圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線的解題技巧、常規(guī)七大題型:(1) 中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法(點差法):設(shè)曲線上兩點為(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關(guān)系及斜率公式(當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論)，消去四個參數(shù)。22如:(1)右b" 1(a b 0)與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點為M(xo，yo)，則有Xoab2k2(2)篤a21(a o,b o)與直線I相交于A B,設(shè)弦AB中點為M(xo,yo)則有 b2Xoabk 0(3)y2=2px( p>0)與直線 l相交于A、B設(shè)弦AB中點為M(xo,y 0),則有2yok=2p,即yok

2、=p.典型例題給定雙曲線X22yr 1。過A(2，"的直線與雙曲線交于兩點P1及P2，求線段P1 P2的中點P的軌跡方程。(2)焦點二角形問題橢圓或雙曲線上一點 P,與兩個焦點F1、F2構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題x2設(shè)P(x,y)為橢圓 a2yJ 1 上任一點，F(xiàn)i( c,o), F2(c,o)為焦點,bPF1F2PF2F1。(1)求證離心率esi n()sin sin求IPF113 PF? |3的最值。(3) 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判 別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應特別注

3、意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題 拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。(1) 求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2) 設(shè)直線與拋物線的交點為A、B,且OAL 0B求P關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達式。(4) 圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標函數(shù)(通常利用二次函 數(shù)，三角

4、函數(shù)，均值不等式)求最值。(1),可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不a的范圍；對于(2)首,即：“最值問題，函數(shù)思等式”或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 先要把 NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值想”最值問題的處理思路：1、建立目標函數(shù)。用坐標表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān) 鍵是由方程求x、y的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0),過M(a,0

5、 )且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B,|AB| < 2p(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交 x軸于點N,求 NAB面積的最大值。(5) 求曲線的方程問題1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在 x軸正半軸上。若點A( -1，0)和點B( 0，8)關(guān)于L的對稱點都在 C上，求直線L和拋物線C的方程。2.曲線的形狀未知求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點Q(2, 0)和圓C: x2+y2=1,動求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(>0),(6)

6、存在兩點關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。(當然也可以利用韋達定理并結(jié)合判別式來解決)X2典型例題 已知橢圓 C的方程一42y1，試確定 m的取值范圍，使得對于直線3y 4x m，橢圓C上有不同兩點關(guān)于直線對稱(7) 兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1 k2 1y1來處理或用向量的坐標X1 X2運算來處理。典型例題 已知直線l的斜率為k，且過點P( 2,0)，拋物線C:y24(x1)，直線I與拋物線C有兩個不同的交點(如圖)。(1) 求k的取值范圍；(2) 直線I的傾斜角 為何

7、值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面:在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。 下面舉例說明：(1)充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代 數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設(shè)直線3x 4y m0 與圓 x2 y2 x 2y0相交于P、Q兩點，0為坐標原點，若0P 0Q，求m的值。(2)充分利用韋達定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標而不求它， 點等

8、問題中常常用到。典型例題已知中心在原點 0,焦點在y軸上的橢圓與直線 y而是結(jié)合韋達定理求解,這種方法在有關(guān)斜率、中x 1相交于P、Q兩點,且OP OQ，| PQI 也，求此橢圓方程。2(3)充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點,因此也可以減少計算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓 C1： x22 2 2y 4x 2y 0和 C2: X y 2y 40 的交點，且圓心在直線 丨：2x 4y 10上的圓的方程。(4)充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 也是我們常說的三角代換法。余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題.這2典型例題P為橢圓篤a221上一動點，A為長

9、軸的右端點，B為短軸的上端點，求四b邊形OAPB面積的最大值及此時點 P的坐標。(5)線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程 ykx b代入圓錐曲線方程中，得到型如 ax2 bx c 0的方程,方程的兩根設(shè)為Xa , Xb，判別式為,則 |AB| Jl k2 |Xa XbI Ji|a|若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運算過程。例 求直線x y 10被橢圓2,2x 4y16所截得的線段 AB的長。結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運算由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結(jié)合圖形運用圓錐曲線在求過圓錐曲線焦點的弦長時, 的定義，可回避復

