五年級奧數(shù)基礎(chǔ)教程-最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)小學(xué)

1、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)日，a?,，an的最大公約數(shù)通常用符號（ai, a?,，a）表示，例如，（8, 12） =4, （6, 9, 15） =3。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù) a, a?,，an的最小公倍數(shù)通常 用符號ai, a2,，an表示，例如8

2、, 12=24 , 6 , 9, 15=90。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。例1用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶 葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價(jià)格都相等，那么每袋的價(jià)格最低是多少元錢？分析與解：因?yàn)?44克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價(jià)格相 等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144, 180, 240的公約數(shù)。題目要求每袋的價(jià)格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144, 180, 240的最大公約數(shù)。2

3、 144180240士產(chǎn)SO120336_45&0121520所以（ 144, 180, 240）=2X 2X3=12,即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價(jià)格最低是 60+12=5（元）。 為節(jié)約篇幅，除必要時外，在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時，將不再寫出短除式。例2用自然數(shù)a去除498, 450, 414,得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因?yàn)?98, 450, 414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。498-450=48, 450-414=36, 498-414=84。所求數(shù)是（48, 36, 84） =12。例3現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是 1111

4、,這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111,它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因?yàn)?111=101 X11,它的約數(shù)只能是1 , 11 , 101和1111,由于三個自然數(shù)的和是1111,所以三個自然數(shù)都小于 1111,1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101, 101和909。所以所求數(shù)是101。例4在一個30X24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點(diǎn)外，共經(jīng)過多 少個格點(diǎn)（橫線與豎線

5、的交叉點(diǎn)）？分析與解：（30, 24） =6,說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6X 6個相同的矩形，那么每個矩形是由（30 + 6） X （ 24 + 6） =5X 4 （個）小方格組成。在6X6的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所以經(jīng)過5個格點(diǎn)（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的5X4個小方格中，對角線不經(jīng)過任何格點(diǎn)（見右下圖）。所以，對角線共經(jīng)過格點(diǎn)（30, 24） -1=5 （個）。例5甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點(diǎn)相會？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需 60秒、7

6、5秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會，即三人都要走整圈數(shù)， 所以需要的時間應(yīng)是 60, 75, 90的公倍數(shù)。所求時間為60 , 75, 90=900 （秒）=15 （分）。例6爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的 5倍、 4倍、3倍、2倍。"你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g 現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是 6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是 5, 4, 3, 2, 1的倍數(shù)。由 此推知，他們的年齡差是 6, 5, 4, 3, 2的公倍數(shù)。6, 5, 4,

7、 3, 2=60,爺爺和小明的年齡差是 60的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60 + （7-1 ） =10 （歲），爺爺?shù)哪挲g=10X7=70 （歲）。練習(xí)121 .有三根鋼管，分別長 200厘米、240厘米、360厘米?，F(xiàn)要把這三根鋼管截成盡可能長而且相等的小 段，一共能截成多少段？2 .兩個小于150的數(shù)的積是2028,它們的最大公約數(shù)是 13,求這兩個數(shù)。3 .用19這九個數(shù)碼可以組成 362880個沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)？4 .大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮亮每步長54厘

8、米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳印。問：這個花圃的周長是多少米？5 .有一堆桔子，按每 4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這 堆桔子至少有多少個？6 .某公共汽車站有三條線路的公共汽車。第一條線路每隔5分鐘發(fā)車一次，第二、三條線路每隔 6分鐘和8分鐘發(fā)車一次。9點(diǎn)時三條線路同時發(fā)車，下一次同時發(fā)車是什么時間？7 .四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)是 6435,求這四個數(shù)。最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣 在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除

9、法2：| 1S123Z可知，（18, 12） =2X3=6, 18, 12=2 X3X3X 2=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相 乘，那么（18, 12） X 18 , 12=(2X3) X ( 2X 3X3X2)=(2X3X3) X (2X3X2)=18X 12。也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18, 12換成其它自然數(shù)時，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論：兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，(a, b) x a , b=a x b。例1兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是72。已知其

10、中一個自然數(shù)是 18,求另一個自然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是(6X 72) + 18=24。例2兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 7,最小公倍數(shù)是210o這兩個自然數(shù)的和是 77,求這兩個自然數(shù)。分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以 7,則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1,最小公倍數(shù)是30o這兩個自然數(shù)的和是 11,求這兩個自然數(shù)?！备淖円院蟮膬蓚€數(shù)的乘積是 1 X30=30,和是11。30=1 X 30=2X 15=3X 10=5X 6,由上式知，兩個因數(shù)的和是 11的只有5X 6,且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個數(shù)是5和6,故原來的兩個自然數(shù)是7X 5=35 和 7X6=42。例3已知a

