中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《線段與角》考點專題講解

1、線段與角考點圖解線段與前宜線、線段、射線定工兩點之間.線段最坦表不方法連接兩點間線段的長度叫這兩點的距離技法透析1 .與直線、射線、線段有關(guān)的知識(1) 直線：直線的概念，一根拉得很緊的線，給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩 方無限延伸的.直線的表示方法：如圖ti記作“直線 AB'或“直線BA'記作“直線l直線的性質(zhì)：過兩點有且只有一條直線，即：兩點確定一條直線.(2) 射線：射線的概念，直線上一點和它一旁的部分叫射線，這一點叫射線的端點.射線向一 方無限延伸. 射線的表示方法：如圖 4 H 記作“射線AB”；l記作射線1,注意必須把表示端點的字母寫在前面.(3) 線段

2、：線段的概念：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點，線段不延伸.線段的表示方法：如圖 4日記求“線段AB'或“線段BA'或“線段a”.線段的性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.即兩點之間，線段最短.(4) 直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系.聯(lián)系：直線、射線都可以看作是線段無限延伸得到的；反過來，射線和線段都是直 線的一部分，線段可以看作是直線上兩點及這兩點間的部分，射線可以看作是直線上一點 及其一旁的部分.區(qū)別：如下表有幾個端點向幾個方向延伸有無順序性有無長度宜城0.個方無射線13個W無線段2不延伸無有(5) 線段的畫法：用直尺可以畫出以 A B為端點的線段，

3、畫時不能向任何一方延伸."連接AB'的意義就是畫出以 A B為端點的線段.線段的延長線，如圖 / 討'，延長 ab是指按由 A向B的方向延j內(nèi)：長.延長BA是指按由B向A的方向延長.(也可說反向延長 AB)(6) 線段的比較度量法：測量線段的長度后比較大小，疊合法：用圓規(guī)把一條線段移到另一條線段上比較大小.(7) 畫一條線段等于已知線段，如：已知線段 a,畫一條線段 AB= a,有兩種畫法：先畫射線 AG再在射線 AC上截取AB= a.先測量線段a的長度、再畫一條等于這個長度的線段AB即可.(8)線段的中點及等分點的概念如圖點O把線段AB分成相等的兩條線段，AO與OB

4、點O叫線段AB的中點，顯1然有 AO= OB= AB (或 AB= 2AO= 2OB 2如圖點 O, Q把線段AB分成相等的三條線段 AO=OO = QB,則點O, 02叫做線1一 一 一段 AB 的二等分點，顯然有： AO=OQ=QB= AB(或 AB= 3A0 = 3OQ= 3QB)3如圖，點 Q, Q, Q把線段AB分成相等的四條線段，則點 Q, 02 , 03叫做線段AB1的四等分點，顯然有：AO=OQ=QO=QB= 1AB(或 AB= 4A0= 4002= 4QQ= 4QB)4(9)兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.2 .與角有關(guān)的知識(1) 角的概念：角既可以看成

5、有公共端點的兩條射線組成的圖形，又可以看成是一條 射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所組成的圖形.(2) 角的四種表示方法：一般可以用三個大寫字母表示，且表示頂點的刊甘,字母必須寫在中間.如圖，記作/AOB(或/ BOA;當(dāng)角的頂點處只有一個角時，可以用角的頂點字母來表示這個角，如圖可記作/Q可以用一個小寫希臘字母(如“、3、丫等)表示，如圖/ BOC己作/ a；”用一個阿拉伯?dāng)?shù)字表示如圖/AOC己作/ 1.(3) 特殊角及角的分類：平角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到與起始位置在同一條直線上時所成的角.周角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到與起始位置重合時所成的角.直角：等于 90&#

6、176;的角叫直角.銳角：小于直角的角叫銳角.鈍角：大于直角而小于平角的角叫鈍角.(4) 角度制及角的畫法：角度制：以度、分，秒為單位的角的度量制，1° = 60' , 1' =60".借助三角尺和量角器畫角.(5) 角的和、差、倍、分的關(guān)系:每的和、差，如圖所示：/ AO(C= / AO吩 / BOC / AOB= / AOC- / BOC角的倍、分：角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，如圖所示，若/ 1 = 7 2,則OC是/ AOB的平分線，此時有/ 1 = / 2= - /AOB(或/ AOB= 2/1

7、= 2/2). 2同理，還有角的三等分線、四等分線等.(6) 余角和補角：定義：如果兩個角的和等于90。，那么這兩個角互為余角；如果兩個角的和等于180。，那么這兩個角互為補角.性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角.具體表示時.是南(或北)在先，再說偏東(或 偏西)3.鐘表上有關(guān)角的問題(1)鐘表上，相鄰兩個數(shù)字之間有5個小格，每個小格表示 1分鐘，如果與角度聯(lián)系起來，每一小格對應(yīng) 6° ;(2)秒針每分鐘轉(zhuǎn)過360° ,分鐘每分鐘轉(zhuǎn)過 6° ,時針每分鐘轉(zhuǎn)過 0.5° .(3)時針與分針成一直線必須

