大一高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題(含答案)

1、百度文庫12單項選擇題:1、f(x)1 lg x的定義域是A、,5(5,C、,4(4,2、如果函數(shù)A、1 ， 23、函數(shù)y復(fù)習(xí)題D,6(6,B、D、,4(4,5)5,6(6,)f(x)的定義域為1 ,B、1, V2lg( X2 1 x)2,則函數(shù)f(x)+f(x 2)的定義域是( B )C、2,、.2D、lg( x21 x) ( D )2, 1 1,.2A、是奇函數(shù)，非偶函數(shù)C、既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)B、是偶函數(shù)，非奇函數(shù)D、既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)解：定義域為R,且原式=lg(x2+1-x2)=lg1=04、函數(shù)f(x)x2(01 一 .x 1)的反函數(shù)f (x)( C )A、1 x2B、1

2、x2C、5、0)D、(1x0)A、C、解:卜列數(shù)列收斂的是( C“1六 1,n為奇數(shù)f(n) 1，,n為偶數(shù)n 1B、D、f(n)f(n)選項A、B、D中的數(shù)列奇數(shù)項趨向于1,6、設(shè)yn 0.1 1個J,則當(dāng)nA、收斂于0.1B、收斂于0.2-11解：yn 0.11 110 1027、“f(x)在點x=xo處有定義” 是當(dāng)A、必要條件B、充分條件1,n為奇數(shù)1,n為偶數(shù)2n2n1 2n2n,n為奇數(shù),n為偶數(shù)偶數(shù)項趨向于-1,選項C的數(shù)列極限為0時，該數(shù)列(一 1 C、收斂于一 911(1 10n9D、發(fā)散xC、x0時f(x)有極限的(D )充分必要條件 D、無關(guān)條件百度文庫238、下列極限存

3、在的是（ A ）limA、x(x 1)C、解:9、A、B、lxm01exD、limxx2A中原式lim (1xlimx2x 2x sin x2x2 sin x解:12分子、B、2C、0D、不存在10、limx 1分母同除以x2,并使用結(jié)論“無窮小量與有界變量乘積仍為無窮小量”得A、2sin(x 1)x 1B、C、D、0解:11、原式=lim (x1) 1 2sin( x1)1卜列極限中結(jié)果等于e的是（A、lim0(1 xsinx嚴(yán) xB、lim (1xC、lim (1x 、sin xsin xx )xxD、m(1sin xsin x、-)xx解:的極限為2,C的極限為112、函數(shù)1”的間斷點有

4、（Cln |x|A、解:B、2C、3D、413、A、C、間數(shù)點為無定義的點，為 -1、0、1卜列函靈敏在點f(x)x=0外均不連續(xù)，其中點一、1 .B、 f （x） 一 sinx xx=0是f（x）的可去間斷點的是（ B）f9x)1ex1 _ x D、f (x) e ,x x e , x百度文庫3419、A、充分且必要條件 C、充分非必要條件解：ABCD中極限為無窮大，所以為第二類間斷點 中極限為1,所以為可去間斷點中右極限為正無窮，左極限為 中右極限為1,左極限為0,14、下列結(jié)論錯誤的是( A )A、B、C、D、如果函數(shù) 如果函數(shù) 如果函數(shù) 如果函數(shù)15、設(shè)A、616、設(shè)A、解:17、A、

5、C、f(x)在點X=X0處連續(xù),0,所以為第二類間斷點 所以為跳躍間斷點則f(x)在點X=X 0處可導(dǎo)f(x)在點X=X0處不連續(xù)，則f(x)在點X=X0處不可導(dǎo)f(x)在點x=x 0處可導(dǎo)，則f(x)在點x=x 0處連續(xù)f(x)在點X=X0處不可導(dǎo)，則f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),則 f (0)=(f(x)在點X=X0處也可能連續(xù)A )B、3 C、2f(x)=cosx ,貝U limx 0D、0f(a) f(aX)sin a B、 sin aC、因為原式=limX 0f(a) f(aXcos ax)D、 cosaf (a)2 一y cos 2x ,貝U dy,2(cos 2x)