10、雜運算。例 片、F2是橢圓2x252J 1的兩個焦點，AB是經(jīng)過Fi的弦，若|AB| 8，求值9| F2A| IF2BI禾U用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離例 點A( 3, 2)為定點，點F是拋物線y2 4x的焦點，點P在拋物線y2 4x上移動，若|PA| |PF|取得最小值，求點 P的坐標。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備: 1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、般式。(2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率k tan ,0,點到直線的距離dAxo By。 CJ a2 b2夾角公式：tank2 k11 k2k1(3) 弦長公式直

11、線y kx b上兩點A(Xh yj, B(X2, y2)間的距離:ABJ1 k2X1 X2仁2"1 y27(1 k2)(Xi X2)2 4x1X2 或I AB(4) 兩條直線的位置關(guān)系 l1 l2k1k2=-1 l1 /l2k1k2且b1b22、圓錐曲線方程及性質(zhì) (1)、橢圓的方程的形式有幾種(三種形式)2 2標準方程：1(m 0, n 0且 mn)m n距離式方程： 7(xc)2y vcXc)2y 2a參數(shù)方程： x a cos , y bsin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種2 222標準方程： 1(m n 0)m n距離式方程：|y J(x c)2y2 |2a、三種圓錐曲線的

12、通徑你記得嗎橢圓：近；雙曲線：竺；拋物線：2paa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎2 2如：已知F1、F2是橢圓 乙1的兩個焦點,43平面內(nèi)一個動點M滿足MFi MF22則動點M的軌跡是(A雙曲線；B、雙曲線的一支；C兩條射線；D 條射線(5)、焦點三角形面積公式：P在橢圓上時，S fpf b2 tan_b2 cot2FiPF2P在雙曲線上時，Sfpf?(其中 F1PF2 COS |P F1|Pf常門岸?uur uujLr|PFill PF2ICOS)(6)記住焦半徑公式橢圓焦點在X軸上時為a exo；焦點在y軸上時為a ey。，可簡記為“左加右減，上加下減”。雙曲線焦點在X軸上時為e| X

13、o | a(3)拋物線焦點在X軸上時為|x1 | 2焦點在y軸上時為| y1 | -|(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎_第二、方法儲備1、點差法(中點弦問題)2J 1的弦AB中點則有32設(shè) Ax1,y1、B X2, y2，M a,b 為橢圓4X2乞21_1,4342 2 2 2X1X2y1y2043x1x2 x1x2y1 y2 y1 y_ 3akAB = 4b2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎經(jīng)典套路是什么如果有兩個參數(shù)怎么辦設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式 0 ,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點

14、 A(x, yj, B(X2, y2)，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后 -，整體消元,若有兩個字母未知數(shù)，貝y要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點,則可以利用三點A B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為y kx b，就意味著k存在。80上，且點ABC的方程;例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓4x2 5y2是橢圓短軸的一個端點(點 A在y軸正半軸上).(1)若三角形ABC勺重心是橢圓的右焦點，試求直線(2)若角A為90°, AD垂直BC于 D,試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐

15、標公式可求出中點 弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角 A為90°可得 出AB丄AC從而得XiX2 yiy2 14® y?) 16 0 ,然后利用聯(lián)立消兀法 及交軌法求出點D的軌跡方程;解：(1)設(shè) B ( xi, yi ) ,C( X2, y2 ),BC 中點為(x。, yo),F(2,O)貝S有0 (1)22 2 220 16'20 16兩式作差有(XiX2)(XiX2)20(y1 y2)(y1 y、0 xo yok1654F（2,0）為三角形重心，所以由X1X232，得 X0y。2，代入（1）得k直線BC的方程為6x 5y282)由 AB丄 AC

16、得 X1X2 y1 y14(yiy2)16 0(4Xiyi直線 BC 方程為 ykx b,代入 4x25y2805k2)x2 10bkx 5b280010kb5b2 80X2 4 5k2， X1X24 5k28k4b280k24 Ay2 K，y1y2代入（2）式得9b232b164 5k20,解得b 4（舍）或b直線過定點（0, 9），(x,y2 29y 9x 32 y16 0所以所求點D的軌跡方程是(y16)2(20)2(y 4)。4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形 ABCD中aB2cd|，點E分有向線段aC所成的比為，雙曲線過C D E三點，且以A B為焦點當I寸時, 求雙曲線離心率e的取

