǎn)D是AB邊上的黃金分割點(diǎn),ADABBDAD Sa acH Sa abc= Sa bcD Sa acid,CD是 ABC的黃金分割線。(3)直線不是直角梯形 ABCD勺黃金分割線.理由如下: BC/ AD. .EB6 EAFH EG(C EHD.BG EG GC EGAH - EH ' HD - EH '.BG GC 目口 BG AH 八 -= ,即 = ?CDAH HD GC HD同理，由 BGMDHF CGMAHF得:,即由、得:AH= HDBG= GCHD AHBG GCAHBG HD c=？GC AH HDHDAH梯形ABGHW梯形GCDHk下底分別相等，高也相等,1 -.S 梯形 ABGH= S 梯形 GCDH= - S 梯形 ABCD2GH是