蘇科版9上課件教案分享

1、第一章 圖形與證明（二）1.3.4以正方形為載體的中考試題 班級(jí)_姓名_正方形是一種特殊的四邊形，它集平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)于一身，優(yōu)美漂亮，是中考的熱點(diǎn),與它有關(guān)的中考題經(jīng)常出現(xiàn). 正方形是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)內(nèi)容，縱觀近幾年全國各地中考試題，可以發(fā)現(xiàn)諸多以正方形為載體，結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)的優(yōu)秀試題，格調(diào)清新、構(gòu)思巧妙，較好的考察了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、學(xué)習(xí)能力和思維水平.方法遷移類：1. (11 濟(jì)寧)數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖1，正方形ABCD的邊長為，P為邊BC延長線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N.當(dāng)CP6時(shí)，EM與EN的比值是多

2、少？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，AB分別于F，G，如圖2，則可得：，因?yàn)镈EEP，所以DFFC.可求出EF和EG的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值. (1) 請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了DPMN的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.圖1 圖2 2. (11 永州)探究問題：方法感悟：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足EAF=45，連接EF，求證DE+BF=EF感悟解題方法，并完成下列填空：將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到ABG，此時(shí)AB與

3、AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，1=2，ABG=D=90，圖ABG+ABF=90+90=180，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上EAF=45 2+3=BADEAF=9045=451=2， 1+3=45即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF 方法遷移：如圖，將沿斜邊翻折得到ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，圖且EAF=DAB試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想問題拓展：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn)，滿足EAF=DAB，試猜想當(dāng)B與D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF請(qǐng)直接寫出你的猜想

4、（不必說明理由）圖圖13. (10 紹興) (1) 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE、BF交于點(diǎn)O，AOF90.求證：BECF.圖2(2) 如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、H、F、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，F(xiàn)OH90， EF4.求GH的長.(3) 已知點(diǎn)E、H、F,、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，F(xiàn)OH90，EF4. 直接寫出下列兩題的答案：如圖3，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長； 如圖4，矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).圖4圖34.(10

5、無錫)（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是DCP的平分線上一點(diǎn)若AMN=90，求證：AM=MN下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面請(qǐng)你完成余下的證明過程）（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)AMN=60時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說明理由（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正

6、邊形ABCDX”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)AMN=時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立（直接寫出答案，不需要證明）類似題型(10 黃岡)如圖，一個(gè)含45的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點(diǎn)作EFAE交DCE的角平分線于F點(diǎn)，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.5. (11 舟山)以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3

7、，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=（090）， 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由 圖2圖3 圖16(11 鹽城)情境觀察將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到ABC和ACD，如圖1所示.將ACD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A)、B在同一條直線上，如圖2所示觀察圖2可知：與BC相等的線段是 ，CAC= 圖1 圖2問題探究如圖3，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與

8、FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 拓展延伸如圖4，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖4結(jié)論探究類：1(11 臨沂)如圖1，獎(jiǎng)三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長線于點(diǎn)G（1）求證：EFEG；（2）如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；圖1

9、圖2 圖3（3）如圖3，將（2）中的“ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若ABa，BCb，求的值 2(10 三明)正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFDC于點(diǎn)F，如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF （1）如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上（不與A、O重合0，PEPB且PE交CD點(diǎn)E 求證：DF=EF；寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系式，并證明你的結(jié)論； （2）若點(diǎn)P在線段CA的延長線上，PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E請(qǐng)完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論、是否成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）

10、3(11 濰坊)已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F.（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長線上時(shí)，求PEPF的值. 4（2010湖南衡陽）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上移動(dòng)，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E、F移動(dòng)過程中：（1）EAF的大小是否有變化？請(qǐng)說明理由（2）ECF的周長是否有變化？請(qǐng)說明理由5如圖1，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，四邊形DEFG為ABC的內(nèi)接正方形，若設(shè)正方形的

11、邊長為x，容易算出x的長為探究與計(jì)算：（1）如圖2，若三角形內(nèi)有并排的兩個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，則正方形的邊長為 ；（2）如圖3，若三角形內(nèi)有并排的三個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，則正方形的邊長為 猜想與證明：如圖4，若三角形內(nèi)有并排的n個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，請(qǐng)你猜想正方形的邊長是多少？并對(duì)你的猜想進(jìn)行證明圖1ABCDEFG圖2ABC圖3ABCGGFFDDEE圖4ABCGFDE6操作：將一把三角尺放在邊長為4的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距

12、離為xABCDPQE（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，PCQ是否可能成為等腰三角形?如果可能，指出所有可能的情況，并求出相應(yīng)的x的值.旋轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)類：1. (10 寧德)如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；EA DB CNM當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長.2.( 11 南通) 已知：如圖1，O

13、為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF2OA，OE2OD，連結(jié)EF，將FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到（如圖2）.（1） 探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2） 當(dāng)30時(shí)，求證：AOE為直角三角形.3.(11 泰州)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限（1）當(dāng)BAO=45時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在AOB的平分線上；（3）設(shè)點(diǎn)P

14、到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由4.(10 常德)如圖10，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AGCE.（1）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖11的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖12的位置時(shí)，延長CE交AG于H，交AD于M. 求證：AGCH；BACDEFGH 圖12ABCDEFG圖11當(dāng)AD=4，DG=時(shí)，求CH的長.ABCDEFG圖10M5.操作：如圖，已知正方形ABCD與CEFG的邊長分別為a、b（ab），連結(jié)DE、AF固定正方形ABCD，將正方形CEFG繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針

15、旋轉(zhuǎn)角度（0180）探究：在圖形的旋轉(zhuǎn)變換中，我們發(fā)現(xiàn)，DE、AF的長度也隨旋轉(zhuǎn)而發(fā)生著變化為探究AF與DE之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)DEx，AFy（1）若a4cm，b2cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，函數(shù)值y的取值范圍為_；（2）對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度為銳角和鈍角這兩種情形，分別在如下的備用圖中畫出相應(yīng)的圖形；（備用圖1）（備用圖2）（3）探究y與x的函數(shù)關(guān)系式6. (10年順義)已知正方形紙片ABCD的邊長為2來源:Z|xx|kaaa操作：如圖1，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處（點(diǎn)P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點(diǎn)G探究：（1）觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與相似的三

16、角形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，你找到的三角形與周長的比是多少（圖2為備用圖）？7. 如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=6cm，正方形DEFG的邊長為2cm，其一邊EF在BC所在的直線L上，開始時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，讓正方形DEFG沿直線L向右以每秒1cm的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，最后點(diǎn)E與點(diǎn)B重合. (1)請(qǐng)直接寫出該正方形運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)與直角ABC重疊部分面積的大小；(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），運(yùn)動(dòng)過程中正方形DEFG與RtABC重疊部分的面積為y.在該正方形運(yùn)動(dòng)6秒后至運(yùn)動(dòng)停止前這段時(shí)間內(nèi)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；在該正方形整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求x為何值時(shí)，y的值為0.5？ 8. 如圖，等腰RtMNQ與正方形ABCD中，MNQ=90，正方形ABCD的邊長為4cm，MQ與AB在