優(yōu)秀教材研究分析立體幾何初步

1、第 1 章 立體幾何初步立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的一門數(shù)學(xué)學(xué)科， 而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實(shí)空間 所以，學(xué)習(xí)立體幾何對我們認(rèn)識、 理解 現(xiàn)實(shí)世界，更好地生存與發(fā)展具有重要的意義 立體幾何初步一章，是在義 務(wù)教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，教材的編寫力圖凸顯普通高中 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn) ）對立體幾何的教學(xué)要求， 通過直觀感知、 操作確認(rèn)、 思辯論證、度量計(jì)算等方法， 以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)逐步形成空間想像能力 這一教學(xué)目的、課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于立體幾何初步的表述及教學(xué)要求1表述：課程標(biāo)準(zhǔn)指出：幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科人們通常采

2、用直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法認(rèn) 識和探索幾何圖形及其性質(zhì)三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識空間圖形， 培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、 推理論證能力、 運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力 以及幾何直觀能力， 是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求 在立體幾何初 步部分，學(xué)生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識空間圖形；再以長方 體為載體，直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；能用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān) 平行、垂直的性質(zhì)與判定， 并對某些結(jié)論進(jìn)行論證 學(xué)生還將了解一些簡單幾何 體的表面積與體積的計(jì)算方法2教學(xué)要求：2.1 空間幾何體1）利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺

3、、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié) 構(gòu)2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如紙板）制作 模型，會用斜二側(cè)畫法畫出它們的直觀圖3）通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式（4）完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征 的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求） .5）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）2.2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系（1）借助長方體模型，在直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的

4、位置關(guān)系的基 礎(chǔ)上，抽象出空間線、 面位置關(guān)系的定義， 并了解如下可作為推理依據(jù)的公理和 定理：公理 1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi).公理 2:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公 共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.公理3:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么 這兩個(gè)角相等.2）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸

5、納出以下判定定理:如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行， 那么該直線與這個(gè)平 面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面， 那么這兩個(gè)平面平 行.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直， 那么這條直線垂直于這 個(gè)平面.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那 么這條直線就和交線平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行.如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面， 那么它頁垂直于另一個(gè) 平面如果兩個(gè)平面互相

6、垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于 另一個(gè)平面3）能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題、對比課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱，在要求上的主要變化1. 對于“空間幾何體”：教學(xué)大綱要求：了解概念，掌握性質(zhì)； 課程標(biāo)準(zhǔn)則要求：認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征課程標(biāo)準(zhǔn)把重點(diǎn)放在了空間想像能力上，對概念、性質(zhì)則降低了要求2. 對于“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”：課程標(biāo)準(zhǔn)把重點(diǎn)放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究 （ 角和距離）在必修中不作要求（移到選修中） ，對線、面垂直的判定定理不證明，移到9 / 9空間向量中再證分段設(shè)計(jì)，分層遞 進(jìn)3. 對知識發(fā)生的過程提出了較高 的要求：多

7、處使用了“觀察”、 “認(rèn)識”、畫出”、“直觀感知、操作確認(rèn)，歸納”等情感、態(tài)度與價(jià)值要求的行為動詞對空間幾何體的要求是直觀圖1感知；對線、面關(guān)系則要求操作確認(rèn)、 思辨論證；對判定定理的要求是操作 確認(rèn)、合情推理；對性質(zhì)定理則要求 思辨論證、邏輯推理4. 不要求用反證法證明簡單的問題三、新課程教材和大綱教材處理圖2的變化與以往高中數(shù)學(xué)課程中的立體幾何相比， 立體幾何教材處理的變化主要表現(xiàn) 在幾何定位，幾何內(nèi)容處理方式， 幾何內(nèi)容的分層設(shè)計(jì)以及幾何內(nèi)容的增減等方 面1. 定位：定位于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生把握圖形的能力，空間想象與幾何直觀能 力、邏輯推理能力等 . 強(qiáng)調(diào)幾何直觀，合情推理與邏輯推理并重，適

8、當(dāng)滲透公理 化思想2. 內(nèi)容處理與呈現(xiàn)：按照從整體到局部的方式展開：柱、錐、臺、球-點(diǎn)、 線、面-側(cè)面積、表面積與體積的計(jì)算（如圖1）,而原教材是點(diǎn)、線、面-柱、 錐、臺、球，即從局部到整體（如圖 2），突出直觀感知、操作確認(rèn)，并結(jié)合簡 單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些幾何性質(zhì)3. 內(nèi)容設(shè)計(jì)：螺旋上升，分層遞進(jìn)，逐步到位 . 在必修課程中，主要是通過 直觀感知、操作確認(rèn)，獲得幾何圖形的性質(zhì)，并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些 幾何性質(zhì).進(jìn)一步的論證與度量則放在選修 2 中用向量處理 .教材在內(nèi)容的設(shè)計(jì) 上不是以論證幾何為主線展開幾何內(nèi)容， 而是先使學(xué)生在特殊情境下通過直觀感 知、操作確認(rèn)，對空間的點(diǎn)、線、面

