列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要題型復(fù)習(xí)

1、法國數(shù)學(xué)家笛卡兒：一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù) 問題，而一切代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題，因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎 刃而解。列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要題型復(fù)習(xí)一、列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟1、審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等 關(guān)系是什么。弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，2、找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系尋找相等關(guān)系（有的由題目給 出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出） ，列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同 的。3、設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后

2、利用已找出的等量關(guān)系列出方程。設(shè)未知數(shù)及作答時若有單位的一定要帶單位，方程中數(shù)量單位一 定要統(tǒng)一。設(shè)元（未知數(shù)）。直接設(shè)元法間接設(shè)元法（往往二者兼用）。一般來說，未知 數(shù)越多，方程越易列，但越難解。1）直接設(shè)元法：求什么設(shè)什么，方程的解就是問題的答案；2）間接設(shè)元法：不是求什么設(shè)什么，方程的解并不是問題的答案，需要根據(jù)問題中的數(shù) 量關(guān)系求出最后的答案。4、 解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值5、 檢驗， 寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解， 是否符合實際，檢驗后 寫出答案。女口：甲、乙兩人的收入之比為 4 : 3,支出之比為 8 : 5, 年間兩人各儲存了 500 元， 求兩人的年

3、收入各是多少？解：設(shè)甲的年收入為 x 元,乙的年收入為 y 元,根據(jù)題意,得解得：答：甲的年收入為 1500 元,乙的年收入為 1125 元二、設(shè)未知數(shù)的幾種常見方法1、設(shè)直接未知數(shù) ： 即題目里要求的未知量是什么,就把它設(shè)做方程里的未知數(shù),并且求幾個設(shè)幾個 例：李紅用甲、乙兩種形式分別儲蓄了 2000 元和 1000 元,一年后全部取出,扣除利息 所得稅后可得利息 43.92 元已知這兩種儲蓄的年利率的和為 3.24,問這兩種儲蓄的年利 率各是百分之幾？（公民應(yīng)交利息所得稅二利息金額X20%）.（答案：2.25 %和 0.99 %）解 ：設(shè)甲、乙這兩種形式儲蓄的年利率分別為 x、 y,2、設(shè)

4、間接未知數(shù)： 即設(shè)的不是所求量有些應(yīng)用題，若設(shè)直接未知數(shù)，則所列的方程比較復(fù)雜；若改設(shè)間 接未知數(shù)，則能列出既簡單又易解的方程例：甲、乙兩廠計劃在上月共生產(chǎn)機(jī)床 360 臺，結(jié)果甲廠完成了計劃的 112，乙廠完 成了計劃的 110，兩廠共生產(chǎn)了機(jī)床 400 臺，問上月兩廠各超額生產(chǎn)了機(jī)床多少臺？（答 案 24 臺和16 臺）解：設(shè)上月份甲廠計劃生產(chǎn)機(jī)床 x 臺，乙廠計劃生產(chǎn)機(jī)床 y 臺，3、少設(shè)未知數(shù)： 有些應(yīng)用題，要求兩個或更多個未知數(shù)，但根據(jù)各未知數(shù)之間的關(guān)系，只需設(shè)一個或少 數(shù)幾個未知數(shù)就可以求解例：怎樣把 45 分成甲、乙、丙、丁四個數(shù)，使甲數(shù)加 2，乙數(shù)減 2，丙數(shù)加倍，丁數(shù)減 半的

5、結(jié)果相等？ （答案：甲數(shù)為 8，乙數(shù)為 12，丙數(shù)為 5，丁數(shù)為 20）解 設(shè)甲數(shù)為 x，丙數(shù)為 y,則乙數(shù)為 x + 4, 丁數(shù)為 4y,4、多設(shè)未知數(shù) ： 有些應(yīng)用題,不僅要設(shè)直接未知數(shù),而且要增設(shè)輔助未知數(shù),但這些輔助未知數(shù)本身并 不需要求出,它們的作用只是為了幫助列方程,同時為了求出真正的未知數(shù)例：甲車和乙車共坐了 93 人,乙車和丙車共坐了 96 人,丙車和丁車共坐了 98 人,問甲 車和丁車共坐了多少人？（答案 95 人）思路與技巧 本題只需求甲車和丁車乘坐的人數(shù)之和, 但是若以這個量為未知數(shù), 列方程 比較困難因此,我們不妨設(shè)甲、乙、丙、丁各車乘坐的人數(shù)作為輔助未知數(shù),列出方程組

