數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識梳理

1、數(shù)列求和與綜合應(yīng)用【考綱要求】1 .熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式；2 .掌握數(shù)列的通項(xiàng) an與前n項(xiàng)和$之間的關(guān)系式3 .注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律,在分析通項(xiàng)的根底上分解為根本數(shù)列求和或轉(zhuǎn)化為根本數(shù)列求和,熟 練掌握求數(shù)列的前 n項(xiàng)和的幾種常用方法；4 .能解決簡單的實(shí)際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】縱觀近幾年的高考,在解做題中,有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高,不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系,而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù),在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用, 如增長率、銀行信貸、濃度匹配、養(yǎng)老保險、圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外,還要善于觀察題

2、設(shè)的特征,聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法,迅速確定解題的方向,以提升解數(shù)列題的速度.與計算有關(guān)的問題主要有：求數(shù)列的某項(xiàng),確定數(shù)列的通項(xiàng)公式,求有窮數(shù)列或無窮數(shù)列之和,計算數(shù)列的極限,將數(shù)列與方程,與不等式,與某些幾何問題等聯(lián)系起來,從而解決有關(guān)問題有關(guān)定性問題的論證問題主要有：考察或論證數(shù)列的單調(diào)性, 將數(shù)列分類定性,考察數(shù)列的圖像特征,考察數(shù)列的極限存在與否等等.有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題： 某些與非零自然數(shù)有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題,可用數(shù)列的各項(xiàng)與之對應(yīng),然后利用數(shù)列 有關(guān)知識解答此類應(yīng)用題.數(shù)列的函數(shù)屬性： 因數(shù)列是函數(shù)的特例,故解答有關(guān)問題時,常與函數(shù)知識聯(lián)系起來考慮【典型例題】類型一：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用例

3、1.(2021荷澤一模)數(shù)列Qn的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn = n(n+1)(nW N* ).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式2假設(shè)數(shù)列bn滿足：an = 凡 +工+1b,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；3 1 31 3 131令Cn =也任WN* ,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn. 4【解析】1當(dāng)n=1時,21=6=2 當(dāng) n 22 時,an =Sn Sn=n(n +1 )(n 1 )n = 2n知a1 =2滿足該式,數(shù)列a n 的通項(xiàng)公式為an = 2n(2)；飛=旦十£十裊十十其 3 1 32 1 33 13n 1. a=紅十工十工十十工十力 n 3 1 32 1 33 13n 1 3n 1 1-得an +

4、-an =用±7=2即0書=24/+1) 3+1_ n*,bn -2 31 n Na aan bn _n_ n = qn" = n 31 = n 3n423n.Tn = gc2c3 '二十 cn = 1 3 2 3 3 3 '二十 n 31 2 -：n令 Hn =1父3+2父32 +3父33 + nx3n 234n+1那么3Hn=1M3 +2父3 +3父3 +- +門父3 2 3 n 3 1-3n-得：2Hn =3 +32 +33 +,+3n -n3n+ =n31 -32n -13n 1 3Hn 二：,數(shù)列Cn 的前n項(xiàng)和為Tn2n -13n 1 3 n n

5、 1=-+ 1【高清課堂：函數(shù)的極值和最值 388566典型例題三】2n【變式1】數(shù)列an和bn滿足：a1=九,1書=an+n 4, bn = (1)(泮3n + 21)3其中九為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).(I)對任意實(shí)數(shù) 九,證實(shí)數(shù)列an不是等比數(shù)列；(n)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證實(shí)你的結(jié)論； 2解析：(I)假設(shè)存在實(shí)數(shù) 九,使得數(shù)列an是等比數(shù)列,那么a1, a2, 23必然滿足a2 =a1快24a1 一 ',a? = _ 1 3,a3 =_ 1 - 4 392由a2 =a1 a3得9=0,顯然矛盾,即不存在實(shí)數(shù) 人使得數(shù)列an是等比數(shù)列.(n)根據(jù)等比數(shù)列的定義：bn i(-1

6、)n 1an 1 -3(n 1) 214 一(-1)n3n 212-2an n-4-3(n 1) 21= an - 3n 21-|an-2n 14二 an - 3n 212an-3n212=,=3an-3n213,2,即 bn 1 = -bn 3又b1 = Te -3 21 = -(18)所以當(dāng)1 = 18時,數(shù)列bn不是等比數(shù)列；當(dāng) 九# 18時,數(shù)列bn是等比數(shù)列.【變式2】(2021遵義校級模擬)設(shè)匕)是公差大于零的等差數(shù)列,a=2, a3 = a22-10求an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)?bn?是以函數(shù)y=4sin2nx的最小正周期為首項(xiàng),以 3為公比的等比數(shù)列,求數(shù)列 40的前項(xiàng)和Sn.【

