函數(shù),導(dǎo)數(shù)不等式,推理證明

1、函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，推理與證明1,已知函數(shù)八工”jJE工.（I）若直線了二丘+1與/（力的反函數(shù)的圖像相切，求實數(shù)£的值；（n）設(shè)工。，討論曲線:/（力與曲線1加（扁。）和）,則處/回公共點的個數(shù).（田）設(shè)虐方，比較2與fi-a的大小，并說明理由.2,已知函數(shù)武力=£（I）設(shè)介o,求鋁）的單調(diào)區(qū)問（n）設(shè)qQ,且對于任意工Q,穴力之加。試比較卜。與的大小123,已知函數(shù)/（=）。+ *»觀耳=亞+1+ 2xcnsx2,當(dāng)立口時，求證:4已知函數(shù)工）=?工.（I）求函數(shù)/（力的單調(diào)區(qū)間；（H）證明：對任意的£>0,存在唯一的s,使.加.（m）設(shè)（n）

2、中所確定的s關(guān)于t的函2*瀏/數(shù)為工=虱。，證明：當(dāng)Oe時，有亍hit55,已知函數(shù) f（力二一一噸+電M,并討論了（力的單調(diào)性；（I）設(shè)工=0是用的極值點，求（II）當(dāng)麗，2時，證明陽>0.6,函數(shù)f(x)=ex,g(x)=mx+n，h(x)=f(xg(x)廿0,若則在(-1")上沒有零點，求m取值范圍(2)設(shè)即)=章廣槍n=4m(m>0)求證:當(dāng)x之0，r(x七1。7,已知函數(shù)f(x)=ex-x-m,若f(x)有兩個不同零點x1,x2,求m取值范圍(2)證明x1+x2<08函數(shù)f(X)=lnXmx(1)求f(x)在1，J上的最大值(2)若f(x)有兩個不同零點x

3、1，x2,2求證：x1x2>e。x_x129,函數(shù)f（x）=e2xax若f（x）在R上是增函數(shù)。求a取值范圍（2）如果12X1r2.八g(x)=f(x)(a2x(x>0%合好有兩個不同的極值點x1，x2,證明：-2-<1n2a一2一210,函數(shù)f（X）=a（xTnx）（i）討論函數(shù)單調(diào)性，（2）若y=f（xb（1,f（1）處的切線斜率為2,且函數(shù)g（x）=f（x）+（m-2x在（1,+好）有兩個不同的極值點x1，x2證明m>lnH）【解析】（i）f的反函數(shù)g（力二八/設(shè)直線/二丘+1與g（©二h工相切與點的。丁九門則J-l£Xg + = lu&

4、; q=46)=所以（H）當(dāng)"。,用0時，曲線產(chǎn);（力與曲線六加保泗的公共點個數(shù)即方程，（力二能根的個數(shù)。，八丁 ,八靖（工2）則M力在（0,2）上單調(diào)遞減,這時叫力£（町）,機(jī)），M力在口上單調(diào)遞增,這時購皿坳=7一她是y二期極小值即最小值.所以對曲線y二陽與曲線廣加（扁°）公共點的個數(shù)，討論如下：當(dāng)而£（。彳）時，有。個公共點；當(dāng)m=-,有1個公共點；jh（4W）當(dāng),4,有2個公共點；加0+陽網(wǎng)-屈）032）刎+-q-2"電（田）設(shè)2卜-。2-公a+2）-e11+（Aa。-ii+Z）+Q醒-0-安ia220-令施二工+2+（工-曰。,則gO

5、l+Q+Em+gDJ幽的導(dǎo)函數(shù)g'（H）=Q+工-4/*/Q所以幽在則上單調(diào)遞增，且，=0,因此式力°£任）在（Q板）上單調(diào)遞增，而/0=0所以在Q向上期0。因為當(dāng)工0時，式x）r+2+（工-2）/0且ah(A "+ 2)+(8 q 2)- e*-*2-(6a)所以當(dāng)時,解：（I）由/（工）=Gh-ha知""一垢+"一二又於0,故當(dāng)"。時，八"K若0時，由工>。得，人力（。恒成立，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（tiM；若占>0,令r（3<o可得無后,即函數(shù)在（Q二）（二”）上是減函數(shù)，在卜上是增

6、函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是%）,單調(diào)遞增區(qū)間是匕叫當(dāng)人0時，令/8=0n20?+加-1=0b/b2-Kta-J+Vfts+8d由于A=8'+8tf>0,故有“id,巧4醒顯然有4<0巧故在區(qū)間一匚-上，導(dǎo)數(shù)小于0,函數(shù)是-b + Vi3 + ta減函數(shù)；在區(qū)間 獨,招0上，導(dǎo)數(shù)大于0,函數(shù)是增函數(shù)綜上，當(dāng)。二助二0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1板）；nn（D-5（當(dāng)"QJ>o時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是J,單調(diào)遞增區(qū)間是看當(dāng)1>。，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是電，單調(diào)遞增區(qū)間是d+V2+8ff+8a由（1）知， 匚是函數(shù)的唯一極小值點故+&i =14al

7、-4r一元3ao（II）由題意，函數(shù)f在工二1處取到最小值，整理得加十L二1一加令期二2-41+1皿貝產(chǎn)二.14x由的02曝“。寸，（力>。，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)阻*°時，刎<0,函數(shù)單調(diào)遞減因為期w£）=f4<Q故g<0,ip2-4a+hfl=2A+hiff<0,即解：（I）由題意可知函數(shù)的定義域為（QO,求導(dǎo)數(shù)可得/*(j=2jdnr+j?-=X21nx+5/*(=。某=亍工令電當(dāng)工變化時，（力力的變化情況如下表:I1忑（A）-0+陽單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)/（力的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為（II）證明：當(dāng)0工41時，40設(shè)0令艙）=，

8、（力-比口地）由（I）可知，M才在區(qū)間Q4®）單調(diào)遞增，她=*0,坦卜二幅2f-D>0,故存在唯一的萬丘1則，使得成立;（田）證明：因為s=g©，由（n）知，t=f®,且£>1,lng（。InfIdaIsju從而h/W2his+lnlns%+lnv其中二,么!絲/。23要使5ME2成立，只需2,當(dāng)時，若六則4一則由，包的單調(diào)性，有t=f®弓憫=后矛盾，所以S>2,即”1,從而h”0成立，另方面，令好1nli所0=*=2當(dāng)：kii2時，F(xiàn)®。，當(dāng)然2時，F(xiàn)®。，故函數(shù)F®在籃二2處取_.uU到極大值，也是最大值尸H,故有22.綜上2.砌1可證：當(dāng)時，有反tar5成立.解：（I）“）x+m,工二。是/（工）的極值點,/*（0）=1=0=m=lrrjn府,所以函數(shù)陽二1-蛔D，其定義域為2一高設(shè)水）"工理-1則晨力"計D+小。,所以施在（7網(wǎng)上為增函數(shù)，又則二0.0時，ggO,即用0；當(dāng)-lr0時，M勾。/0.所以/（力在（-上為減函數(shù)；在（Q向上為增函數(shù);（H）證明：當(dāng)隔空工&-叼呵時，g+加）41nA隊故只需證明當(dāng)/»J1二呵/+二耳廂二2時/（力0.當(dāng)隔二2時，函