9、之間的位置關(guān)系有一定的感性認(rèn)識，在此基 礎(chǔ)上進(jìn)一步通過直觀感知、 操作確認(rèn)，歸納出有關(guān)空間圖形位置關(guān)系的一些判定 定理和性質(zhì)定理，并對性質(zhì)定理加以邏輯證明 . 不是不要證明，而是完善過程， 既要發(fā)展演繹推理能力，也要發(fā)展合情推理能力4. 教學(xué)內(nèi)容增減：刪除或在選修課內(nèi)體現(xiàn)的）：1)異面直線所成的角的計(jì)算 .2)直線與平面所成角的計(jì)算 .3)三垂線定理及其逆定理 .面角及其平面角的計(jì)算 .5)多面體及歐拉公式 .6)原教材中有 4個(gè)公理， 4 個(gè)推論， 14個(gè)定理（都需證明）（不包含以例題出現(xiàn)的定理） .新教材中有 4 個(gè)公理， 9個(gè)定理（ 4個(gè)需證明） 增加：（7）簡單空間圖形的三視圖.專設(shè)“

10、空間幾何體的三視圖和直觀圖”這一節(jié)，重點(diǎn)在于培養(yǎng)空間想像能力.（8）臺體的表面積和體積等內(nèi)容.立體幾何內(nèi)容采用上述處理方式，主要是為了增進(jìn)學(xué)生對幾何本質(zhì)的理解,培養(yǎng)學(xué)生對幾何內(nèi)容的興趣，克服以往幾何學(xué)習(xí)中易造成的學(xué)生兩極分化的弊端.四、江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)于立體幾何初步的教學(xué)建議§ 1.1空間幾何體（4課時(shí)）1 認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特1.能用運(yùn)動的觀點(diǎn)整1 .柱、錐、臺、征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體體認(rèn)知柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征只的結(jié)構(gòu)，了解柱、錐、臺、球的概念.球.須通過實(shí)例概2.了解畫立體圖形三視圖的原理，并能畫出簡單2.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進(jìn)括，不必證明.

11、幾何圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡一步體會觀察、比較、2 .空間幾何體的易組合）的三視圖.能識別上述的三視圖表示的立歸納、分析等一般科性質(zhì)不必深入挖體模型，會用斜二測法畫出立體圖形的直觀圖.學(xué)方法的運(yùn)用.掘.基本要求發(fā)展要求說明重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型，概括出柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征,會用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖.難點(diǎn)：如何讓學(xué)生概括柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征.教學(xué)建議:1. 新課標(biāo)在幾何教學(xué)中強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)習(xí)的直觀性，強(qiáng)調(diào)實(shí)物、模型對幾何學(xué)習(xí)的作用.因此對柱、錐、臺、球的學(xué)習(xí)需要從實(shí)物圖形的感知出發(fā)，抽象出其本質(zhì)特征，來建立多面體、旋轉(zhuǎn)體的概念，進(jìn)一步研究它們的結(jié)構(gòu)和分類

12、.課外可讓學(xué)生動手做一做，更直接的感受空間幾何圖形的特征.如建議學(xué)生用紙板或游戲棒或細(xì)鐵絲（作骨架）做出下列幾何體的模型:（1）正方體；（2 ）長方體；（3）三棱錐；（4）四棱錐；（5）三棱臺.學(xué)生通過動手做，親身體驗(yàn)柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征，必會幫助學(xué)生逐步形成空間想像能力.2. 用斜二測畫法畫直觀圖，關(guān)鍵是掌握畫水平放置的平面圖形，它是畫空 間幾何體直觀圖的基礎(chǔ).而水平放置的平面圖形的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法.在平面上確定點(diǎn)的位置我們可以借助直角坐標(biāo)系來完成，因此畫水平放 置的直角坐標(biāo)系是學(xué)生首先要掌握的方法. 通過例題的教學(xué)使學(xué)生明確畫直觀圖 的基本要求.3. 關(guān)于“三視圖”的一些補(bǔ)

13、充說明:（1）畫三視圖容易忽視的問題不給出“正方向”，把想當(dāng)然的“正方向”看作是規(guī)定的“正方向”.如某中考題:“下面四個(gè)幾何體中，左視圖是四邊形的幾何體共有（)”圓錐圓柱D俯視圖左視圖（10）主視圖、左視圖和俯視圖的大小不符合“長對正、高平齊、寬相等”的要正方體A. 1個(gè) B . 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)嚴(yán)格意義上來說，該題（屬開放性問題）是沒有答案的，因?yàn)槟銢]有給出正方向，所以不知左視圖為何形.視圖中缺少應(yīng)有的線段，尤其是缺少該用虛線描繪的不可見的物體輪廓 線、分界線和棱.如常將四棱錐 S ABCD的三視圖作成圖（10）而非圖（11）， 即俯視圖中缺少棱SC。求.（2）江蘇省高考關(guān)于“三視圖