8、成 180。的角，兩針重合必須成0。的角，名題精講考點1例1平面內(nèi)兩兩相交的 6條直線，其交點個數(shù)最少為 個，最多為 個.【切題技巧】可以通過畫圖來探求，先從簡單情形、特殊情形考慮，再進行歸納，得出結(jié)論.當(dāng)平面內(nèi)兩兩相交的6條直線相交于一點，此時交點的個數(shù)最少為1個，當(dāng)平面內(nèi)兩兩相交的 5條直線相交于一點，第 6條直線與前面的5條直線都相交，此時交 點的個數(shù)為1 + 5=6個，當(dāng)平面內(nèi)兩兩相交的4條直線相交于一點，第 5條直線與前面的4條直線都相交，第 6條直線再與前面的 5條直線都相交，此時交點的個數(shù)為1 + 4 + 5=10個，因此為使平面內(nèi)兩兩相交的直線的交點個數(shù)最多，則要使任意兩直線相

9、交都產(chǎn)生新的交點，即任意兩條直線相交都確定一個交點，且任意三條直線都不過同一點，于 是可得交點數(shù)最多為：1 + 2+3+4+5= ' +5/5 =15(個)2【規(guī)范解答】分別填1個，15個.(1) 本例可進行如下推廣：若平面內(nèi)有兩兩相交的n條直線，其交點最少為 1個，最多為 1 + 2+ 3+ ( n+1) = - n (n1)個交點；2(2) 一般地，平面內(nèi) n條直線兩兩相交，且任意三條直線都不共點，那么這些直線將 1平面分成一(n+1) n+1個互不重疊的部分. 2(3)一般地，如果一條直線上有 n個點，那么這條直線上的不同線段的條數(shù)為( n-1)十 ( n 2) + 2+ 1=

10、-n (n-1)條；共有2n條不同的射線.2【同類拓展】1 .如圖 川 內(nèi) C D E F G ,數(shù)一數(shù)圖中共有多少條不同的線段，多少條不同的射線？o令"="則 CD=3 1.UEhGEH=5H.又 TM.N 分別為 ACEB 的中點,二 M<?=Ns考點2線段長度的計算例2 如圖C D、E將線段AB分成2: 3: 4: 5四部分，M P、Q N分別是AG CD DE EB的中點，且 MN= 42,求PQ的長.【切題技巧】先根據(jù)比例把 AG CD DE EB用含x的代數(shù)式表示，再利用線段的和差及線段的中點的意義可得到相應(yīng)的方程，從而求得PQ的長.【規(guī)范解答】令人則匚。

11、=3工，。£>4任口 " 5，又乂，可分別為人(；1舊的中點，:"。=/4(?匚h*EN =又 MN=MC+CD+ DE+EN = 42 /- j+3x + 4t4-1-j = 42 又/Q分別為CDQE的中點。»4<。=如=6,十=；店=2工=8 A PQ- PD+ DQ-6+8=14.【借題發(fā)揮】幾何問題本身是研究圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確地畫出圖形，能使問題中各個量之間的關(guān)系直觀化.本題的分析要著眼于找出未知線段的聯(lián)系，使未知向已 知轉(zhuǎn)化，求線段的長度要充分利用線段的和差與線段的中點、等分點的意義，其解題方法 與途徑不是唯一的，需要我們

12、根據(jù)題意靈活運用不同方法解決實際問題.【同類拓展】 2.已知三條線段 a、b、c在同一條直線上，他們有共同的起點，a的終點是 b的中點，c的中點是b的終點，且 a+b+c=7cn求a、b、c的長.4考點3角的個數(shù)及角的度數(shù)的計算例3 如圖已知OA。比/ AOD內(nèi)部的兩條射線，/ cOMff分/ AOB ON平分/ COD(1) 若/AOD= 70° , / MON= 50° 求/ BOC勺大?。?quot;(2) 若/ AOD= a ; / MON= 3 ,求/ BOCW大小(用含 a、 3的式子表示).利用角的平分線性質(zhì)，角的和、差之間的轉(zhuǎn)化，先找出/AOD / MONW