11、與b, a與c的最大公約數(shù)分別是 12和15, a, b, c的最小公倍數(shù)是120,求a, b, c。分析與解：因?yàn)?2, 15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是12, 15=60的倍數(shù)。再由a, b, c=120知，a只能是60或120。a, c=15 ,說明c沒有質(zhì)因數(shù)2,又因?yàn)閍 , b, c=120=23 X3X5,所以 c=15。因?yàn)閍是c的倍數(shù)，所以求a, b的問題可以簡化為：“a是60或120, (a, b) =12, a, b=120 , 求 a, bo ”當(dāng)a=60時，b= (a, b) x a , b + a=12 X 120 + 60=24;當(dāng)a=120時

12、，b= (a, b) x a , b + a=12 x 120 + 120=12。所以 a, b, c 為 60, 24, 15 或 120, 12, 15。例4十甲.乙.丙三種溶液，分別芟匣嗎千克、吟干克和吟千億現(xiàn)643要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)。現(xiàn)在 的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以將重量分別乘以某個數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求 出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。為此，先求幾個分母的最小公倍數(shù)，6 , 4, 9=36 ,三種溶液的重量都乘以 36后，變

13、為150, 135和80,(150, 135, 80) =5。上式說明，若三種溶液分別重150, 135, 80千克，則每瓶最多裝 5千克?？蓪?shí)際重量是150, 135,80的1/36 ,所以每瓶最多裝5X1二2 (千克)口在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)如果若干個分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）都是某個分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分?jǐn)?shù)是這若干個分?jǐn)?shù)的公約數(shù)。在所 有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。由例4的解答，得到求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：（1）先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；（2）求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù) a；（3）求出各個分?jǐn)?shù)的

14、分子的最大公約數(shù) b;（4）為為所農(nóng)例5求061的最大公緘口06 J慍嫦船翻股創(chuàng)畔，p Pm./田一- 56：,71_ （. 1,9 F類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。如果某個分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）同時是若干個分?jǐn)?shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分?jǐn)?shù)是這若干個分?jǐn)?shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)。求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；（2）求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù) a；（3）求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最大公約數(shù) b; 朋為所忘做翹精雕說溯罐北蚪建6次黃雕翎ab，爭,就腳珊-乩購,從起點(diǎn)開始，輛g猾殳有一個陷井。它們之中誰先掉進(jìn)

15、陷井？它掉進(jìn)陷井時另一個跳了多遠(yuǎn)?分析與解；瓠貍掉進(jìn)陌井村與睡點(diǎn)的更離應(yīng)是弓和區(qū)的最小整數(shù)倍，叱和押最小公躡 *3H=p+合且，y J y £ I ?! i同理，黃鼠狼掉進(jìn)陷井時與起點(diǎn)的距離為3 1 61 7 S 71 B 心忖怙而而巧嗎新腳繇螭嬲以鼻鼠所以黃鼠狼掉進(jìn)陷井時跳了31 1/2+6 3/10=5 （次）黃鼠狼先掉進(jìn)陷井，它掉進(jìn)陷井時，狐貍跳了9i 、6g x 5 = 31-1米）o練習(xí)131 .將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。2 .兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 12,最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組?3 .求下列各組分?jǐn)?shù)的最大公約

16、數(shù)：4 6'8' 1044.求下列各組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)：20 15 小 9 ,1CL' >C） -J l-oj j3和/黜是否舒它們的最尢6 9公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘酮彈,乙和楙贏;,65221和6G千克“現(xiàn)要將它們?nèi)?#39;L- y部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：最少要裝多少瓶？7,有一塊圓形綠地，周圍種花卉，每隔8米種一株關(guān)落每隔4米種一襪牡丹，每隔4：米和一秣來化輔2:米就一株菊鼠己印4種花卉和 yj于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。練習(xí)121.20 段。解：（ 200, 240, 360） =40,（200+240+360） +40=

17、20 （段）。2.39 和 52。解：這兩個數(shù)分別除以13后得到兩個互質(zhì)數(shù)，這兩個互質(zhì)數(shù)的乘積是2028 + 13+13=12=1X 12=3X4,因?yàn)?3X12=156>150,所以這兩個數(shù)分別是 13X 3=39和13X 4=52。3.9。提示：每個九位數(shù)都由19組成，1+2+9=45,由能被9整除的數(shù)的特征知，9是這些數(shù)的公約數(shù)。又因?yàn)?23456789與123456798相差9,這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 9,所以9是這些數(shù)的最大公約數(shù)。4.21.6 米。解：（ 54, 72） =18, 54+18=3, 72 + 18=4,說明小亮走4步等于爸爸走3步，其中腳印重合一次，留下4+3-1=6 （個）腳印。所以花圃周長 54X4X （ 60+6） =2160 （厘米）=21.6 （米）。5.59 個。提示：增加1個桔子后，桔子數(shù)是4, 5, 6的公倍數(shù)。6.11 點(diǎn)。提示：5, 6, 8 =120 （分）=2 （時）。7.9 , 11, 13, 15。解：6435=32X 5X 11 X 13=9X 11 X 13X5,因?yàn)?, 11 , 13, 5 = 9, 11, 13, 15, 所以這四個連續(xù)奇數(shù)是 9, 11, 13和15。練習(xí)131.72 X 120= (7,