不定積分解題方法及技巧總結(jié)

1、不定積分解題方法總結(jié)摘要：在微分學(xué)中，不定積分是定積分、二重積分等的基礎(chǔ)，學(xué)好不定積分十分重要。然而 在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和“有章可循”。本文論述了筆者在學(xué)習(xí)過(guò)程 中對(duì)不定積分解題方法的歸納和總結(jié)。關(guān)鍵詞：不定積分；總結(jié)；解題方法不定積分看似形式多樣，變幻莫測(cè)，但并不是毫無(wú)解題規(guī)律可言。本文所總結(jié)的是一般 規(guī)律，并非所有相似題型都適用，具體情況仍需要具體分析。1 .利用基本公式。(這就不多說(shuō)了 )2 .第一類(lèi)換元法。(湊微分)設(shè)f(小)具有原函數(shù)F(卜)。則其中(x)可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一 步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不

2、清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗 試，或許從中可以得到某種啟迪。如例 1、例2:ln( x 1) ln x ,例 1:- dxx(x 1)【解】(ln( x 1) ln x)' -x 1 x x(x 1)ln( In x , 2 dx (x In x)【解】(xlnx)' 1 In x3.第二類(lèi)換元法：設(shè)x (t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且 (t) 0.又設(shè)f (t) (t)具有原函數(shù)，則有換元公 式第二類(lèi)換元法主要是針對(duì)多種形式的無(wú)理根式。常見(jiàn)的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有 以下幾種：-ln-xdx(ln( x 1) lnx)d(ln(x 1) In x

3、) - (ln( x 1) In x)倡是，當(dāng)In x,arcsinx時(shí)，是無(wú)法求解的。丫對(duì)于（3）情況，有兩個(gè)通用公式：（分部積分法用處多多在本冊(cè)雜志的涉及Inx的不定積分中，常可以看到分部積分）5不定積分中三角函數(shù)的處理1.分子分母上下同時(shí)加、減、乘、除某三角函數(shù)。 C 例 2:x(x 1)23 x arccosx, 例 3: dx2 1 x【解】觀察被積函數(shù)，選取變換t arccosx,則例 4： arcsin被積函數(shù) 一2- dx上下同乘sin x變形為 sin x cos x令u cos x ,則為2.只有三角函數(shù)時(shí)盡量尋找三角函數(shù)之間的關(guān)系，注意 sin 2 x cos2 x 1的

4、使用。 三角函數(shù)之間都存在著轉(zhuǎn)換關(guān)系。被積函數(shù)的形式越簡(jiǎn)單可能題目會(huì)越難，適當(dāng)?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉(zhuǎn)換可以使解題的思路變得清晰。3.函數(shù)的降次形如sin m x cosn xdx的積分（m, n為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可令u cos x ,于是m 1mnm 1n2 -2- nsin x cos xdx sin x cos xd cos x 1 u 2 u du ,轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可令u sin x ,于是u 1 mnmn 1m2sin x cos xdx sin x cos xd sin x u 1 u 2 du,同樣轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的積分。當(dāng)m, n均為偶數(shù)時(shí)，可反復(fù)利用下列三

5、角公式： 不斷降低被積函數(shù)的幕次，直至化為前兩種情形之一為止。形如tan n xdx和cotn xdx的積分（n為正整數(shù)）*一.du令 u tan xdx ,貝U x arctan u , dx 2 ,從而1 u已轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分 xdx【解】221arcsin xdx xsin x x2 arcsin xdx1 x2上面的例3,降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類(lèi)型。 有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在 dd中，、的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：1 （l arcsinx Pm（aAsinx類(lèi)似地，cot n xdx可通過(guò)代換ucot x轉(zhuǎn)為成有理函

6、數(shù)的積分形如 seen xdx和 cscm xdx的積分(n為正整數(shù))du當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，右令 u tan x ,則x arctan u, dx ,于是1 u2已轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式的積分。類(lèi)似地，cscn xdx可通過(guò)代換u cot x轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的積分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，利用分部積分法來(lái)求即可。4 .當(dāng)有x與三角函數(shù)相乘或除時(shí)一般使用分部積分法5 .幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分。(1)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)Px)先化為多項(xiàng)式和真分式Q(x)P*之和，冉把 匕里 分解為若干個(gè)部分分式Q(x)Q(x)之和。(對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)In 2 dx 2 n時(shí)，記得用遞推公式:(a x )I x2n_I

