2.1對(duì)坐標(biāo)的曲面積分ppt課件

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄新課引入新課引入上一節(jié)我們講述了對(duì)面積的曲面積分，上一節(jié)我們講述了對(duì)面積的曲面積分，這一節(jié)我們就來(lái)講對(duì)坐標(biāo)的曲面積分。這一節(jié)我們就來(lái)講對(duì)坐標(biāo)的曲面積分。前面我們講述了兩類曲線積分：前面我們講述了兩類曲線積分： 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分第一類）對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分第一類） 對(duì)坐標(biāo)曲線積分第二類）。對(duì)坐標(biāo)曲線積分第二類）。 同樣我們也要講述兩類曲面積分：同樣我們也要講述兩類曲面積分： 對(duì)面積的曲面積分第一類）對(duì)面積的曲面積分第一類） 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第二類）。對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第二類）。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄第五節(jié)第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第九章第九章 （S

2、urface integral of coordinate)一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄曲面的側(cè)曲面的側(cè) 設(shè)連通曲面設(shè)連通曲面 S 上到處都有連續(xù)變動(dòng)的切平面上到處都有連續(xù)變動(dòng)的切平面 ( 或法或法 線線 ), 曲面在其上每一點(diǎn)處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取曲面在其上每一點(diǎn)處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取 定其中一個(gè)指向?yàn)檎较驎r(shí)定其中一個(gè)指向?yàn)檎较驎r(shí), 另一個(gè)指向就是負(fù)方另一個(gè)指向就是負(fù)方 向向.

3、又設(shè)又設(shè) 0M為為 S 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn), L為為 S上任一經(jīng)過(guò)點(diǎn)上任一經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,M且不超出且不超出 S 邊界的閉曲線邊界的閉曲線. 當(dāng)當(dāng) S 上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn) M 從從 0M出發(fā)沿出發(fā)沿 L L 連續(xù)移動(dòng)一周而回到連續(xù)移動(dòng)一周而回到 時(shí)時(shí), ,0ML0ML返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄否則否則, 假設(shè)假設(shè) M由某一點(diǎn)由某一點(diǎn) 0M動(dòng)身動(dòng)身, 沿沿 S 上某一封閉曲線上某一封閉曲線 0M回到回到 時(shí)時(shí), 其法線方向與出發(fā)時(shí)的方向相反其法線方向與出發(fā)時(shí)的方向相反, 則稱則稱 S 是單側(cè)曲面是單側(cè)曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面. 單側(cè)曲面的單側(cè)曲面的 一個(gè)

4、典型例子是默比烏斯一個(gè)典型例子是默比烏斯(Mbius)帶帶. 它的構(gòu)造方它的構(gòu)造方 法如下法如下: 取一矩形長(zhǎng)紙條取一矩形長(zhǎng)紙條ABCD (如圖如圖22-4(a), 將其將其 一端扭轉(zhuǎn)一端扭轉(zhuǎn) 180 后與另一端粘合在一起后與另一端粘合在一起 ( 即讓即讓 A 與與 C 重合重合, B 與與 D 重合重合, 如圖如圖22-4(b)所示所示 ). 0M出發(fā)時(shí)出發(fā)時(shí) M M 與與 取相同的法線方向取相同的法線方向, , 而回來(lái)時(shí)仍而回來(lái)時(shí)仍 保持原來(lái)的法線方向不變保持原來(lái)的法線方向不變, ,則稱該曲面則稱該曲面 S S 是雙側(cè)的是雙側(cè)的. . 如果有如下特征如果有如下特征: : 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下

5、頁(yè)下頁(yè)目錄目錄224 圖圖ABCD(a)ACBD0M(b)默比烏斯默比烏斯( Mbius,A.F. 17901868, 德國(guó)德國(guó) )返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄通常由通常由 ( , )zz x y所表示的曲面都是雙側(cè)曲面所表示的曲面都是雙側(cè)曲面, 其法其法 線方向與線方向與 z z 軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè)軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè), , 另一側(cè)稱為下側(cè)另一側(cè)稱為下側(cè). . 當(dāng)當(dāng) S S 為封閉曲面時(shí)為封閉曲面時(shí), ,法線方向朝外法線方向朝外 的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè)的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè). . 習(xí)慣上把上側(cè)習(xí)慣上把上側(cè) 作為正側(cè)作為正側(cè), ,下側(cè)作為負(fù)側(cè)下側(cè)作