6、 (2x) dx2 cos2xsin2xdx18、f(x)在點x=X0處可微，是設(shè)y xnA、n! ( 2)n20、A、C、21、A、22、A、C、2 ，B、(cos 2x)dcos2xB、D、D、2 cos2xdcos2xf(x)在點X=X0處連續(xù)的( C )必要非充分條件既非充分也非必要條件e 2x,則 y(n)(0)n 1B、n!C、n! ( 2)F列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是y=x2-5x+6Xy xe2, 30,1D、n!-2B、yD、y求下列極限能直接使用洛必達(dá)法則的是(sin x lim x xB、limX 0sin xC、設(shè) f(x) 2X則當(dāng)f(x)與x是等價無窮小

7、量f(x)是比X較高階的無窮小是1(x 1)2X 1, X1,x 5tan5x limx 一 sin3x2x趨于0時(B0, 20, 5D、21x sin limxx 0 sin xB、f(x)與x是同階非等價無窮小量D、f(x)是比x較低階的無窮小量百度文庫解：利用洛必達(dá)法則limof(x)limMm02xln2 3xln3ln2ln 3 145x x .23、函數(shù)f(x) e e 在區(qū)間(-1, 1)內(nèi)( D )A、單調(diào)增加 B、單調(diào)減少C、不增不減 D、有增有減一， x /24、函數(shù) y 2-在(-1, 1)內(nèi)(A )1 xA、單調(diào)增加/ B、單調(diào)減少C、有極大值 D、有極小值25、函數(shù)

8、y=f(x)在x=xo處取得極大值，則必有( D )A、f'(xo)=0B、f ”(xo)<0C、f (Xo)=0 且 f (xo)<0D、f (Xo)=0 或 f (Xo)不存在26、f (x0)=0 , f (x0)>0是函數(shù)f(x)在點x=x0處以得極小值的一個( B )A、必要充分條件B、充分非必要條件C、必要非充分條件D、既非必要也非充分條件27、函數(shù)y=x3+12x+1在定義域內(nèi)( A )A、單調(diào)增加 B、單調(diào)減少C、圖形上凹 D、圖形下凹28、設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)有f (x)<0且f (x)<0 ,則y=f(x)在(a, b)

9、內(nèi)(C )A、單調(diào)增加，圖形上凹B、單調(diào)增加，圖形下凹C、單調(diào)減少，圖形上凹D、單調(diào)減少，圖形下凹29、對曲線y=x5+x3,下列結(jié)論正確的是( D )A、有4個極值點B、有3個拐點 C、有2個極值點D、有1個拐點2 2x30、若 f (x)dx x e C,則 f(x)= ( D )A、2x e2zB、4xe2zC、2x2e2xD、2xe2x(1 x)31、已知 y 2x ,且 x=1 時 y=2,貝U y=( C )A、x2B、x2+CC、x2+1D、x2+232、d arcsin Vx( B )A、arcsin *xB、arcsin VX+CC、arccosVxd、arccos4+C 3

10、3、設(shè) f (x)存在，則 df(x) ( B )A、f(x)B、f (x)C、f(x)+C D、 f (x)+C34、若f(x)dx x2 C,則 xf(1 x2)dxA、2(1 x2)2 C12 2C、一(1 x ) C2B、2(1x2)2CZ12 2D、- (1 X ) C2百度文庫56解:xf(1 x2)dxf(1 x2)d(1 x2)2 C35、設(shè) f (x)dx sin x C ,則f (arcsin xxA、arcsinx+C B、sin v1 x2C、J (arcsinx)CD、 x+C解:原式= f (arcsinx)d arcsinxsin(arcsinx) c x36、設(shè)

11、 f (x)x ntt f (ln x).e ,貝U -dxxA、B、 ln x CC、D、Inx+C解:原式(lnx)dln xf (In x)ln x e37、xf (x)dx arcsinxf(x)dxA、1；(1 x2)3CB、1，(1-x2)3 3C、D、23(1322 x )解:xf (x)dxarcsinxC兩端關(guān)于x求導(dǎo)得xf(x)即 f (x)所以-dx f (x)x .1 x2dx, 1 x2d(1x2)3-(1x2)2C38、若sinx是f(x)的一個原函數(shù)，則xf (x)dxA、xcosx-sinx+CB、xsinx+cosx+CC、解:xcosx+sinx+CD、xs