6、 來求解解 設(shè)甲、乙、丙、丁各車乘坐的人數(shù)分別為 x、y、z、u,三、列方程組解應(yīng)用題的常見題型1、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X1 倍量.例：第一個容器有 49L 水，第二個容器有 56L 水，如果將第二個容器的水倒?jié)M第一個容 器,那么第二個容器剩下的水是這個容器容量的一半；如果將第一個容器的水倒?jié)M第二個容 器，那么第一個容器剩下的水是這個容器容量的三分之一， 求這兩個容器的容量。（答案 63L， 84L）解： 設(shè)第一個容器的容量為 xL， 第二個容器的容量為 y L ,那么第二個容器倒給第一個 容器 （x49） L,剩下 56-（x 49）

7、 L 水，第一個容器倒給第二個容器（y 56） L,剩下 49（ y 56）L 水，2、產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例例：某車間有 28 名工人參加生產(chǎn)某種特制的螺絲和螺母，已知平均每人每天只能生產(chǎn)螺 絲 12個或螺母 18 個，一個螺絲裝配兩個螺母，問應(yīng)怎樣安排生產(chǎn)螺絲和螺母的工人，才能 使每天的產(chǎn)品正好配套？ （答案： 12 人生產(chǎn)螺絲， 16 人生產(chǎn)螺母）解：設(shè)每天安排 x 人生產(chǎn)螺絲， y 人生產(chǎn)螺母，3、速度問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：路程二速度X時間一般又分為相遇問題、追及問題及環(huán) 形道路問題。例：某人從甲地騎車出發(fā)，先以 12km/h 的速度下山坡

8、，后以 9km|/h 的速度過公路到達(dá) 乙地，共用 55min；返回時，按原路先以 8km）/h 的速度過公路，后以 4km/h 的速度上山坡 回到甲地，共用 1h30mi n,問甲地到乙地共多少千米？（答案：9km ）解：設(shè)甲地到乙地山坡路為 x km，公路為 y km.例：一列快車長 70m，一列慢車長 80m，若兩車同向而行，快車從追上慢車開始到離開慢 車，需要 1min；若兩車相向而行，快車從與慢車相遇到離開慢車，只需要 12s,問快車和慢 車的速度各是多少？（答案：快車的速度是 7.5m/s，慢車的速度是 5n/s）解：設(shè)快車的速度是 x m/s，慢車的速度是 y m/s，例：甲、乙

9、兩人在 200m 的環(huán)形跑道上練習(xí)競走，乙的速度比甲快，當(dāng)他們都從某地同時 背向行走時，每隔 30s 種相遇一次；同向行走時，每隔 4 分鐘相遇一次，求甲、乙兩人的競 走速度.（答案：甲 175m/min，乙 225m/min ）解：設(shè)甲的速度為 xm/min，乙的速度為 ym/min，4、 航速問題：此類問題分水中航行和風(fēng)中航行兩類，基本關(guān)系式為：順流（風(fēng)）：航速二靜水（無風(fēng)）中的速度+水（風(fēng)）速 逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無風(fēng)）中的速度水（風(fēng)）速例：甲輪從 A 碼頭順流而下，乙輪從 B 碼頭逆流而上，兩輪同時相向而行，相遇于中點， 而乙輪順流航行的速度是甲輪逆水航行的速度的2 倍，已知水流速

