大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析

1、大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析一行列式計算的典型例題分析:1.利用降階法。0)-3511虞 將第三列乗7禮-5分別加到第一列.第二列然后按第一行展開.礙再將第三列堯;6加到第一列：按第三行展開+得20 -19 5-13 2(-1嚴(yán)20 -19-13-241 °00J0-10-195-10-1945=(-1 嚴(yán)-11-13-11-134r-6(1-6011口嘆上演算:過程可知對于任意n階苗列式乩皆可用廳列式性巫變?yōu)樯P的n-l階行列式2.利用化三角形法計算。計算D =2gh-c-a2h 方一匸一口2b2c2cC Q -h巒:將那二廳與弟三廳郁如到那一廳上卜瑾出公因于(釘bPh得a +力+匚a

2、+ /?+ ca+ /? + h-c- d2c2ec-u h2c 2c c-應(yīng)一白再泮第一廳乘 (-2h)和卜幻分別如粗第二行與第三汛得£> =(血 + B 十£)0=(a +h 十廣)0 00-3 +占+e)3.利用升階法。Z5&】6P盤6Z%/ Z例6 訃算D二愜扌&D加邊升階得1000011111-陌A0.1眄-碼Z -燈1000旳k口 n=-角0Z 00-旳£仃Ci旳-旳00£ a言0心4Z000A - «Ja,第j列丁亠活加到第一列上< -4倍、第4列" 乂 一 01Z J.第2兀一倍、第3列 X

3、 - a.得D二00兀一禺0000/. 一幾00000000Z -設(shè)500=n 0rKi+/=|V勺匕Z7n這里役£工/仃=1二¥1)這化焙論可以椎廣到H階行列弍的潔此即«|JtAZ «|碼訕5紜aQCl£4.利用范德蒙公式。XvXKI 10劈:方g1 -3125一3、用=冬）=1 1 11 1 11 1 10 I 1=-1 =W0 1 1=1 血=-0 0 10 0 1D 0 10 0 1血=01 X 十 P11111248X 2-351 -39-27耳 M 49251525125.P 8 -2? P32懈法片列武粹置便知它星一個4階范德輩勞

4、列九即= (2-r)(-3-j)5 -t)(-3-2)(5-2H5 + 3)= (J«方桎的解為x = 2二.矩陣已知用伴陸矩陣法-%1 1 11 1 1去=1 1 1=0.4 廠-0 1 10 0 10 0 1=0=0也I見=J-'1 -100：0 1-100 01-10 0=(11*JJ*解注(2)0:1-10； 0Irrn-I01001； 000餌$去(4)分塊法且|如=20.A可逆，由三角塊求> 1 -1 f 4石"= 1 -1 1 1 1 -1 0 a0 I 0 141 I 0 1 -I 0其屮4"=0 “-1 01-521: 0 01丿1

5、 -3 -2； 0 1 tf5 -3 -2: 0 1 (f0 2 2 ： 1 0 1015： 7 5 8、0 -13 -9 : 0 5 L.0 2 2 =10 1000-30'0501、f8 0 0、例7 :求X使XA=B,這里力=1-3 -2,B=-5 3 0l5 21 丿l2 6 a分析：根據(jù)矩陣乘法規(guī)則.X應(yīng)為3階方陣.若A可逆則XA=B兩傅同乘/T即可得 承法一：先求A-<5Mt； 1nT 0lo3-05-8:0:7:-135-100 8 *-15丿13T45 *4542'.8 ；-Hi88丿屮9吐-13210-103、II-15.則 X = BA-'=0

6、 oy3 096 0A-I3210-103、，(1 H !=,» -15； 13、|9丿ag：這里因為A埶右佻au二血不是f乳 嫡上艄于M 軾 兩站同時右集八戦二 帖，則X二8心可以看成-些橋等解2機如右乘B,相當(dāng)于對吐 砌變換，而這喊等解右駄矚1®對MB豁冃樣的刪等變換左A變?yōu)镮 叭mcB變?yōu)閄二baV UJ毗.:&；5 I0-311/ I90-30 ;-ir:1 00-3O'I_ -5)1丨列X J-9210 ,e* X-320- -800 1-808 '-808-5-30丨-5-35，-U-3171-2-60丿1-2-62；<-20-62

7、67rIQ 00葉oi000-3* -8 -141-2081726244872；.4l7S'6,9；3)63饑8:設(shè)J = ' 0ko0、” 6、B = j I I，求 X|£AX=2X*B.l23丿fl 00、先求為八25；0 -I -1為準(zhǔn)對角矩降，則只需求clo I 2>r-> -1 I 0、0 -2 -lA2 0 1)o1 11丿f -2 -P,廣7 一一1I ij（說明：對二階方陣用伴隨陳求逆也很方便）P0 o'/. (-4 2/)7 =0-2 -1loI 1 ,( 00、p 6)r 36、(/. X =0 -2-I1 1=-41110