13、/ BOC之間的數(shù)量關(guān)系，為方便角的表示，可用含“、3的式子表示所求的角，也可設(shè)未知數(shù)，把幾何問題代數(shù)化，通過整體變形、列方程，從而確定出角的大小.【規(guī)范解答】(1) 丁 / AOD = Z AOM 卜 Z MON + Z NOD, Z AOD = 70> Z MON = SO* : Z.AOM +zzAOJJ-zMrJ.'=70*-SC= 20 乂平分/ 4陽.DN 平價/CO口，二/AJM /MOB. /DON /CON. :. /M0H ZCON =- ZAdM+ 4NOC= 20* 兄 /MON 二 / 歐）M+/BOC+ ZCON AZ BOC= /MC»N/

14、EOM-/CDM= 50*20*=30*,- C2）設(shè)/捌瓦工/ ，"JM平分/八口吐口N平分/QJD.1 / MOB= ZAOM- yZAOB+ / DON -yZ<-OD= /匚0M 二 ZAOM+DON=亞/丈OB+ ZOOP>一 3/八?？谝?®90vm 及N 制門日 +/8N ./M W BDC=p-H*5一工）：戶一h +'.工二2.nr即廣HOC*顰-【借題發(fā)揮】 （1）對于求角的度數(shù)的計算，通常有兩種思路：一是根據(jù)各個量之間 的關(guān)系，用已知量來表示未知量，直接求未知量；二是通過設(shè)輔助未知數(shù)，把幾何問題代 數(shù)化，根據(jù)圖形中角的相等關(guān)系列方程

15、或方程組，從而求解，應(yīng)注意挖掘題目中的隱含的 條件，適當(dāng)轉(zhuǎn)換.（2） 一般地，同一平面內(nèi)，在平角/AOB勺內(nèi)部引以。為端點的（n-1）條射線，則圖中共有：n+ （n-1） + （ n2） + 3+2+1= 1n （n+1）個小于平角的角.2 ,【同類拓展】3 .如圖，/ AOB= 100° , OM平分/ AOC，必OIW分/ BOC 則/ MON=.考點4鐘表上有關(guān)的角度問題月例4時鐘在下午4點至5點的什么時刻：（1）分針和時針重合？ （2）外分針和時針成一條直線？（3）分針和時針成45°角？【切題技巧】 4點整時針已轉(zhuǎn)過4大格，每大格30° ,這時可看成時針在

16、分針前面120° ,若設(shè)所需時間為 x分鐘，則有6xlx的值等于1200時，兩針就重合；當(dāng)時針與2分針之間的角度為1200+ 1800時兩針成一條直線；當(dāng)時針與分針之間的角度差等于120° 45° （時針在前）或120° +45° （分針在前）時，兩針成 45°角.【規(guī)范解答】設(shè)所需時間在卜午4點鐘后1分仲，則。）61 萬1=120,則了二21W（分神八 上J I必一）工=120+180,則I=54品分件h 杳X XC）分兩種情況討論.當(dāng)時針在分針前面15飛人有6-r- yx- 320- 45 w二*= 13亓（分鐘八當(dāng)時針在分針后面

17、45時，石6工一義工工120+1511 = 30（分鐘h答工F午4點21 K分鐘時分鐘和時針般合.下午4點54 5分鐘時.時針與分針成一條白線，正午4點13 A分鐘或4點30分鐘時,分針和時針成45,用.【借題發(fā)揮】鐘表上時針和分鐘問題實質(zhì)是數(shù)學(xué)中的追及問題，鐘面上有12大格,60小格，每個大格為30°的角，每個小格為6°的角.如果把單位時間內(nèi)，分針和時針轉(zhuǎn) 過的度數(shù)當(dāng)作是它們的“速度”，那么分針的速度為 6。/分，時針的速度為 0.5 ° /分， 因此，分針?biāo)俣仁菚r針?biāo)俣鹊?2倍.在時針與分針的轉(zhuǎn)動過程中，總是分針追及時針，然后超過時針又轉(zhuǎn)化為追及時針，【同類拓

18、展】4.王老師在活動課上為學(xué)生們講數(shù)學(xué)故事，他發(fā)現(xiàn)故事開始時掛鐘上的時針和分針恰好成 90°角，這時是7點多；故事結(jié)束時兩針恰好也是90°角，這時是8點多，他還發(fā)現(xiàn)，講故事中，兩針成90。角的有趣圖形還出現(xiàn)過一次，求王老師講故事所花的時間多少分？考點5與線段有關(guān)的實際問題例5 攝制組從A市到B市有1天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃中飯，由于堵車，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了 400千米，傍晚才停下來休息.司機說，再走從C市到這里路程的二分之一就到達目的地了，問A、B兩市相距多少千米？【切題技巧】題目中所給條件只有路程，而沒有給出時間與速度，所以可以畫出線段表示各段路程，借助圖形，思考它們之間的數(shù)量關(guān)系， 從而利用形數(shù)結(jié)合思想解決問題.I1J【規(guī)范解答】 如圖* 口C£ F,設(shè)小鎮(zhèn)為D,傍晚汽車E處休息，令 A