圓中的分類討論習題集

1、細說圓中的分類討論題之兩解情況錢漪，有許多問題需要分，這就例1、點P是圓0所在平面上一定點，點 P到圓上的最大距離和最短距離分別為8由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉(zhuǎn)不變性 類討論，分類討論是一種同學們應(yīng)該掌握并且相當重要的數(shù)學思想，對于鍛煉同學們的縝 密思維和分析問題能力異常的重要，但同學們在遇到分類討論題時易出現(xiàn)漏解情況 要求同學們在解題時一要讀懂題意，明白題干的要求，二要有順序步驟的做。先從幾個 方面舉例說明如下： 一、根據(jù)點與圓的位置分類和2,則該圓的半徑為分析：根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，這個點P與圓有兩種位置關(guān)系。分為點在圓內(nèi)和點在圓外兩種情況。解：過點P和圓心0作直線分

2、別與圓0相交于A、B兩點。PA、PB分別表示圓上各點到點 P的最長距離和最短距離。B(1 )當點P在圓內(nèi)時;(2)當點P在圓外時；所以，圓0的直徑為2或6 OP二、三角形與圓心的位置關(guān)系例2 :已知內(nèi)接于圓，則 的度數(shù)為分析：因點A的位置不確定。所以點 A和圓心0可能在BC的同側(cè)，也可能在 BC的異側(cè)。也可分析為圓心在的內(nèi)部和外部兩種情況。解:(1 )當點A和圓心0在BC的同側(cè)時，如圖3，(2)當點A和圓心0在BC的異側(cè)時，如圖所以的度數(shù)是練習:已知圓內(nèi)接中，AB=AC，圓心BC的距離為3cm，圓的半徑為6cm,求腰長AB。(兩種情況如圖 5、圖6)CC三、角與圓心的位置關(guān)系例3:在半徑為1的

3、O 0中，弦AB、AC的長分別為和 ，則/BAC的度數(shù)是分析：角與圓心的位置關(guān)系為圓心在角內(nèi)部和外部兩種情況。解：如圖7,當圓心在/ BAC內(nèi)部時，連接 AO并延長交O O于在Rt ABE中，由勾股定理得:，所以/BAE = 30同理，在 Rt ZCAE 中，EC= AC,C所以/ EAC = 45當圓心 0在/BAC的外部時（/ BAC'），由軸對稱性可知:所以/ BAC為75或15四、圓中兩平行弦與圓心的位置關(guān)系，求AB和CD的例 4.圓 0 的直徑為 10cm，弦 AB/CD , AB=6cm ,距離。分析：題中的弦AB、CD都比圓0中的直徑小，所以AB和CD可能在圓心的同側(cè),所

4、以AB和CD的距離為1cm和7cm。五、圓與圓的位置關(guān)系例5、已知圓 和圓 相內(nèi)切，圓心距為，圓 半徑為，求圓 的半徑。但該題的條件中分析：根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點： 圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。沒有給定誰是大圓，誰是小圓。這時可把圓看成大圓，也可把圓看成小圓。減去圓心距1cm，解：(1)當圓是大圓時，則圓的半徑等于大圓半徑 4cm求得圓的半徑為3cm。(2)當圓是小圓時，則圓的半徑等于小圓半徑 4cm加上圓心距1cm，求得圓的半徑為5cm 。所以圓的半徑是3cm或5cm 。例6、兩圓相切，半徑分別為 4cm和6cm，求兩圓的圓心距分析：此題中的兩圓相切沒有說明是內(nèi)切還是外切，所以應(yīng)該分兩種情

5、況考慮。解：(1 )當兩圓內(nèi)切時，兩圓心的距離等于大圓半徑減去小圓半徑,(2)當兩圓外切時，兩圓心的距離等于大圓半徑加上小圓半徑,所以兩圓的圓心距是 2cm或10cm 。則兩圓的圓心距等于例7、相交兩圓半徑分別為5 cm和4cm ，公共弦長 6cm，分析：注意兩圓心在公共弦長兩側(cè)和同側(cè)兩種情況補充:1、弦所對弧的優(yōu)劣情況不確定已知橫截面直徑為100cm 的圓形下水道，如果水面寬AB為80cm，求下水道中水的最大深度。20cm 或 80cm2、已知圓 和圓相內(nèi)切，圓心距為，圓 半徑為，求圓 的半徑。分析：根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點： 圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。但該題的條件中沒有給定誰是大圓，誰是

6、小圓。這時可把圓看成大圓，也可把圓看成小圓。減去圓心距1cm，解：（1）當圓是大圓時，則圓的半徑等于大圓半徑 4cm求得圓的半徑為3cm。(2)當圓是小圓時，則圓的半徑等于小圓半徑 4cm加上圓心距1cm，求得圓的半徑為5cm o所以圓的半徑是3cm或5cm。3、相交兩圓的半徑分別為8和5，公共弦為8，這兩個圓的圓心距等于分析：因兩圓的半徑都大于公共弦長的一半，所以兩圓的圓心可能在公共弦的同側(cè), 也可能在公共弦的異側(cè)。O解：(1)當兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時，如圖6，設(shè)AB是公共弦,交AB于點C,則，由勾股定理解得，故(2)當兩圓的圓心在公共弦的異側(cè)時，如圖可求得。故A、所以這兩圓的圓心距為4

7、、如圖8，在平面直角坐標系中,P是經(jīng)過O（ 0，0），A（ 0，2），B（ 2，0）的圓上的一個動點（重合），則/ OAB =度，/ OPB =度。4尤兒A解：依題意可知 AOB是等腰直角三角形，所以/ OAB=45當動點P在上時，/ OPB = /OAB = 45當動點P在上時，/ OPB = 180 ° -45。勻 35故/OPB為45或 135 ° O5、已知半徑為的兩圓相交，公共弦長為4，則兩圓的圓心距為分析：相交兩圓圓心的位置有在公共弦的同側(cè)和異側(cè)兩種情況。解：如圖9、圖10,中,中,10,(1)當圓心如圖9(2)當圓心6、已知在直徑ABAD的長.在公共弦AB的同

8、側(cè)時,在公共弦AB的異側(cè)時，如圖圖10為13的半圓上有一點 C，CD丄AB,垂足為 D，且CD = 6,求13分析：由于6 < 7，即1CD < 2 AB，所以點D在直徑上的位置有兩種情況:解：(1 )如圖3，當點D和點A在圓心 0的同旁時(AD < BD).在 Rt COD 中，OD = CD13 225()6 一，貝U AD = OA OD = 4 ;2 2B圖45+ - = 9.2513同理可求OD = 2,則AD=AO + OD盲故所求的AD的長為4或9.點評：圖形的位置關(guān)系是幾何研究的重要方面,應(yīng)考慮到圖形所有可能情況，全面性地思考問題.如：本例中，由于圓的軸對稱性，相同長度的弦位置往往不止一個.本題可以拓展到整圓：已知：O O的半徑為5 , AB為直徑，弦CD丄AB , CD=6 ,貝y AE= (1 或 9)7、如圖,在平面直角坐標系中，已知O C的半徑為r,直線I: y= -X-4 ,與x軸、y軸分別交于3A、B兩點.(1 )當r=1.5時，將O C從點C與坐標原點重合開始,沿y軸向下運動，當O C與直線I相切時，點C移動的距離是6.5或1.5r = 2.4 或 3< r