外接球與內(nèi)切球解題方法

1、空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一，有關(guān)定義1”球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球aZ外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.工內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面 體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1”性質(zhì):過球心的平面載球面所得圓罡大圓，大圓的半徑與球的半徑相等;性質(zhì)宀經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得園是大 圓;性質(zhì)3:過球心與小圓圓心的直線垂直干小圓所在的平面（類比：圖的垂徑定理）;性

2、質(zhì)牡球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)®的圓心:性庚5,在同一球中，過兩相交圓的®心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）.2”結(jié)論*結(jié)論I:長方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長方體的體對(duì)角線的中 點(diǎn)是球心;結(jié)論耳若由長方體切得的冬面體的所有頂點(diǎn)是原悵方體的頂點(diǎn)，則所得多面體 與原長方體的外接球相同;結(jié)論3,長方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接形的外接圓是大圓;結(jié)論4：結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑,結(jié)論®直棱柱的外接球與該棱柱外接

3、圓柱體有相同的外接球;圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上;的直徑;結(jié)論9：側(cè)按相等的橈錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3終極利器！勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求線段長度）;三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與芳法L若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直。（與直線切圓的結(jié)論有一致性）N內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等*外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均 相等.類比；與多邊形的內(nèi)切圓）3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合4.正橈錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，怛不一定重合.構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理;(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法(等體積法).方法：找三條兩兩垂直的線

4、段，直接用公式(2幻2二。'+護(hù)+才，即2R = Vu'+A'+c-,求出 k例1(1)已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4*體積為16,則這個(gè)球的«面積是(C )A. 16打B.20 更C.24;rD.32;r解,r = £z-/j = 16, a = 2 .+ 4 += A' = 24.t , ffiCs(2)若三樟錐的三個(gè)側(cè)面兩兩爭(zhēng)盲，目側(cè)樓長均為屈、則其外接球的表面積是解：4/f-=3 + 5 + 3 = 9,、=4秋7=9肚；衽正三棱錐S-AHC中，血 屮分別星檯S仁處,的中點(diǎn)，且月"丄AA',若側(cè)棣如2忑,

5、則正三棱錐£-肋外接球的表面積是J6;rSC解：引理：正三棱錐的對(duì)«互相垂直，證明如下：如圖小取初/的中點(diǎn)"，心連接（幾必交于丹，連接価，則H是底面正三角形AfiC的中心,/. SH丄平面ABC, A,ST/丄，初，V AC = BC, AD=BD, .CD1AB, :. Afi 丄平面 MF,AB丄同理：丄冊(cè)，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直,本題圖如圖衛(wèi),V丄MN , 5/i " MV ,:.九“丄 57J . V AC 丄 $" , /. SB L 平面 SAC ,二勸丄彭，丄 5匸，/ SB 丄 91, iiC LSA,.W 丄平面 SBC, :

6、.SAL SC,£CU)H 2 (解答 Em故三棱推S-A/iC的三棱條側(cè)撥兩兩互相垂直,二(2罰上二(173)- + (2 Jjy + (2 JJ尸=36 ,即 4疋=36 *二正三摟錐S-彳風(fēng)外接球的表面積是M/r.(4)在四面體 N-AM' 中.鹽丄 TfflfM口 ZHAC = 12OM = A('= 2,A/i =,則該四面體的外接球的表面積為（D）10八 4033解：在 A沖7?中，/¥C- = JC- +- 2/ffl /?r CM 120' = 7 , RC = f、鮎J?的/UMR"外接球直徑為"*如41 141

7、二（2胖二27丫 +、才二（學(xué)r + 4二一，X二凹二 選 Dv3J34. 3,那么它的外（5）如果三樓錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直它們的面積分別為&、接球的表面積是, 解：由已知得三條側(cè)橈兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)核長分別為ghfg&zRf 則口& = 12« 屜=S J if/c = 24 f /.= 3 f /f = 4 f c = 2 f (2疋)'=燈'+由'+ f' = 29 *ue = 6S - 4冰'=29打，（白）已知菓幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為I的等腰直角三角形和邊長=迴r為1的正方形，則該幾何體外接球的

8、體積為解：(2/f) = fr + A- = 3 , R- = , ii4%戒廠巫=遲“ 理 33 S 2第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為亦心An =類型二，對(duì)梭相尊模型（補(bǔ)形為長方體） 題設(shè)：三«錐（即四面體沖.已知三組對(duì)樓分別«等求外接眛半徑（初=幾AJ) = BC, AC = BI)來源：簡(jiǎn)單高中±OD:jiandanlOOcn 第一步：畫出一個(gè)悵方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱;Afi = (7> = y A(' = z ,列方程組、J =x'-y = V n (2R z -n- +fr- + t? = 2 22 TV +a =:補(bǔ)充