8、11丿b -3丿I 3-2丿M法二：X = （/<-2/乩因為a-2/尸相當(dāng)于一些初等陣Z枳,它們右嫖B,相當(dāng)于 對B進行行初等變換因此H法一；AX=2X-B.劉(A2【)ZB 若 A-21 W逆劉X =1護逆r 0036、P 0 0 36、10 036)0-1-11 1Jo 11 -1 -I>0 10-41.0122 -3丿lO 0 13 -2,1Ic 0 132)X -"36、-4 I、3 2/(J-2AB) 口即驢.(/,*),例10役A為n階M逆方陣，試證:3)(-j)* = (-l)-'j* (7)7 = 7“(屮尸十3證：役4=（%）K中®的

9、代敵余子式為4則卜,4|二卜訃卜1）%|且飛的代數(shù)余子式為（-l）r，于是 卜療=（嚴(yán)4畀=嚴(yán)） = （7心r證法1:由定義.卜/）卜）二卜1）小卜1）滬=卜1門二/ 故（"=”證法2:由公式.HYa當(dāng)A可逆時,屮二AA-J（詢莎故（屮）制4節(jié)二制川（制右丁斗4十畝亠|耳廠耳說明；這里幾如爭試還哽屮用到了以下纖論：卜旬|=上”帕|(A-£)-'二礦'世可右如下勢注：爐= |j|-； 'iA = &則B = bI 誹廿w#由AA*Ah有"卜|*T A 可逆，/.jp 0, a|J*|= Af 即 |同=卜廠 即BB二制仃,."

10、;理=|曠|Jrn "才二 f) Ml血曠=-*二 Ti眉/T 二 31 人二 HI5二kT命十廠丄秫嚴(yán)=1廠：.三. 向量和線性方程組幣已加:叫均吁IM期弋訥訓(xùn)削；W傲k止厲顯無剰®細(xì)胸劉q也泌離朕并耐款J呼:!幟薩聽墟®理5槪師枝佔也耳十1也訶抽也&只搞鮒卯，即繩玦當(dāng)孤J崗蹲馳4厲皿我性 就握' *& +3火 2 +2*3 = 0 2& - A?十 33 03 禺 +2A/ +G&3 = 0 系數(shù)療列式132I32D =2-13=2-1332Q00Q -5=7(3 5)當(dāng)D=7(a-5)H0時，方程組只有零M,因此當(dāng)fl

11、 H5時，a門冬，0$線性無關(guān). 當(dāng))=-7(a-5)=0時，方程組有非霉聲，因此當(dāng)fl =5 5：. 5,冬,G,線性相關(guān).設(shè) «3 = A'l +上；a,則(3, 2,滬(爐需込,”：-耳，3爐嚴(yán)2巧)fFi+3&2 = 3即：2耳-爐2 = 23k+2fi=5可勢出&'】=聲，=+，于是CZj = ¥(2,十扌Qi=(1,023幾還二(1,1,36，旳二(1,-14+ 2,1卩,乙=(1,2,4,"8巴 倪83,5/問為何值時，“fV能表示成引,6,544的線性組合：a,h為何值時，0町以由線性表示且表示法唯一.«:

12、如傀6分析上述問題等價于0 =化£ *處a.*爲(wèi)a3*a.是否肖聲，即0I,230+22耳PT000是否宵解因為a * 224a +8/> + 3【5 '-h+G T0 a±i 0 b00 fl+I 00 I -10 I a0 2-22 12力41fl + 52其中比+ /;表示矩陣第i行乗以k加到第j行.閔此.當(dāng)a=-l, b=0時，方程坦有無窮賽聲，0町以表示成6，冬03,7的線性組合. 當(dāng)a=-I.b=0時方程組有無窮多縱此時0n以表示成sssd的線性組合, 但表示法不唯一當(dāng)QH-l時,0可以啡一地表示成2bfl +/)+1hca +1 a + h例10

13、設(shè)2345579117101316L»求A的秩分析，一股求矩陣的枕可以通過兩個方法來求方法1直接用行列弍求矩陣的秩，即找出矩陣中最高不為零子式的階數(shù) 方法2.利用初等變換來求矩陣的秩采用方法1與方注2 -收根據(jù)矩陣階數(shù)來定，對于較髙矩陣?yán)贸醯茸儞Q較為方便.1 1 2I 1 51 I 7D =12 3=0, D、=I 2 7=0,D、=I 2101 4 5I 3 91 3 137=0,聲 方法一：A有一個二階子式D二二1泊0而所有包含D的三階子式為Li579IL7101316(-1)X2 r=26 452467369I 121 51 I 72 二I 23=0. D$ =I 2 7=0