17、值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念2右1，求得h L ,進而求得XeL , yE2 2L,再代入rn汾1,建立目標函數(shù)和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建2 立直角坐標系xOy，如圖，若設(shè)C二h ,代入訂2a1,4f(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 ,此運算量可見是難上加難.我們對h可 米取設(shè)而不求的解題策略， 建立目標函數(shù)f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CDL y軸因為雙曲線經(jīng)過點 C D且以A B 為焦點，由雙曲線的對稱

18、性知 C D關(guān)于y軸對稱依題意，記A c,0 , C |,h , E X0, y。，其中 c | AB |為雙曲線的半焦距,h是梯形的高，由定比分點坐標公式得X0hy0廠2 2設(shè)雙曲線的方程為篤篤1,a b則離心率r1rr由點C E在雙曲線上，將點C E的坐標和e-代入雙曲線方程a1 b2由式得h2b24122 e132 e2e334專得，I 1解法二：建系同解法一,XeAEa exE , ACexC ,c1占，又AEAC廠'代入整理亠，由題e 1將式代入式，整理得2e_44由題設(shè)？3解得分析：考慮AE,AC為焦半徑,可用焦半徑公式，AE,AC用E,C的橫坐標表示，回避h的計算，達到設(shè)

19、而不求的解題策略.設(shè)I 3得，I 1 專解得e <10所以雙曲線的離心率的取值范圍為 47，質(zhì)5、判別式法例3已知雙曲線C工1，直線I過點AJ2o，斜率為k，當0 k 1 2 2時，雙曲線的上支上有且僅有一點 B到直線I的距離為72，試求k的 值及此時點B的坐標。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與I平行的直線，必 與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路:k(x 72)0 k 1直線I '在I的上方且到直線

20、I的距離為J2I': ykx (隸把直線I '的方程代入雙曲線方程， 消去y，令判別式0解得k的值解題過程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點 B到直線I的距離為屈”，相當于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計出如下解題思路:問題關(guān)于x的方程nrkx J2 X2 V2k牛k2 tH轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題I求解簡解：設(shè)點M(x*2 x2)為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線I的距離為:kx 2 x272kJk2 1于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 k 1，所以J2 x2kx,從而有kx 72 x272kkx J20,272

21、k2 0的二根同由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得于是關(guān)于x的方程kx J2 X2 忌 J2(k2 1) 2J _J2 x2(J2(k2 1) V2k kx)2,J2(k1) J2k kx 0, L. _2k2 1 x2 2kQ2(k2 1) 忌 X J2(k2 1)72k2J2(k21) V2k kx 0.由0 k 1可知:方程 k2 1x2 2kj2(k2 1) ©kx J2(k2 1)正，故J2(k2 1)血k kx 0恒成立，于是 等價于 2k2 1 x2 2k J2(k2 1) 72k XJ2(k2 1) V2k2 0.點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問

22、題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了 全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C：x2 2y2 8和點P (4，1)，過P作直線交橢圓于A B兩點，在線段AB上取點Q使空 乎，求動點Q的軌跡所在PB QB曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往 往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達, 最后通過消參可達到解題的目的.由于點Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將X, y與k聯(lián)系起來一方面利用點 Q在直 線AB上；另一方面就是運用題目條件：篇 詈來轉(zhuǎn)化.由A

23、B、P、Q四點共線，不難得到X8 (Xa4(Xa Xb) 2XaXb，要建立X與k的關(guān)系，只需 XB)將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到X f k之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參,目的不過是得到關(guān)于x,y的方程（不含k），則可由y k（x 4） 1解得k記，直接代入X f程。k即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過簡解：設(shè) A x-i, y1 , B(x2,y2），Q（X，y），則由 PlQB可得:4X2X1XX14x2 X4(Xi X2)2x1 x2解之得：X8 (X1

24、X2)設(shè)直線AB的方程為：y k（x 4）1，代入橢圓C的方程,消去y得出關(guān)于x的一元二次方程:2k21 X24k(1 4k)x 2(14k)2(2)xiX2XlX24k (4k 1)2k2 1 '22(14k)82k2 14k 3X k 2k(x 4)1聯(lián)立，消去k得:2xy 4 (x 4)0.在（2）中，由64k264k240，解得土2 （五，結(jié)合（3）4可求得 16 2価x9169故知點Q的軌跡方程為：2X y4 0( 16 2VTO x 16 210)9X9-點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難點在引出