9、：圖 2J 中、F問=abc jhd = abe . 63斗P匚宀亡產(chǎn)紀(jì)斗亡4,求岀思考：如何求棱長為M的正四面體怎積，如何求其外接球體積?例2(1)如下圖所示三棱錐占n,其中理* =上*D =則該三棱錐外接球的表面積為 解：對(duì)橈相等.補(bǔ)形為長方體，如圖2-1,設(shè)長寬高分別為口上、_2(a + A" 4-c) = 25 + 36 + 49 = I 10 ,十+ />' +云= 55, 4H'=55, S = 55?rJ>(2) 在三棱A-HCf)中，Aii = Ct) = 2 , An = fiC = , AC = fii)4，則三棱錐A-itCD外接球的

10、表面積為29,用2解！如圖21,設(shè)補(bǔ)形為也方體，三個(gè)&度為三對(duì)面的對(duì)角線故，設(shè)也寬高分別 為仏収S則Lf + Z?" = 9 ,u' =162(/+/>' + 亡2) = 9 + 4 + 16二292口左 + 尸 + 亡)=9 + 4十16 = 29 ,八卄宀冬4宀蘭，."2 2 2正四面體的各條棱長都為近則該疋面體外接球的體積為解：正四面體對(duì)樓相等的模式，放入正方體中，r=£（4）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三甬形（正四面體的«面）的面積是（4）題解粹圖解:如解答圖，將

11、正四面體放入正方體中，截面為面積是血.題設(shè)：如圖:圖類型三.漢堡模型（直梭柱的外接球，圓柱的外接球）圖口值三梭柱內(nèi)接于球（同時(shí)直梭柱也內(nèi)接于圓柱W棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：確定球心0的位置"q是zu/f的外心，則oq丄平面肋； 第二步：算出小圓q的半徑AO, = r , W, =-AA, -hAA, =h也星圓柱的高； 第三步：勾股定理：加三口屮+卯尸二/ M (少+廠二/?言02卡幾解出 例3(1)-個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)»垂直于底面，已知iS六棱柱的頂Q點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為？，底面周長為3,則這個(gè)球的體積8賂設(shè)正六邊形邊長為正

12、六雌的高為占，底面外接圓的半徑為則“亍 正為梗柱的底面積為i孚y 晳嚴(yán)“屮4心氐 也可心=(爭(zhēng) +申十 /e=i,球的體積為r=y直三橈柱ABC -人巧的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AH = AC = AA = 2 .HAC =,則此球的表面積等于2 /VS = 20肚；解；BC - 2-7? , 2a = = 4 , r = 2 , R =、sin I2(r(3) 已知所在的平面與矩形A /id)所在的平面互相垂直 i EA = EH 二3, Af) = 2,- 6(/ »則多面體E-ABCh的外接球的表面積.16用if解：折疊型E法:NEAR的外接圓半徑為f二氐 06, = 11 A

13、二= 2 ;Ifl法二：q/=上§ » F、= 0、D =也、=+H = 4 R = 2 *= I b;r s2244*法三！補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過算圓柱的軸截面的對(duì)角線長來求球的直徑：(2尺卩=(2朽尸十，=1右5 = I6;r ;在直三棱柱ABC-A,By,中，-/i = 4,C = 6,J = -,Z4=4 ,則直三棱柱 3月處'-的XG的外接球的表面積為罟療解:法:= 16 + 36 2 - 4 - 6 = 28 , fiU = 2護(hù),2r =、r =,2V3 v3 V 3T233 托 3法二：求圓柱

14、的軸裁面的對(duì)角線長得球直徑，此略-類型四.切瓜模型(兩個(gè)大小®面互相垂直且交于小圓直徑一正弦定理求大圓直徑星通法U.m4-21如圖弘匚平面陽丄平面玖且血?丄/?門即川為小圓的直徑h且嚴(yán)的射影是A4加的外心O三棱錐P-AfiCffi三條惻棱相等Q三棱尸-刖的底面 九4骯在圓錐的底上，頂點(diǎn)戶點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟;第一步：確定球心。的位置，取M/tc的外心q,則pg三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓0的半徑A< = r .再算出棱錐的高Pq =趴也是圓錐的高);第三步：勾股定理："屮二C+qfXnRJ(A-町+宀 解出R;事實(shí)上，4血屮的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求

