第三章一元函數(shù)積分學課題十六定積分的概念與性質(zhì)

1、第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)【授課時數(shù)授課時數(shù)】【學習目標】【學習目標】 1、知道定積分和微元法的定義； 2、熟悉定積分的性質(zhì)； 3、會用定積分的幾何意義求定積分?！局?、難點】【重、難點】 重點重點：定積分的定義、幾何意義和性質(zhì)，由求曲邊梯形的面積引出定積分的定義。 難點難點：定積分的微元法，由實例講解方法。 總時數(shù)：4 學時.第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)abxyo? A 實例實例11 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積.)(xfy ) 0)( xf、x軸軸與與

2、兩兩條條直直線線ax 、)(xfy 這個曲邊梯形的面積是多少呢這個曲邊梯形的面積是多少呢?第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積. 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)播放播放 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時

3、，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分

4、的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積

5、的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，

6、矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課

7、題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積

8、和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系積和與曲邊梯形面積的關系第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性

9、質(zhì)曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 .)(iixf為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx 有限分割有限分割., 2 , 1,)(nixfAiii小曲邊梯形的面積第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)iniiniixfAA)(11曲邊梯形面

10、積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時時，趨趨近近于于零零即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長長度度當當分分割割無無限限加加細細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為近似代替近似代替無限逼近無限逼近和式極限和式極限第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 實例實例2 2 求變速直線運動的位移求變速直線運動的位移. 思路思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的位移再相加，便得到位移度看作不變，求出各小段的位移再相加，便得到位移的近似值

11、，最后通過對時間的無限細分過程求得位移的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得位移的精確值的精確值第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)(1)有限分割有限分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分位移值部分位移值某時刻的速度某時刻的速度(2)近似代替近似代替iinitvs )(1 (3)無限逼近無限逼近,max21nttt iniitvs )(lim10 位移的精確值位移的精確值和式極限和式極限第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)第三章第三章

12、 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)稱為積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)注注 意意： badxxf)( badttf)( baduuf)(0)(aadxxfabbadxxfdxxf)()(第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)且上連續(xù)在設函數(shù),)(baxf baAdxxf)(定積分是曲邊梯形的面積定積分是曲邊梯形的面積abxyoA

13、)(xfy 0)(. 1xfbaAdxxf)(定積分是曲邊梯形面積的相反數(shù)定積分是曲邊梯形面積的相反數(shù)0)(. 2xfabA)(xfy xyo第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)正負交替)(. 3xf定積分是各部分小曲邊梯形面積的代數(shù)和定積分是各部分小曲邊梯形面積的代數(shù)和.4321)(AAAAdxxfba 1A2A3A4Aabxyo)(xfy 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 例例11 用定積分表示下圖中陰影部分的面積用定積分表示下圖中陰影部分的面積.解解4A2xyoxx

14、y22-11A2A21AAA陰影022xxy令20 xx或解得,01時當，x, 022xxy.)2(0121dxxxA,20時當，x, 022xxy.)2(2022dxxxAdxxxdxxxA)2()2(202012陰影1x第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 例例22 判斷下列定積分的正負判斷下列定積分的正負.2cos) 1 (0dxx(1) 解解.) 1()2(112dxx , 02cos, 02cos)(xxxf且上連續(xù)在. 02cos0dxx由定積分的幾何意義知(2) 解解, 01, 1 , 11)(22xxxf且上連續(xù)在.

15、0) 1(112dxx由定積分的幾何意義知第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 例例33 由定積分的幾何意義求下列積分由定積分的幾何意義求下列積分.)1(21dxx解解如圖所示,由定積分的幾何意義知1A-1xyo22A2121)(AAdxxxy 22211121232-1第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 例例33 由定積分的幾何意義求下列積分由定積分的幾何意義求下列積分.1)2(112dxx解解，xy的半圓半徑為是圓心在原點112,由定積分的幾何意義知xyo半圓Adxx1

16、12121xy21212-11,如圖所示第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 例例44 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210li

17、m nnn121161lim.31 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì)：和式極限：和式極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)練練 習習 題題niiixf10)(lim被積函數(shù)積分區(qū)間積分變量的代數(shù)和各部分小曲邊梯形面積badx第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函

18、數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題( )baAf x dx曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（2）計計算算iA 的的近近似似值值iiixfA )( ,1iiixx（3）求和，得）求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 第三章第三章 一元函數(shù)

19、積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)ab xyo)(xfy （4）求極限，得）求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 badxxf)(方法方法 dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)當當所所求求量量U符符合合下下列列條條件件：第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)元素法的元素法的一般步驟一般步驟：第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六

20、 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)這種方法通常叫做元素法元素法（或微元法或微元法）應用方向：應用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等水壓力；引力和平均值等第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 例例11作直線運動的物體設以速度)(tvv 解解,21tt，t積分區(qū)間是為積分變量取作為這小區(qū)的速度以時刻)(tvttvo21)(ttdttvs)(tvv dttvds)(于是所求位移為,求這物體的連續(xù)函數(shù)上是在時間區(qū)間，ttt,21.移在這段時間內(nèi)發(fā)生的位1t2tt

21、dtt，dttttt,21上任取一小區(qū)間在得位移元素間上的運動速度,第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)思考題思考題微元法的實質(zhì)是什么？微元法的實質(zhì)是什么？思考題解答思考題解答微元法的實質(zhì)仍是微元法的實質(zhì)仍是和式極限和式極限.第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)前面我們對定積分有兩條前面我們對定積分有兩條補充規(guī)定補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，在下面

22、的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.注意注意：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,xyoab)(xfy cA1A2A證證 ,)(

23、) 1 (時是內(nèi)分點當bcac,由定積分的幾何意義得badxxf)(21AAAbccadxxfdxxf)()(第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf: 定積分對于定積分對于具有具有.則則,)()2(時不妨設外是分點當cbacxyoac)(xfy bA1A2A第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)證證),()(,xgxfba上恒有在, 0)()

24、(xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.，由定積分的幾何意義xyoab)(xfy )(xgy 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)解解, 3,時當ex, 1lnxx，x2lnln故故dxxdxxee323lnln第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)解解令令,)(xexfx 2, 0 x, 01)()2 , 0(xexf，x時當，xexfx上單調(diào)遞增在2 , 0)(),0()(fxfx，exx時即當2 , 0故故dxxdxex2020第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)xyoab)(xfy mM證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學課題十六課題十六 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì)解解,sin31)(3xxf ,