全等三角形通用輔助線做法

1、.五種輔助線助你證全等姚全剛在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線，對(duì)學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難 點(diǎn).下面介紹證明全等時(shí)常見的五種輔助線，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、截長補(bǔ)短一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？?以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長 使其與長線段相等.例 1.如圖 1，在 ABC 中，/ ABC=60 °，AD、CE 分別平分/ BAC、/ ACB .求證: AC=AE+CD .AC上截取AF=AE，則只要-(/ 4+ / 5) =60 °分析：要證 AC=AE+CD，AE、CD

2、不在同一直線上.故在 證明CF=CD .證明：在AC上截取AF=AE，連接OF./ AD、CE 分別平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 °/ 1 + / 2=60 °，A / 4=/ 6= / 1 + / 2=60 ° .顯然， AEO AFO，/ 5= / 4=60 °，/ 7=180°在 DOC 與 FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3，OC=OC DOC FOC， CF=CD AC=AF+CF=AE+CD .截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等, 或是將某條線段延長，使之與

3、特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加 以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 2：如圖甲,AD/ BC,點(diǎn) E在線段 AB上 , / AD&/CDE / DC=/ ECB 求證：CDADfBCoG思路分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：截長法或補(bǔ)短法。1）題意分析：2）解題思路：結(jié)論是CDAC+BC,可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”， 即在CD上截取CF=CB只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問 題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC如圖乙 FCEA BCE(SAS ,/ 2=/ 1。又 AD/ BC/

4、ADC/ BCD：180°,/ DC+/CD=90°,/ 2+/3=90°,/ 1 + / 4=90° / 3=/ 4。 在 FDE 與 ADE中,"DE 二 UDE* DE = DEZ3=Z4:. FDEAADE（ASA , DF=DA CD=DF+CF,/. CD=ADhBC解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長法或補(bǔ)短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另 一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等 于長線段。1）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)

5、聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差 小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來，可連 接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。二、中線倍長三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時(shí)，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用 的解題思路.例3 .已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長 x的取值范圍是（）.分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個(gè)已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進(jìn)行分析和判斷.u解：如圖2所示，設(shè) AB=7，AC=

6、5， BC上中線AD=x . 延長 AD 至 E, 使 DE = AD=x ./ AD是BC邊上的中線， BD=CD/ ADC= / EDB （對(duì)頂角） ADC EDB BE=AC=5在 ABE 中 AB-BE < AE < AB+BE即 7-5 < 2x< 7+5 1< x < 6例4：已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE二AC，延長BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長 AD至G,連接BG,證明 BDGA CDA 三角形BEG是等腰三角形例5:已知：如圖，在交 AE于點(diǎn) F, DF=AC. 求證：AE平分 BAC提示：方法1

7、:倍長AE至G, 方法2:倍長FE至H，ABC 中，AB AC , D、E 在 BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA連結(jié)DG連結(jié)CH第1題圖例 6:已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是 ABD的 中線，求證：/ C= / BAE提示：倍長AE至F,連結(jié)DFC證明 ABEA FDE ( SAS 進(jìn)而證明 ADFA ADC(SAS5、如圖5 2為厶ABC的中線，求證=AB+AC>2AI>u圖5& 如圖£所示，AD是氐A(chǔ)BC的中趺，B跤AC于E,交ADTF,且AE=EF 求SL AC=BF.CI詢熱愛生命嗎？ 13么盤上良費(fèi)時(shí)間，因妁

8、時(shí)間是ifi建生I占命的材料-心林5、分析：要證 AB+AO2AD由圖想到：AB+BD>ADAC+CD>AD所以有 AB+AC+BD+CD>AD+AD=2左邊比要證結(jié)論多BD+C D故不能直接證出此題，而 由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去圖A 2證朋=延£W至E, ftDAAD,連接BE, CE T皿為ABC的中護(hù)（已知）BD=CD （中線定義）在AACD和AEBD中SD = CD （己證）vi = zaC對(duì)頂?shù)巯嗟華D = ED （輔助線作法:. ACdA EBD（SAS BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在 ABE中有：A

9、B+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC>2AD6、分析：欲證AC=BF只需證AC BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含 有AC BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有AC BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩 條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線 段，所對(duì)的角相等即可。思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段 AC，使AC BF在三角形BFH中方法一：延長AD到H,使得DH=AD連結(jié)BH證明 ADCfA HDB全等，得 AC=BH通過證明/ H=/ BFH得到BF=BTc證明=