15、解岀疋一Z如圖丄2,平面PAC丄平面AHC ,且/IB丄HC (HP AC為/卜圓的直徑,且丄AC,則利用勾股定理求棱錐的外接球半徑：= /<4» + （2尸）=O 2R 二M +a：卡用=廠2O H 二 工如圖43 平面PACL平面AHC,且曲丄府(即X為小圓的直徑)4題設(shè)：如1|44,平面丄平面AHC ,且AH 1 fiC (即才為小圓的直徑) 第一步：易知球心門必是的外心 即ATM的外接圓是大圓，先求出小圓 的直徑AC = 2r；來源：簡(jiǎn)單高中生(DRandan 100伽)第二步：在中，可根據(jù)正弦定理= - = 2/e.求出乩SL11A Sin/ sin (例4正四

16、74;錐的頂點(diǎn)都衽同一球面上，若該棱錐的高為I,底面邊長為27?.則該球的表面積為 解；法一；由正弦定理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯(lián)合勾股定理,2怡二7,二斗；eK'=4勺；T ；(2) 正四棱錐X三川心 的底面邊低和各側(cè)棱詮都為d ,各頂點(diǎn)都在同一球面上,則此球體積為 解:方法一；找球心的位置，易SEflrl , /r = ,/t = r,故球心在正方形的中心A/iC/)4jr處，fi = , r=y方法二:大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是SAC的外接圓，此處特殊、皿M 的斜邊是球半徑，212* /e-l> F=#（3）個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為I的球面上，其中底

17、面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積量（u4】2解高m、底面外按圓的半徑為/?-!,直徑為2用2,設(shè)底面邊長為7, 2R = sin 60鳥=爲(wèi)* $=亙宀巫、三棱錐的體積44（4）在三棱錐P-A/iU中，PA = P=吆=氐測(cè)樓陽與底面川"所成的角為60-,則該三棱錐外接球的體積為（C4.TD空3*?：選D,由線面甬的知識(shí)，得me的頂點(diǎn)AJkC在以¥為半徑的圓上,在圓錐中求解，/?=!;已知三梭錐的所有頂點(diǎn)都在球“的求面上上川颱是邊長為I的正三3解：q =角形,W為球門的直徑但心2、則此棱錐的體積為（）A品，価“1亠1 73人広 721 fl = , r ,

18、4. = = * =3333 斗 36類型五.垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1.題設(shè)；如圖5, 7M1平面ABC,求外接球半徑.解題步驟;第一步：將AJ目畫在小®面上:彳為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑彳6連接円打則PD必過球心第二歩：(片為山"的外心所以(心丄平面AiiC .算出小圓q的半徑q,進(jìn)隼形的外接圓直徑算法用用正弦定圉得壯=島.盍二小第三步：利用勾膛定理求三棱錐的外接球半徑：©12/；/ = PA + (2r)'Jf'.護(hù)+ (2尸；用三/，+ 0() O尺一護(hù)+ 00： 一2題設(shè)：如圖51至58這七個(gè)圖形，尸的射影是AJ府的外心

19、O三棱錐戶一曲的三條側(cè)棱相等O三棱錐P-MC的底面41處在圓錐的底上*頂點(diǎn)廠點(diǎn)也是圓誰的頂點(diǎn)第一步：確定球心"的位聲 取A4陽的外心q,則尸cq三點(diǎn)共線;第二步：先算出小圓q的半徑AO,= F,再算出棱錐的高M(jìn)嚴(yán)h （也是E錐的高h(yuǎn) 第三步！勾股定理二"/'+0"=尺=（舟-旳'十宀 解岀用 方法二！小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦罡理求大圓直徑得球的直徑.例,一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）CD”以上都不對(duì)OWWffl法一：勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上,睿I i好+=尺,尺=丁, = 4秋2=丁金v3

20、3法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形曲的外接圓是大匾于是2R二為令訶類型六、折fi模型第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將八肌門畫在小圓上，找出Mid）和A/T刮） 的外心肝|和比;第二步i過訊和分別作平面/?和平面月力”的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球 心0,連接0E,0C ； 第三步；解AOT/.,算出在RZK'Ht中，勾股定理：0胃 -OL 注：易知。比,£円2四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略”例6（1）三橈錐戶-曲中（平面丄平面ARJ A PAC和初均為邊長為2的正三甬形，則三棱錐P-AHC外接球的半徑為2421解：如虱2q4嚴(yán)麗廠百 L產(chǎn)萬*