10、度是 4kn/h，求兩輪在靜水中的速度.（答案：甲 20km/h，乙 28km/h）解：設(shè)甲輪在靜水中的速度為 x km/h ，乙輪在靜水中的速度為 y km/h，5、 工程問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：工作量二工作效率X工作時間.一般分為兩類，一類是一般的工程問題，一類是工作總量為 1 的工程問題.例：一批機(jī)器零件共 840 個，如果甲先做 4 天，乙加入合做，那么再做 8 天才能完成； 如果乙先做 4 天，甲加入合做，那么再做 9 天才能完成，問兩人每天各做多少個機(jī)器零件？（答案： 50 個、30 個 ）解：設(shè)甲每天做 x 個機(jī)器零件，乙每天做 y 個機(jī)器零件， 例：一項工程，甲隊單獨做

11、要 12 天完成，乙隊單獨做要 15 天完成，丙隊單獨做要 20 天 完成按原定計劃，這項工程要求在 7 天內(nèi)完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊先合做若干天，以后為加 快速度，丙隊也同時加入這項工作，這樣比原定時間提前一天完成任務(wù)問甲、乙兩隊合做 了多少天？丙隊加入后又做了多少天？ （答案： 4 天，2天）解：設(shè)甲、乙兩隊先合做了 x 天，丙隊加入后又做了 y 天，6、增長率問題 ：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量X（1+增長率）=增長后的量，原量x（1 一減少率）=減少后的量.例：某中學(xué)校辦工廠今年總收入比總支出多 30000 元，計劃明年總收入比總支出多 69600 元，已知計劃明年總收入比今年增加

12、20，總支出比今年減少 8，求今年的總收入和總支 出. （答案： 1 50000 元， 1 20000 元）解：設(shè)今年的總收入為 x 元，總支出為 y 元，7、 盈虧問題：解這類問題關(guān)鍵是從盈（過剩） 、虧（不足）兩個角度來把握事物的總量. 例：為了迎接新學(xué)期開學(xué)，某服裝廠趕制一批校服，要求必須在規(guī)定時間內(nèi)完成，在生 產(chǎn)過程中，如果每天生產(chǎn) 50 套，這將還差 100 套不能如期完成任務(wù)；如果每天生產(chǎn) 56 套， 就可以超額完成 80 套，問原計劃生產(chǎn)校服的套數(shù)及原計劃規(guī)定多少天完成？（答案： 1600 套， 30 天）解：設(shè)原計劃生產(chǎn) x 套校服，原計劃規(guī)定生產(chǎn) y 天，8、 數(shù)字問題： 解

13、這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)數(shù)的概念、特征及其表示.如當(dāng) n 為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為 2n+ 1 （或 2n 1）,偶數(shù)可表示為 2n 等.有關(guān)兩位數(shù)的基本等 量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字X10 +個位數(shù)字.例：一個兩位數(shù)的個位數(shù)字比十位數(shù)字大 5，如果把個位數(shù)字與十位數(shù)字對換，所得的 新兩位數(shù)與原兩位數(shù)相加的和為 143，求這個兩位數(shù).（答案： 49 ）解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為 x，十位數(shù)字為 y，9、 幾何問題：解這類問題：根據(jù)圖形的特征，基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積、體積公式等計算公式.例：有兩個長方形，第一個長方形的長與寬之比為5 : 4,第二個長方

14、形的長與寬之比為3 : 2,第一個長方形的周長比第二個長方形的周長大112cm 第一個長方形的寬比第二個長方形的長的 2 倍還大 6cm 求這兩個長方形的面積.（答案：1620, 150）解：設(shè)第一個長方形的長與寬分別為5xcm 和 4xcm,第二個長方形的長與寬分別為 3ycm和 2ycm,10、年齡問題：解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的.例：師傅對徒弟說：“我像你這樣大時，你才 4 歲，將來當(dāng)你像我這樣大時，我已經(jīng)是52 歲的老人了” 問這位師傅與徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲？（答案：36 歲，20 歲）有三種算法1、設(shè)師傅年齡為 X,徒弟年齡為丫，根據(jù)題意得：Y-（X-Y）=4.,x+（x-y） =52，2、 設(shè)兩人年齡差為 X,師傅為丫，根據(jù)題意得：Y=4+2X,52=