切比雪夫低通濾波器設(shè)計

1、摘要隨著信息和數(shù)字時代的到來， 數(shù)字信號處理已成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技 術(shù)領(lǐng)域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中， 由于信號中經(jīng)常混有各種復(fù)雜成分， 因此很多信號 的處理都是基于濾波器而進(jìn)行的。 所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著舉足 輕重的作用。 而數(shù)字濾波器的設(shè)計都要以模擬濾波器為基礎(chǔ)的， 這是因為模擬濾 波器的理論和設(shè)計方方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟， 且有典型的模擬濾波器供我們 選擇。，如巴特沃思濾波器、切比雪夫濾波器等。本次課程設(shè)計將運用 MATLAB 設(shè)計一個基于切比雪夫低通濾波器，并出所設(shè)計濾 波器的幅度及幅度衰減特性。關(guān)鍵詞：模擬低通 濾波 切比雪夫1 課題描述數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要

2、工具之一，它通過數(shù)值運算處理改變輸入信號 所含頻率成分的相對比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，而數(shù)字濾波器處理精度高、體積小、穩(wěn)定、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn) 模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊功能。故本課題使用 MATLAB 信號處理箱和運用切比 雪夫法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。2 設(shè)計原理切比雪夫濾波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。 因此，若濾波器的 技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布， 這樣

3、往往可 以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調(diào)特性的逼 近方法可以實現(xiàn)這一點。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度 既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的(稱為 I 型切比雪夫濾波器)， 也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的(稱為 II 型切比雪夫濾波器)。 I 型切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)是_ 1_|Hc(j )|2=1 2CN(/c)式中為 N 階切比雪夫多項式，定義為1CN(x) cos(N cos x)從定義切比雪夫多項式可以直接得出由CN(X)和CN1(X)求CN1(X)的遞推公式。 將三角恒等式代入式，得CN 1(x)=2xCN(

4、 X)CN 1( X)2從式我們注意到，當(dāng) 0vx1 時，cos1x是. 2虛數(shù)，所以CN(X)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考，|HC(j )|對于/2/0P1 呈現(xiàn)出在 1 和 1/(1)之間的波動；而對于P 1 單調(diào)地減小。需要用三個參量來確定該濾波器：，P和 N。在典型的設(shè)計中，用容許的通帶波紋來確定 ，而用希望的通帶截止頻率來確定c。然后選擇合適的階次 N,以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。定義允許的通帶最大衰減P用下式表示：1為了求切比雪夫濾波器在橢圓上極點的位置，我們首先要這樣確定，在大圓和小圓上以等角度等間隔排列的那些點：這些點對于虛軸呈對稱分布，并且沒有一 個點落在虛軸上；但當(dāng) N

5、為奇數(shù)時要有一個點落在實軸上，而當(dāng)N 為偶數(shù)時，就都不會落在實軸上。切比雪夫濾波器的極點落在橢圓上，起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大 圓上點的縱坐標(biāo)來表示，起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點的橫坐標(biāo)來表示。濾波器的分類（1）從功能上分；低、帶、高、帶阻。（2）從實現(xiàn)方法上分：FIR、IIR（3） 從設(shè)計方法上來分：Chebyshev（切比雪夫），Butterworth （巴特沃斯）（4）從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器 模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)設(shè)ha（j ）是一個模擬濾波器的頻率響應(yīng)，則基于平方幅度響應(yīng)J（ ） Ha（j ）的低通濾波器技術(shù)指標(biāo)為：0 |Ha（j ）2s | |（2-2-1）Ha(j )|21,其中

6、為通帶波動系數(shù)，p和s是通帶和阻帶邊緣頻率。A 為阻帶衰減系數(shù)。這些指標(biāo)如圖所示。2Ha(j )(2-2-2)0從圖知必須滿足(2-2-3)其中參數(shù) 和 A 是數(shù)字濾波器指標(biāo)。切比雪夫 I 型濾波器切比雪夫低通濾波器的設(shè)計原理切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋特性。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi) 是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫 I 型濾波器，振幅特性在阻帶內(nèi)是 等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫 II 型濾波器，如圖所示分別畫出了濾 波器的幅頻特性和衰減函數(shù)。為對p的歸一化頻率定義允許的通帶內(nèi)最大衰減p用下式表示(a以切比雪夫 I 型為例介紹其設(shè)計原理幅度平方函數(shù)用|H(j )2

7、表示2H(j )動的程度， 越大，波動幅度也越大。1（2-3-1）12CN(p)式中，為小于 1 的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波p稱為通帶截止頻率。令/P，稱円山 6I w, （jI(2-3-11)這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減p,可求出參數(shù)。階數(shù) N 影響過渡帶的寬度, 同時也影響通帶內(nèi)波動的疏密，因為 N 等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個數(shù)。 設(shè)阻帶的起點頻率為S，則有，由s1，有pHajc按照（2-3-1 ）式，有式中因此pioigmaxHa(j )2min Ha(j )max2ha(j )1minha( j )pioig(i2 0.1210(2-3-2)(2-3-3)(2-3-4)(2-3-H

8、(js)2(2-3-7)2CN2()pCN sch Narch(2-3-8)Hajs可以解出arch -Hajsarchs(2-3-9)s pCharchN(2-3-10)Hajs3dB 截止頻率用c表示,(2-3-20)i 1pChNTarch1(2-3-12)Gap2“ 1Np匸i 1（2-3-13）i去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為H sGapN p(2-3-14)s p p2NN1pi 1Pip切比雪夫低通濾波器的設(shè)計步驟（1）確疋低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 邊帶頻率p，通帶最大衰減p、阻帶最大衰減s、阻帶截至頻率s，它們滿足p 10ig1(2-3-15)Hajp2經(jīng)過一系列推論得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為1s

9、ioig(2-3-16)12Ha js（2）求濾波器階數(shù) N 和參數(shù)100.1 s1100.1 p1spKi1archki1archs(2-3-17)(2-3-18)(2-3-19)這樣，先由（2-18）式求出 K11，代入（2-3-19），求出階數(shù) N,最后取大于或等于 N 的最小整數(shù)。（3）求歸一化系統(tǒng)函數(shù) GapGapPi(2-3-21)i 1(4)將去歸一化，得到實際的 HasHas G pp s(2-3-21)_ p233 用 MATLAB 設(shè)計切比雪夫低通濾波器(1)乙 p,G cheblap N, Rs該格式用于計算 N 階切比雪夫 I 型歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)的零極點和增益因

10、 子。返回長度為 N 的列向量 Z 和 P,分別給出 N 個零點和極點的位置。 Rs 是阻 帶最小衰減。(2)N,wso cheblord wp,ws,Rp,As該格式用于計算切比雪夫 I 型數(shù)字濾波器的階數(shù) N 和阻帶截止頻率 wso。調(diào)用參 數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。(3)N,wso cheblord wp,ws, Rp, As, s該格式用于計算切比雪夫 I 型模擬濾波器的階數(shù) N 和阻帶截止頻率 wso。wp 和 ws 是實際模擬角頻率。(4)B, A chebN ,Rs wso,ftype)該格式用于計算 N 階切比雪夫 I 型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù) 向量B 和 Ao調(diào)用參數(shù) N 和 wso 分別為切比雪夫 I 型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截 止頻率的歸一化值。(5)B, A cheby；N, Rp, wso, ftype, s)該格式用于計算 N 階切比雪夫 I 型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù) 向量B 和 Ao調(diào)用參數(shù) N 和 wso 分別為切比雪夫 I 型模擬濾波器的階數(shù)和阻帶截 止頻率的歸一化值