10、延長AD到H使得DH=AD,連接BH；D為BC中點(diǎn)/. DD-DC在Aadc和ahdb中AD = DR"DC 二乙BDHBD = CD ADCA HDB(SAS) AC=BH / H=/ HAC EA=EF/ HAE2 AFE又/ BFH玄 AFE BH=BF BF=AC方法二：過B點(diǎn)作BH平行AC,與AD的延長線相交于點(diǎn)H,證明 ADCffiA HDB全等即可。小結(jié)：對(duì)于含有中點(diǎn)的問題，通過“倍長中線”可以得到兩個(gè)全等三角形。而過一點(diǎn)作已知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全 等三角形的作用。思路二、以三角形BFD為基礎(chǔ)三角形。轉(zhuǎn)移線段 BF,使AC BF在兩個(gè)全等

11、三角形中方法三：延長FD至H,使得DH=FD連接HC證明 CDHffiA BDF全等即可。三、作平行線當(dāng)三角形問題中有相等的角或等腰等條件時(shí)，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一 個(gè)三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件.例7.如圖3,在等腰 ABC中，AB=AC ,在AB上截取BD ,在AC延長線上截取 CE, 且使CE=BD .連接DE交BC于F.求證：DF=EF .分析：要證 DF=EF，必須借助三角形全等而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形由等腰三角形條件，可知/ B= / ACB，作DH / AE，可得/ DHB= / ACB 則 DBH為等腰三角形. 證明：作DH /

12、AE交BC于H./ DHB= / ACB ,/ AB=AC , / B= / ACB/ DHB= / B , DH=BD/ CE=BD DH= CE又 DH / AE , / HDF= / E/ DFH= / EFC (對(duì)頂角) DFH EFC (AAS ) DF=EF四、補(bǔ)全圖形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段(邊)相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找 到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決.例8 .如圖4，在 ABC中，AC=BC , / C=90 ° , BD為/ ABC的平分線.若 A點(diǎn)到 直線BD的距離AD為a,求BE的長.分析：題設(shè)中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的

13、BE為斜邊要找到它們之間的關(guān)系，需設(shè)法構(gòu)造其他的全等三角形.證明：延長 AD、BC相交于F.由BD為/ ABC的平分線，BD丄AF .易證 ADBFDB FD= AD=a AF=2a / F=/ BAD又/ BAD+ / ABD=90 °，/ F+Z FAC=90 °/ ABD= / FAC/ BD 為Z ABC 的平分線 / ABD= / CBE Z FAC= / CBE，而 Z ECB= / ACF=90 ° , AC=BC ACF N BCE (ASA ) BE=AF=2a五、利用角的平分線對(duì)稱構(gòu)造全等角的平分線是角的對(duì)稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相

14、等的角，還有一條公 共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對(duì)稱構(gòu)造出全等 三角形是常用的證明方法 .例5 .如圖5,在四邊形 ABCD中，已知BD平分/ ABC , / A+ / C=180 ° .證明：AD=CD .BC 上截取 BE=BA，可構(gòu)造 ABD EBD，從而連接DE .分析：由角的平分線條件，在AD=DE .則只要證明 DE=CD .證明：在BC上截取BE=BA ,由 BD 平分/ ABC，易證 ABD EBD AD=DE / A= / BED又/ A+ / C=180 °，/ BED+ / DEC=180 ° / DEC=

15、 / C,. DE=CD AD=CD2、已知，如圖2, /仁/ 2, P為BN上一點(diǎn)，且PDLBC于點(diǎn)D, ABBC=2BD 求證：/ BAF+/ BCf=180°o證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)ffl 2E,如圖2-2ffl 2-2且PD丄EGPE = PD/.用AHP迎旦用占卩二 0S=BD弋A觸盼倔、.AB+3IXDa=BiyPS, AS+D(J=LfC=SE-AE=AE. 在嵐'APE與庇匹中，PE=PD"DCA且=DC全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：思維模式是1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題， 全等變換中的“對(duì)折”.構(gòu)造全等三角形，利2）遇到三角形的中線， 倍長中線，使延長線段與原中線長相等， 用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.利用的思維模式是3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線