7、解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d那么:at =2丘/口一人 q22 解得d =2或 =.(舍去)312d = a1 d -10'：an =2 2 n-1 =2n* *21 -cos2二 x2二(2) * y =4sin jix=4m=22cos2nx 的最小正周期為 T=122 二n 1n 1bi=1,q=3. bn = 3 . an 'bn = 2n 3,Sn =：2-3° 廠4 31、2n-3n1=2 2n n 1 -3n1 -32110n二 n n - - - 32 2類型二：數(shù)列與不等式例2. 2021天津高考?aj是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d ,對任意

8、的nwN*,bn是 an和an中的等比中項(xiàng).(i )設(shè)酬=b；+ -吊,nW N ,求證:g是等差數(shù)列;* n 11N ,求證：Z <2. kdTk 2d2. J 11 J''=2kaTk2dk(k 1) 2d2111(1 -2 2+ 11、+一 -)=n n 12d21-)<7 ,得證2d2舉一反三：【變式 1】在數(shù)歹U an中,a1=2, an+1=4an-3n+1 , n N * .(2)證實(shí)數(shù)列a n-n是等比數(shù)列; 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；證實(shí)不等式Sn+ <4Sn,對任意n亡N *皆成立.解析:證實(shí)：由 an卡=4an 3n 十1 , ,an由一

9、(n + 1) = 4(an n) ne N *又a1=1 ,數(shù)列a n-n是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列2解：由1可知 an-n=4n-1,a n=4n-1 +nn-1Sn=a1+a2+an=(4 +1)+(4 +2) + +(4 +n)1 -4n n(n 1) _ 4n 1 n(n 1)1 -4k 2(n )設(shè) a1 =d,Tn =S (1 ) bk ,n w kT【斛析】cn = bn 1 - bn - an 1an 2 - anan 1 - 2d an 12 .cn 由 一cn =2d(an ± 一 an由)=2d 為值.g 為等差數(shù)列(*)；"k 2_, n( n

10、 -1),2,2Tn =X -1 ) bk+q + +c2n-1-n.+*4d =nc,+2d n(n-1)ka2由 c1 =b； -匕2 = a2a3 a1a2 = 2da2 = 2d (a1 d ) = 4d2 將6 =4d2代入(*)式得 Tn =2d2n(n+1)(3)證實(shí)：X任意n w N *n 1 -1 (n 1)(n 2)1 21 ,=(3n n -4) = -(n -1)(3n 4)2 2 n>1,n-1 >0, 3n+4>01Sn 1 -4Sn = -(n -1)(3n 4) < 02即 Sn+1< 4Sn【變式2】an是公比為q的等比數(shù)列,且

11、為, a3, a2成等差數(shù)列.(I )求q的值；(n )設(shè)bn是以2為首項(xiàng),q為公差的等差數(shù)列,其前 n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n>2時,比較Sn與bn的大小, 并說明理由. kF r 一 ,、 r i-t-f-、w一i 2解析：(I )由題設(shè) 2a3=a1+a2,即 2a1q=a1+aq''' a1 豐 0,2q -q-1=0 ,. . q =1 或 q =-, 2Sn -2n2當(dāng)n>2時,Sn-bn = Sn(n-1)(n 2) 0,故 SW 1右 q 二 一,22-n(n-1), 1、 -n 9n 那么 Sn =2n(-)二224當(dāng)n>2時,Sn-bn=S

12、n-1=-4故對于nCM,當(dāng)2W nW 9時,Sn>bn；當(dāng)n=10時,【變式3】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1S = bn；當(dāng) n> 11 時,Sn<bn.n_ _ *an+ =Sn +3 , nu N .n(n -1) , n 3n 1 二(I )設(shè)bn =Sn -3n ,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(n)右an+>an,n = N,求a的取值范圍.解析：(1)依題意,Sn書一Sn =an當(dāng)=Sn十3n,即Sn書=2Sn+3n ,由此得 Sn+-3n+ =2(Sn -3n).因此,所求通項(xiàng)公式為 bn =Sn 3n =(a3)2n,ne N* .(n)由知 Sn =3n+(a 3)2n n N*,于是,當(dāng)n22時,nn J n Jn -2n 1n 2an =Sn