25、參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參” 三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道6、求根公式法2例5設(shè)直線1過點P（0, 3）,和橢圓令2才1順次交于A B兩點,試求PI的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到:AP=z，但從此后卻一籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析1：從第一條想法入手，需已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由Xb于有兩個變量Xa,Xb，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用

26、第3個變量直線AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將Xa,Xb轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式，至毗為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出簡解仁當直線1垂直于x軸時可求得箔5；當I與x軸不垂直時，設(shè) Ax1，y1，B(X2, y2)，直線I的方程為:y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 450解之得X1,227k 6加259k24因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮k 0的情當k0時x27k 6j9k2527k 6j9k2 5c、2?x29k 42 , 9k 4所以APX19k 2Z9k25- =19k 2j9k2518k=PBX2

27、2 19k 2V9k25由54k)2 180 9k2(189 2F所以綜上分析40,解得 k2 -，9,181 1 F9 2J95；2AP 11 -PB 52:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定 k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于PI I不是關(guān)于X1，X2的對稱關(guān)系式.原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于Xi,X2的對稱關(guān)系式.簡解2:設(shè)直線I的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得2 29k 4 X5

28、4kx 450(* )Xi則XlX2254kX2 2,9k24Xi令乞，則，丄X2324 k2245k220在（* ）中，由判別式0,可得k245 9k24.1從而有20 y '所以1 2 36，解得55.結(jié)合0綜上,1得15APPB點評:范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法,變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等 .本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓練：數(shù)學

29、推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標,得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦,快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為A,B，O為橢圓中心,F為橢圓的右焦點,且 AF FB 1 , Of(I)求橢圓的標準方程;(n)記橢圓的上頂點為M ,直線I交橢圓于p,Q兩點，問：是否存在直線I，使點F恰為PQM的垂心若存在，求出直線I的方程；若 不存在，請說明理由。思維

30、流程:(I)uur uuu/ T、 uur ULUuur(I)由 AF?FB 1 , OF(a c)(a c) 1 , c 1寫出橢圓方程由F為PQM的重心* PQ MF,MP FQk PQ1消元(n)兩根之和， 兩根之積得出關(guān)于 m的方程UULT MPUULT? FQ 0>解出m_3x2 4mx 2m220Ey x mx 22 y 22解題過程:(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為2 y b21(ab 0),則 c 1又 AF FB 1 即(a c) (a c) a222故橢圓方程為Iy2 1(n)假設(shè)存在直線I交橢圓于P,Q兩點，且F恰為PQM的垂心,設(shè) P(Xi,yi),Q(X2, y2)

31、,于是設(shè)直線I M(0,1),F(1,0)，故 kpQ1 ,X m /曰2 23x 4mx 2m 20ULur uuuT MP FQ 0 x1(x21)又yXim(i1,2)2y22 得，得 x1(x2 1) (x2 m)(Xi m 1)22X1X2 (Xi x2)(m 1) mm 0由韋達定理得c 2m22 4m, 八 22 F 2(m 1) m解得m 4或m 1 (舍)3經(jīng)檢驗m害符合條件.點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩 向量乘積為零.例7、已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A( 2,0)、B(2,0)、C 1,-三點.2(I)求橢圓E的方程

32、:(n)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)( 1,0), H (1,0),當 DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求DFH內(nèi)心的坐標;思維流程:由橢圓經(jīng)過A、B、C三點設(shè)方程為mx2 ny21得到m,n的方程解出m,nV3DFH面積最大值為J31S DFH一周長r內(nèi)切圓r內(nèi)切圓32轉(zhuǎn)化為點D的縱坐標的絕對值最大最大D為橢圓短軸端點(n)由 DFH內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大得出D點坐標為0,3解題過程:(I)設(shè)橢圓方程為mx2 ny21m 0, nA( 2,0)、 B(2,0)、C(1,|)代入橢圓E的方程，得4m 1,9m 一 n41解得m和3. '橢圓E的方程手(n) |FH