14、, A =I 210I 3 414 111 416因此秩A=2方法2030°(-2心*3 T(-3)xq +?;從rTD r(U)=2, W此 r(A)叱儻£判斷耳二(1,2 3),冬=(3,2,1),勺二(161)是否線性相關(guān).分析:硏究向fi紅門C"，的線性相關(guān)的問題曲定義可知，就是考察是否存在D 個不全為零的數(shù)kj, U人,便線性組合.AlS+A：flr：”T&/j=O5h +處山十+0!皿化=0即./站嚴(yán)分:出+峠乙出=0匕出+ 6”化+-九點.=0W此.向agff “心，J是沓錢性相關(guān)等價于齊次線性方程組是沓有非？孝. 若方稈殂有狛洛&.

15、(111)E,冬，J線件相關(guān).若方秤組口£零鎚，血1 函Aa初線性無關(guān)因氏研究向fiW是否純性相關(guān)問題實質(zhì)上就S研究齊次統(tǒng)性方程 組石沒有簾第問題.餞法一 設(shè)存在一組數(shù)&出，上3,使火”1 + A-.ttj +何6二0 .即 4,(1,2,3) + /：,(3,2,1) + *3(1,3,1) = (0,(),0)亦即(人 +32 +3,2 仇 +2 他 + 3他,3 件 += (0,0,0).k +%； + *3 = 0曲+2也+3仇=03血I + 紅 + *3 二 01 31=A .可以a過初等行變換求毎r(A)=3,則此齊次線性方程fe系數(shù)矩陣2 233 11只有零解，

16、故線性無關(guān).砌“曲卩枷:防附a紘cMiw能槪耐,ft ? n 4n a I J ILzi I I nH詆已知況WZI）嚴(yán)產(chǎn)（ii）m屮-U-I）角NLTi）后（|負(fù)1） 試粘像示為盤；衛(wèi)心'和葉舸錢性紅盒炳：甘勰-站確否用向量G皿，g鍛性表菇考雜讎I個叢 代W比雙得0詁眄也冬i也気S立.I坷占乜也樸叫山訥（4）仏處十6/廣；比口.T去詢+住尹卄毎出=b:CfKt：向3儺否用向量址SG戈性表朮飄于非齊熾性方讎是 否條塔方讎有唯-欺聊能腕也叫唯-的般打母方讎僦 窮？欺則朋浦®y 仏線性衣示、但表肩2不唯一若方EfEQ）無歟則 儺用©耳久線性表朮蕈設(shè)“二業(yè)I*”耳+ Ag

17、*&S即（1,2）=£（1）+仁仏1,-1廠1屮3（1廠1乙-1）+匕（1廣1,1）+右忒二1-& - & 二 2他乜二1>.+ k.P曲'k. - k:上宀囲 #二二莊I +-tf, -ff, - 尸4 ' 4 廠廠四. 特征值與特征向量例I.求矩陣的轉(zhuǎn)征值和特征向量l = (z-2)(A-I) j=(Z-2)=(z-l)f- 1 -1)1 o'-2 2 -1=0i即：001h = 01-1 1 o>小丿VoJlo 0 0,也丿s 解為點的特征值為幾1=42 = 2,：, = 1對于方程(2I-A)X=0.即為卩19I乂J

18、 1Jpu.X r3 -1 f1-34A =2 0 1,5 = 14 -7 8I -1 2 L6 -7 7_Z-3 I-1z-2 I01 I 0解（一）：1刀-沖=-2 A-1z-2 zz-I= (z-2Xa-I)1 Z 1-2 Iz-20 14 10 1 IA 1 1= (z-2Xz-l)01 Z 1 0 1(-2 1 -1 何對于島“輝組（/-）V = O,KP為-2 1 -Ix=0<-I 1 一 Io *打I ；（人*0）是屬于2的待征向雖-10；=1 I -1、0、f-'0 0、/ 、0-1 I£=°=> 0-1 1£I 0 0 0 丿

19、loj（00 0,甘20）是屬于21的轉(zhuǎn)征向量= 0la們A的特征值為2,2,1 ,A的屬于2的特征向S為勺兇=0）,W-4的屣于I的特征向a為（；I :（紅hO）Z-13-4A-3-4> -3 zz-A-4Z + 7S=?z-I A=2Z-J - z-6+7Z-7-6IZ- 7-67z-7u丿(二)|a/ B =AZ-7riZ + 2I =(z - 3)z*2 1I Zf2 0】T 0 I10 0（V解向量占工I；L嚴(yán)是屬于-啲特征向倉4心1比H a是區(qū)于刮勺持征向量 =<Z-3)fAir /- E的特征值為A, =z, =-1訳,=3FJ2 3村于 =4； =-l 餌方程組(-I-A)X-O. <(-/