6、為負(fù)側(cè); ;又把封閉曲面的外側(cè)作為又把封閉曲面的外側(cè)作為 正側(cè)正側(cè), , 內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè)內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè). .曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè). .決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面. .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 曲面分類曲面分類 雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面單側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)側(cè)曲面分左側(cè)和右曲面分左側(cè)和右側(cè)側(cè)(單側(cè)曲面的典型單側(cè)曲面的典型) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面返

7、回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:播放播放返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型

8、單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)

9、目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄典型單側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄曲面法向量的指向決定曲面的側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問(wèn)題曲面的投影問(wèn)題:()cos0()()cos00cos0 xyxyxyS ，一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)1. 有向曲面及其在坐標(biāo)面上的投影概念有向曲面及其在坐標(biāo)面上的投影概念以后如未作特別說(shuō)明，我們所討論的曲面都是雙側(cè)的以后如未作特別說(shuō)明，我們所討論的曲面都是雙側(cè)的. 返回返

10、回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄的投影區(qū)域的面積的投影區(qū)域的面積, 它們的符號(hào)由它們的符號(hào)由 iS的方向來(lái)確定的方向來(lái)確定: ()()(),i yzi zxi xySSS iS分別表示分別表示 在三個(gè)坐標(biāo)面上在三個(gè)坐標(biāo)面上 ()0,0,ii xyiSSS ; ;取取上上側(cè)側(cè)取取下下側(cè)側(cè)()0,0,ii yziSSS ; ;取取前前側(cè)側(cè)取取后后側(cè)側(cè)()0,0,.ii zxiSSS 取取右右側(cè)側(cè)取取左左側(cè)側(cè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2. 流向曲面一側(cè)的流量計(jì)算流向曲面一側(cè)的流量計(jì)算Av0n A0cosA vAv nv A 流量返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄xyzo 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目

11、錄xyzo iS ),(iii ivin1. 分割分割則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv法向量為法向量為 .in返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和 niiiiSnv1返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.取極限取極限0.取極限得到流量 的精確值)(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSR

12、SQSP 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄3. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄存在條件存在條件:組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 返回返回上頁(yè)

13、上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄4. 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄),(yxfz xyDxyzoxys)( 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄注意注意: :第二型的曲面積分第二型的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄1222()d dxyz xyzx y

14、2222()d dxyz xyzx y22d d1xyDxyxyx y22d1dxyDxyxxyy222d d1xyDxyxxyy2151322002dcos sin1drrr返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例3. 計(jì)算計(jì)算 Syxzxxzyzzyxydddddd其中其中 S 是由平面是由平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 和和 x + y + z = 1所圍的四面體表面的外側(cè)所圍的四面體表面的外側(cè).解解 Syxzxdd 21ddddSSyxzxyxzx設(shè)設(shè) S1 是是1:1 zyxS取上側(cè)取上側(cè) S2 是是S 的底部的底部0:2 zS取下側(cè)取下側(cè)xyzxy11OxyD在在 x

15、y 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)?Dxy 1S先計(jì)算積分先計(jì)算積分 Syxzxdd返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 21ddddSSyxzxyxzxxyzxy11OxyD xyDyxyxxdd)1 ( xyDyxxdd0 xyyxxx1010d)1 (d 1022d)1 (21)1(xxxx241 由對(duì)稱性由對(duì)稱性812413dddddd Syxzxxzyzzyxy返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄co(s, ,d)SR x y z22221( , )1d d1 , ,xyxyDxyz x yzzx

16、yzzR x y , , ( , )d dxyDR x y z x yx y返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄co(s, ,d)SR x y z2222 , ,1d1( ,1d)xyDxyxyz x yzzzzx yR x y , , ( , )d dxyDR x y z x yx y 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y ( , , )cos( , , )cos( , , )cos d .P x y zQ x y zR x y zS返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄d dcosdxxy zScoscoscos dSxcoscosd dxxy返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2(2)d dxzx y 2222()d dxyDxxyx y返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22222221 ()()1)42(xyDxxxydxdxyy xyDdxdyyxx)(21222