14、”要求的變化:2008、2009年江蘇省高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明中，將“三視圖與直觀圖”定為A級要求，即僅作了解，而從2010年起，則將“三視圖與直觀圖”不作要求.§ 1. 2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系（10課時(shí)）基本要求發(fā)展要求1了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示了解平面1 .會進(jìn)行“文字語的基本性質(zhì)，即公理1、2、3及其推論1、推論2和推論言”“符號語3，了解平行公理（即公理4）與等角定理.言”“圖形語言”之2了解異面直線的定義，會說明兩條直線是異面直線，間的轉(zhuǎn)化.并能正確畫出兩條異面直線，在畫圖過程中感知兩條異2.在引導(dǎo)學(xué)生觀察、面直線所成的角.比較、抽象、類比得3.通過直觀感知、

15、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行、出空間點(diǎn)、線、面位垂直以及兩平面的平行、垂直的判定定理.置關(guān)系的過程中，努4.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納并能證明出直線與平力浸透數(shù)學(xué)思想與辯面平行、垂直以及兩平面的平行、垂直的性質(zhì)定理.證唯物主義觀念.5.能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.說明判定定理的證明不作要求.2.有關(guān)角與距離不作計(jì)算要求.3.三垂線定理及其逆定理不充.重點(diǎn)：直線與平面、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.難點(diǎn)：文字語言、符號語言與圖形語言的轉(zhuǎn)化；對異面直線的認(rèn)識.教學(xué)建議:1. 平面的基本性質(zhì)雖僅為了解，但卻是進(jìn)一步研究空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，在教學(xué)中，可以先給出

16、一些實(shí)物圖片，旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)空間圖形的 興趣，然后引入最簡單的幾何體一一長方體模型， 有關(guān)點(diǎn)、線、面用彩色來突出,讓學(xué)生仔細(xì)的觀察；設(shè)計(jì)一些實(shí)例，再給出實(shí)物圖片，讓學(xué)生覺得四個(gè)公理確實(shí)是顯而易見的；設(shè)計(jì)一幅實(shí)物圖片和直觀圖形進(jìn)行對比， 使學(xué)生從平面到空間 理解等角定理，顯得更直觀、更可信.2. 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系應(yīng)依托長方體模型，教學(xué)中，讓學(xué)生仔細(xì)地觀察“教室”這一長方體模型和其他長方體模型的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，這樣顯得更直觀，容易得出直線和平面平行的判定定理， 平面和平面平行的判定定理以及直線和平面平行的性質(zhì)定理，平面和平面平行的性質(zhì)定理;例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)要有意識的考慮長方體、正方

17、體模型以及一些不太規(guī)則的圖形.3. 本章教學(xué)中應(yīng)重視文字語言、符號語言和圖形語言的相互“翻譯”轉(zhuǎn)換.4. 在教學(xué)中，要努力浸透歸納、類比等數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生形成辯證唯物主義世界觀.§ 1. 3空間幾何體的表面積與體積（3課時(shí)）基本要求發(fā)展要求說明1. 了解柱、錐、臺、球表面積的計(jì) 算公式，并能計(jì)算一些簡單組合體 的表面積；2. 了解柱、錐、臺、球的體積公式， 并能計(jì)算一些簡單組合體的體積.1. 初步體驗(yàn)將空間問題轉(zhuǎn)化為 平面問題的思想方法；2. 體會柱、錐、臺之間的關(guān)系3. 初步體會“積分”思想的應(yīng) 用.祖暅原理可 向?qū)W生形象 地介紹，但 不作了解要求.重點(diǎn)：讓學(xué)生了解柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積計(jì)算公式.難點(diǎn)：球的表面積與體積公式的推導(dǎo).教學(xué)建議:1. 應(yīng)從學(xué)生熟悉的正方體、長方體的側(cè)面展開圖入手探究展開圖和表面積的關(guān)系.2. 通過對球的表面積、體積公式的運(yùn)用，加深學(xué)生對公式的認(rèn)識，突出公式在實(shí)際問題解決中的作用.五、本章教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題1.明確立體幾何的教學(xué)目標(biāo)，不拔高，也不降低。新增的內(nèi)容不加深，刪除的內(nèi)容不增補(bǔ).2注意概念定理的發(fā)生發(fā)展過程；加強(qiáng)幾何直觀、合情推理教學(xué)，適當(dāng)進(jìn)行思辨論證，從幾何直觀、合情推理、邏輯推理等多角度培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力.3. 注意從不同角度認(rèn)識幾何體.4重視問題的數(shù)學(xué)化表達(dá)，加強(qiáng)“