12、inx-cosx+C由sinx為f(x)的一個原函數(shù)知f(x)=cosx ,則使用分部積分公式得39、設(shè) f (ex)1 x,則 f(x)= ( B )A、1+lnx+C B、xlnx+CC、* x2 x C2D、xlnx-x+C40、卜列積分可直接使用牛頓萊布尼茨公式的是(A、/dx0 x2 1B、1 dx .dx1/21 xC、xdxo 3 (x2 5)2D、1 xdx1；xln x百度文庫解：選項A中被積函數(shù)在0, 5上連續(xù)，選項 B、C、D中被積函數(shù)均不能保證在閉區(qū)間上 連續(xù),241、| sin x | dx ( A )T67A、B、2.2 | sin x | dx0 11j 0C、2

13、(2sin x)dx2.2 sin xdx042、使積分20kx(12 2 .x ) dx32的常數(shù)A、40 B、-40C、80 D、-80D、k= ( C解:k 原式二k2(1x2)2d(12 kx) 2(金)1 x2k 53243、設(shè) f(x)2x.11,°,則x,011 f(x)dxA、121n 2B、121n 2C、D、2ln2f(x)dxi(2”1)dxdx2xln 2x)02小一(11 33x1A、解:44、xy 0(t-2 B、245、A、解:1)2(tC、2)dt ,則 dy dx-1 D、dy/dx=(x+1) 2(x+2)下列廣義積分收斂的是(1 dx0B、1 d

14、x0、x四個選項均屬于二、填空題.x ex1、 e dx解：原式=exC、dxD、1dx0”1 dx當(dāng)，該廣義積分當(dāng)xpexe dxex xe deexee +Cp<1時收斂，大于等于時發(fā)散12ln 2.1,-32、已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f(x) q,且當(dāng)x=1時，函數(shù)值為一1 x22則此函數(shù) F(x)=( arcsin x )百度文庫78解:F (x) f (x)F(x)F(1)arcsinl3、曲線yx2e 的上凸區(qū)間是(解:-x2_ _ 22xe , y 2(2x4、解:2 2(x2.23sin x) cos xdxx3 cos2為奇函數(shù)2 sin2 xcos2 xdx25、若f(x)

15、的一個原函數(shù)是解:f(x)6、設(shè)f(x)(x)ln(x解：f(x)(0)7、曲線8、設(shè)y解:dydx9、lim (nCarcsinxC21)ex82xdx08則sin x, f (x)(x)cosx12f(0)0,則a(1)2,x12x-2122 x一的點外的法線斜率為( 42103x cos. 22a2)12f (x)dx ( -sinx+C2x22xdx 1 2dx2 a2 ,其中 a1,x2 a2_2x_2 x ax22x x acos4x , dx22萬22Ao 2 1 - 22 2-sin0 4sinx ,(sin x) cosx, fxln(xx2 aln(x x2 a2).x2

16、a2)1x x212.aa2(1cost2x2-cos t上對應(yīng)于tsintf (2x2)，而 f (x) tan x ,則 dy x 二8 8f (2x2) (2x2)4xtan(2x2)百度文庫8910、設(shè) f(x) limn(n 1)xnx2 1,則f(x)的間斷點為x= ( 0解：x不等于0時，f (x)limnxn 2x n 1 nX=0 時，f(x)=f(0)=0,顯然x不等于0時,f(x)=1/x 連續(xù)，又limx 0f(x)f(0)三、計算題.1 x21、求極限lxm02,2x sin x原式=?£1 1x224 x144§x o(x )1 4-x.8 li

17、mo(x4)2>mo x311n利用等價無窮小:e 1x,a1xina, in(i x)x,(i x)原式=lim31 x21 x(ex 1)x 0 (in 3) x2,lim 口 ：1 Hmln3 x 0 x2 x 0 x21 2x1.3x lim lim 2in 3 x 0 x2 x 0 x223ln 3x a(t sint)十 d2y3、設(shè) ，求 一2-y a(1 cost) dx參考答案：dy_yasin tdxxta(1 cost)1，*、2a(1 cost)cost(1 cost) sint sint 1cost 1一一 23(1 cost)a(1 cost) a(1 cos