33、 | 2 ,S DFH沁DFH邊上的高為Sdfh 1當點D在橢圓的上頂點時，h最大為73,所以設(shè) DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因為 DFH的周長為定值6.所以,Sdfh 扣6所以R的最大值為 弓.所以內(nèi)切圓圓心的坐標為(0,罟)點石成金:S的內(nèi)切圓已知定點2 的周長 r的內(nèi)切圓C( 1,0)及橢圓x2 3y2 5 ,過點c的動直線與橢圓相交于A,B兩點.(I)若線段ab中點的橫坐標是 1，求直線ab的方程；(n)在x軸上是否存在點M ,使MA mb為常數(shù)若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.思維流程:y k(x 1),(I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為將 y k(x

34、 1)代入 X2 3y2 5 ,消去y整理得(3k21)x2 6k2x3k2 5 0.設(shè) A(xi, yj, B(X2, y2),36k4 4(3k2 1)(3k2 5) 則6k2x X2泰T0,(1)X2由線段ab中點的橫坐標是3k23k21k 呢，符合題意。3所以直線ab的方程為x 73y 1或 x 73y0.(n)解：假設(shè)在x軸上存在點M (m,0)，使MA MB為常數(shù). 當直線ab與 x軸不垂直時，由 (XiX26k23k2 13k253k2 1所以 mA mb(Xim)(X2 m) ym(為 m)(X2 m) k2(Xi 1)區(qū) 1)(k2 1)XiX2 (k2 m)(xi X2)

35、k2 m2.將代入，整理得1214uur uur(6m 1)k252(2m 3)(3k20 2m等m2MA MB(6m 嚴5m23233k2 13k2 1m2 2m 1衛(wèi)打竺33(3k21)注意到MA MB是與k無關(guān)的常數(shù)， 從而有6m 14 0, m -,此時3uur uLur 4MA MB9當直線AB與x軸垂直時，此時點A, B的坐標分別為1咅，當m I時,、 uur uur 4 亦有MA MB -9綜上，在x軸上存在定點M，使MA MB為常數(shù).點石成金:MA MB(6m雲(yún)3k2 11214(2m-)(3k21) 2m-?373m3k2 1m22m 空半33(3k21)例9、已知橢圓的中心

36、在原點,焦點在 x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2,1),平行于0M的直線I在y軸上的截距為 (mr0),I交橢圓于A B兩個不同點。(I)求橢圓的方程;(n)求m的取值范圍;(皿)求證直線MA MB與 x軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程:2令 1(a b 0)2解：(1)設(shè)橢圓方程為務aa 2b28則41解得a?TT 1 b22a b2二橢圓方程為-82y- 12（n）v直線I平行于OM且在y軸上的截距為m又 KOmf!21 -x22 y2i的方程為:1-x m2y由2X"822mx 2m 4 0直橢圓交于A、兩個不同點，(2m)24(2m2解得 2 m 2,且m4)00

37、,（皿）設(shè)直線MAMB的斜率分別為ki,k2,只需證明ki+k2=0即X22m, XiX2 2m2 4則kiyii,k2y21Xi2X22由X22mx2m240可得XiX22m,xix22m2 4'而k1,yi iy21 (丨而kik2xi22X2(yxim1)(X22)(7X2設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，且xim i)(xi 2)(yi i) (X22) (y2 i)(xi 2)(Xi 2)(X22)(Xi 2)(X22)2m24 (m 2)( 2m) 4(m1)(Xi 2)(X22)2m224 2m 4m 4m 4n(Xi2)(X2 2)0(Xi 2)(X2 2)

38、xix2 (m 2)(xi x2) 4(m i)kik20故直線MA MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.k1 k202例10、已知雙曲線冷a點石成金：直線MA MB與x軸始終圍成一個等腰三角形爲1的離心率e 迺，過A(a,0), B(0, b)的直b3線到原點的距離是普(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線ykx 5(k0)交雙曲線于不同的點C,以B為圓心的圓上,求k的值.思維流程:原點到直線AB:3，丄1的距離bab拓2 b21, a73.abc故所求雙曲線方程為y2(2 ) 把y kx 5代入3y23中消去整理得2 2(1 3k )x 30kx 780.設(shè)C(xi，yi), D(X2, y2),CD 的中點是E(xo, yo),則X0k BEX1 X22y。1x15 ky1k .kx 053k 2X0 ky00,0,又k0, k 25k1 3k 2故所求k=± J7.點石成金：C, D都在以b為圓心的圓上bc=bd be±cd；例11、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在 x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(I)求橢圓C的標準