7、n 2a2(n 1)(x2 a2)n12a2(n 1) n 11 .有理真分式化為部分分式之和求解簡(jiǎn)單的有理真分式的拆分注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類(lèi)題目一般還有另外一種題型：2 .注意分母(分子)有理化的使用dx. 2x 32x 1,2x 3、2x 141 一 21 一2x3 2 2x 3 2 C例 5:121264,2x x 4x3/ 22x (x 1)dx64, 2c64,2x x 4x 2 x x4x 23/ 27723/ 27-23/ 27-2x (x 1) x (x 1) x (x 1),2x 4x 223,22x 1 x (x 1)故不定積分求得。(2)三角函數(shù)有理式的積分x2

8、 tan 一sin x 21 tan2 -萬(wàn)能公式：22 x1 tan 一cosx -一 2 x1 tan 2P(sin x,cosx)dx可用變換t tan3化為有理函數(shù)Q(sin x,cosx)的積分，但由于計(jì)算較煩，應(yīng)盡量避免。A(a8sx bsinx) B(acos'x bsin'x)來(lái)做。(注：沒(méi)舉例題并不代表不重要對(duì)于只含有tanx (或cotx)的分式，必化成 膽或竺x。再用待定系數(shù)cosx sin xacosx bsin x(3)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分一般用第二類(lèi)換元法中的那些變換形式。像一些簡(jiǎn)單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn)Vx和J1 x時(shí)，可令x tan21 ;同

9、時(shí)出現(xiàn)工x和71x 時(shí)，可令x sin2t ；同時(shí)出現(xiàn)J1 x2和arcsinx時(shí)，可令x=sint ；同時(shí)出現(xiàn)71 x2和arccosx 時(shí)，可令 x=cost 等等。(4)善于利用ex ,因?yàn)槠淝髮?dǎo)后不變。這道題目中首先會(huì)注意到xex,因?yàn)槠湫问奖容^復(fù)雜。但是可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)后為-x x-x與分母差-x ,另外因?yàn)?x求導(dǎo)后不變，所以容易想到分子分母同乘以 -x 。(5)某些題正的不行倒著來(lái)然而這樣的換元方法是sin x這類(lèi)一般的換元這道題換元的思路比較奇特，一般我們會(huì)直接使用 u sin x , 解不出本題的。我概括此類(lèi)題的方法為“正的不行倒著來(lái)”，當(dāng) u1 一一 .法行不通時(shí)嘗試下- s

10、in x。這種思路類(lèi)似于證明題中的反證法。 u(6)注意復(fù)雜部分求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù) 注意到：t 2tl2TV1n t 2t 3-tdt1寸-'%3-t2t 3-tt 2 3et3-rdtt 2 3-t1n 1n x 2 In x e31n t1n x1n x 31n In x12t 2-tkdt t 12t 2-t本題把被積函數(shù)拆為三部分：y1。2，丫3, y1的分子為分母的導(dǎo)數(shù)，丫2的值為1, 丫3的分子為分母因式分解后的一部分。此類(lèi)題目出現(xiàn)的次數(shù)不多，一般在競(jìng)賽中出現(xiàn)。(7)對(duì)于R(x, Jax2bxc)dx(a0)型積分，考慮b2 4ac的符號(hào)來(lái)確定取不同的變換。如果0,設(shè)方程ax2 bx c。兩個(gè)實(shí)根為，令ax2 bx c可使上述積分有理化。如果 0,則方程ax2 bx c0沒(méi)有實(shí)根，令Vax2bxcTax t ,可使上述積分有理化。此中情況下，還可以設(shè)ax2bxcxtc ,至于采用哪種替換，具體問(wèn)題具體分析。(7)當(dāng)根號(hào)內(nèi)出現(xiàn)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí)一般用t代去根號(hào)。但