北京中考數(shù)學(xué)新定義壓軸題素材

1、(2014年高考江蘇卷 第10題)已知函數(shù)f(x) =x2 +mx1,若對于任意xWm, m+1,都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【思路探究】畫出二次函數(shù)的分析簡圖： !： /7 /由圖象分析可得結(jié)論：開口向上的二次函數(shù)f (x)在lm,n 上恒小于0的充要條件為f(m)：二0, 一心，叱， 一 , f(m) 0,i，開口向下的二次函數(shù)f (x)在Im,n上恒大于0的充要條件為if(n) <0.f(n) 0. 淀【解法探究】！f(m)<0, = | 22 = m= f-,0 .IfC.|-3<m<0.I 2>2【教學(xué)建議】(1) 一元二次不等式作

2、為江蘇高考考試說明的C級要求，在教學(xué)中應(yīng)突出和加強(qiáng)二次函數(shù)、二次方程的零點(diǎn)、一元二次不等式的研究性教學(xué)，由于三次函數(shù)求導(dǎo)后仍為二次函數(shù) 問題，所以可考慮多滲透一些含參數(shù)問題的討論，適時和適當(dāng)加大二次問題的教學(xué)難度.(2)多引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法研究函數(shù)問題(2014年高考江蘇卷 第18題)如圖，為了保護(hù)河上古橋 OA,規(guī)劃建一座新橋 BC, 同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心 M在線 段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端。和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)。正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)4。正東萬向170m處(OC為何岸),

3、tan/BCO =.3(1)求新橋BC的長；(2)當(dāng)OM多長時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？【解法探究】6(1)解法1：(兩角差的正切) 連結(jié)AC ,由題意知tan/ACO =，則由兩角差的正切 172公式可得：tan/ACB =tan(/BCO /ACO)=,故 BC=cos/ACB AC =150 m 3答：新橋BC的長度為150 m.4解法2：(解析法)由題意可知A(0,60), B(170,0);由tan/BCO可知直線BC的斜3一 4 一 4率k =,則直線BC所在直線的方程為 y = (x170)；又由AB_LBC可知，AB所334,、3y = -(x -170)在的直線方程為y =3x

4、+60；聯(lián)立方程組33，解得x=80,y =120；yy = 3 x 604即點(diǎn) B(80,120)，那么 BC =J(80 -170)2 +1202 =150.答:新橋 BC 的長度為 150m.解法3：(初中解法)延長CB交OA所在直線于點(diǎn)G,區(qū)4680850由 tan /BCO =-可得 OG =,CG =, 3335004 生北八G 'AG =，cos/CGO =sin/GCO =一，故 35一 _400BG =cos/CGO AG =，在 AOCG 中，由 3勾股定理得CG =850 ,故BC =150 m 3答：新橋BC的長度為150 m.(2)解法1：(解析法)由題意設(shè)M

5、 (0,a) (0 MaM60),圓M的方程為x2+( y a)2 = r2,680 -3a 一一 ，、一 一一 一，一.又古橋兩端。和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離5均不少于80m,那么廠屋80 ，解得10EaW35;由函數(shù)r =680一3a為區(qū)間 r-(60-a)_80510,35上的減函數(shù)，故當(dāng) a =10時，半徑取到最大值為 130.綜上可知，當(dāng) OM =10m時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大，且最大值為16900：.解法2：(初中解法)設(shè)BC與圓切于點(diǎn)N ,連接MN ,過點(diǎn)A作AH /BC交MN于點(diǎn)H .設(shè)OM =a ,則AM =60-a ,由古橋兩端。和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m,那

6、么r -a -80.,i，解得1 0 a w 3 5由r-(60-a)-80.4 一一 3 一tan/AMH =tan/OCN =,可得 MH = (60a),由(1)解法 3可得 AB =100, 3533所以MN =100 +-(60 -x) = x+136 ,故MN即圓的半徑的最大值為 130,當(dāng)且僅當(dāng) 55a =10時取得半徑的最大值.綜上可知，當(dāng)OM =10m時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大 .【教學(xué)建議】(1)應(yīng)用題從考試角度來說主要考查學(xué)生兩個方面的能力：建立數(shù)學(xué)模型的能力(簡稱“建?！蹦芰Γ?、解決數(shù)學(xué)模型的能力（簡稱“解模”能力），從應(yīng)試方法上如何突破呢?首先要系統(tǒng)研究所有可能出現(xiàn)的應(yīng)

7、用題并做到能對癥下藥，?？疾榈膽?yīng)用題類型有：函數(shù) 應(yīng)用題（以分式函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以分段函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以二次函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題）；三角測量應(yīng)用題（以三角函數(shù)的定義為載體的三角應(yīng)用題、以三 角函數(shù)的圖象為載體的三角應(yīng)用題、以解三角形為載體的三角應(yīng)用題、以立體幾何為載體 的三角應(yīng)用題、以追擊問題為載體的三角應(yīng)用題、以米勒問題為載體的三角應(yīng)用題）列應(yīng)用題；線性規(guī)劃應(yīng)用題；解析幾何應(yīng)用題 .（可參考何睦老師編寫的蘇州市高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題復(fù)習(xí)題型歸類解析講義）；其次是解模工具的積累，例如基本不等式、導(dǎo)數(shù)研究函 數(shù)單調(diào)性等等（2）本題的難點(diǎn)在于求出 a的取值范圍，在教學(xué)中教師應(yīng)注意多參數(shù)的參數(shù)范圍問題注意目標(biāo)意識的應(yīng)用，注意減元意識的滲透.提供兩個典型問題供各位練習(xí)：（Ex.1）（湖北高考題改編）銳角 AABC中，A = 2B,則/A的取值范圍是 （Ex.2） （2014南通四模）圖1是某種稱為 凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖 2是凹槽的橫截面（陰影部分）本意圖，其中四邊形AB