18、t)百度文庫1004、求由方程y 1 xey所確定隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)d2y d/把原方程兩邊對自變量x求導(dǎo),dy ey edxxeydydx解得dy dxeyxeyey2eyey dy dx(2y) ey(2y)2(3 y) e2y(2 y)35、近似計算數(shù)e的值, 參考答案：使誤差不超過10-212x2!1 n 一 x n!令x=12!n!(n 1)!要使誤差Rn經(jīng)計算，只需取1 e 1 1 -2!6、討論函數(shù)參考答案：函數(shù)的定義為(x) 3x2(x) 6x103 ,只需Rn入102n=5,所以12.5 0.1667 0.0417 0.0083 2.7167 2.72 5!f (x)4x312

19、x2x3(1 x)的凸性與相應(yīng)曲線拐點6x(1 2x)x(-°°, 0)0(0, 1/2 )1/2(1/2 , +8)f (x)-0+0-f(x)凹拐點凸拐點凹由f (x) 0 可得 x=0,1/2列表如下:百度文庫1011所以凹區(qū)間為（拐點為（0, 0）7、求函數(shù)y1、1,0） （2,）凸區(qū)間為（0,2）（1 1） 12,162的單調(diào)區(qū)間、極值點 x定義域為,0)(0,)由y 2xx3 1.一、一.，,2,令y 0得駐點x 1,列表給出單調(diào)區(qū)間及極值點: xx(,0)(0,1)1(1,人y一一0十f(x)極小值3/所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，0）, （0,1,單調(diào)遞增區(qū)

20、間為1,），極小值點為（1,3）8、求由y * jx, y . x,x* 2所圍圖形的面積a=p1 x29、設(shè) f(x) x e°,求031f(x2)dx .參考答案：方法一：先作變量代換31 f(x 2)df(t)dt01(1t2)dte tdt01t3t3方法二：先給出f(x2)(x2)2(x 2)31f (x 2)d x211 (x2)2d(x2)dx1 e10、求曲線y(x 1)3/3x 在 A (-1，0),B (2,3),C （3, 0）各點處的切線方程百度文庫11123 1y 3 3 x (x 1) -(32x) ' ( 1)3 3-1 x 1 x33 (3 x

21、)2在 A (-1 , 0)點處，k y (1)34所以在A點處的切線方程為34(x 1)而在B (2, 3)點處，L ky(2) 0所以在B點處的切線方程為y-3=0又在C (3, 0)點處，ky (3)不存在，即切線與x軸垂直所以C點處的切線方程為x=311、在區(qū)間 0,一上,2曲線ysin x與直線x一 ,y0所圍成的圖形分別繞x軸和y軸2所產(chǎn)生的放置體的體積。參考答案：繞x軸所產(chǎn)生的體積為Vx02(sinx)2dxcos2xdx2繞y軸所產(chǎn)生的體積為:12Vy0(2) dy/-、2 (arcsiny) dyarcsin y(arcsiny)2 y10y2arcsinydyyarcsin

22、yd11 y2,1 y21.2 o arcsinyd 1 yy2dy四、證明題(每小題 5分,10分)1、設(shè) a0, a1, a2,an 是滿足 a0a12aJ0的實數(shù)。n 1/2證明多項式f (x)a0 a1x a2xanxn在(0, 1)內(nèi)至少有一個零點百度文庫1212令 F(x)a°xal 2x2an n 1Xn 1顯然F (x)在0 , 1上連續(xù)，(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且,Fao / 占0 由羅爾定理得，在(0, 1)內(nèi)至少存在一點E ,使 F ( ) 0 ,即 ao a1 /an0從而/f(x) ao ax a2x2anxn在(0, 1)內(nèi)至少有一個零點2、證明方程 x=asinx+b ,且a>0,b>0至少有一個正根，且不超過a+b參考答案：(寫出輔助函數(shù)1分，證明過程4分)令 f(x)=x-asinx-b顯然f(x)是一個初等函數(shù)，所以在 0