21、 3=7?2'3333法二：弘r Z衽直角梯形 Afi(i)中，AH/fCn, Z=W» Z= 4廠 M = /f” = ,沿對(duì)角線折成四面體使平面才月"丄平面fici),若四面體A-fiCf)的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為斗TT解：如圖，易知球心在肚的中點(diǎn)處，片二祝;在四面體S-AHC中，初丄艮、二面角的余弦 值為-半，則四面iS-ABC的外接球表面積為jC解：如圖 1 法一：cosZSOB 二彳a 十蘭)二1,或52% Z叫普* Ri = I + 丄=,$ = 4戒2=6岸；2 2法二:延長甘q到Q使pq三由余弦定理得=, S7J = V2 ,大圓(4

22、) 在邊長為2的菱形A肚門中，m初丸，滔對(duì)角線晰折成二面角A-fif)-C為I2(r的四面體AfiH),則此四面體的外接球表面積為#?；如圖，取*D的中點(diǎn)M,和ACfiD的外接圓半徑為/;=口 = 2, MRD 和A（加的外心到弦肋的距離（弦心距）為/ =心=1, 法一：四邊形 gg 的外接圓直徑0 A/ = 2 . Rm護(hù)，25 ；法二：()0, = 75, R =萬;法三：作出 MD的外接圓直徑（兀則= XC£ = 4, AYA =1 ,cos ZAEC = -2 V7-42V7(5) 在四IStS Ai( /)中，Z7#m = 12O ZBJX' = 15O Af) =

23、 /t/) = 2, Ci) = 7?,bl角A-Hf）-C的平面角的大小為12（r,則此四面體的外接球的體積為1=1解：如圖.過兩小圓圓心件相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心AIS = 2 昭 1 4 = 2 ,弦距 0曲二忑 fiC = 4, r, = Vb ,弦 距 二 23 ,；S: A R- = ()0-=腫 + OM- = 29 ,尺=殛、二="嚴(yán)法二:OO：二OXf -OjA廠=25 ,二疋=OD- = £ + ()()1 =29 , R =何,” _116何用球=- 類型七，兩直角三角形拼接奩一起（斜邊相同¥也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三 樓錐）模型題

24、設(shè)；如圖人 厶牡咁三厶（爭(zhēng)=9求三棱錐肋外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)S 連接,則（M=（）ii=（?c=>r=-A/, ：.o為三棱錐 2P-ABCV接球球心，然后在O尸中求岀半徑h當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得 三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不星平角球半徑都為定值.例7（1）在拒形ABCI）中，AB = 4, /#C = 3,沿0?將矩形AifCD折成一個(gè)直二面角R-AC-/）,則四面體A/iCn的外接球的體積為（.125口 125廣 125_ 125A”TTB.打C.農(nóng)D,TT12963解：)2R = AC = 5 . R = -, 叔=4空=空,選C23386衽矩形初門

25、中，曲二2, JSr = 3,沿血將矩形曲0折貧連接.4C,所得三棱錐A-ficn的外接球的面積為解；用）的中點(diǎn)是球心（人2R二RDm 吊、£ = 4；7/?'=J3;r.類型八，錐體的內(nèi)切球何S1.題設(shè)：如圖三棱正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，比H分別是兩個(gè)三角形的外心;第二熾求/)H=-Bn , g = PH-r、 PD是側(cè)面肋的高i第三步:由AK出相1以干建立等式： ro77)解出/2.題設(shè)：如圖 Z 四棱錐椒' 是正四棱錐、求其內(nèi)切球的半徑C第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,f(H三點(diǎn)共線;第二步；求FH =-刖，= /W-r. PA是側(cè)

26、面AT“的 2咼；第三步：由A/VX；相似于M'FH、建立等式！ 竺-竽 H卜 Ph解出*題設(shè)：三按錐尸-A賦是任意三按錐，求基的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一涉：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為尸，建立等式：F-AJtC O-.1BC +OTrUJ + O-PAC 十n卩 F-一皿 亍'丄価"4亍'pM "尸 + 亍尸"亍"pJfL F = T("也換 + 'hPAS + “FA 匸 4 'aBc'* FAJK 十打 FA& + fJt + 吸例長為B的正四面體的內(nèi)切球表面積是解：設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r將正四面體放入棱長為令的正方體中（即補(bǔ)形為正方體h如圖，則Jr弓際訃?yán)诙?又T r=4丄=4丄.返/丁=/尸,F 3343竿保"丘，"切球的表面積為片=4時(shí)'=蘭-（注：還有別的方法¥此賂）6（卻正四的底面邊長為2,側(cè)橈長為3,則其內(nèi)切球的半徑為.771 + 22解：如圖，正四棱推的高"萬，正四棱錐的體積為側(cè)面斜高/?嚴(yán)275 ,正四棱錐A - M的表面積為片= 4