空間角的求法

1、空間角的求法一、異面直線所成角的求法平移法常見三種平移方法：直接平移；中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點）；補(bǔ)形平移法。“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形 法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。（1）直接平移法4J2例1如圖，PA_矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD與PC所成角的正切值。（）5（2 ）中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平 面問題，解三角形求之。例2設(shè)S是正三角形 ABC所在平面外的一點， SA = SB= SC,且.ASB = . BSC = . C

2、SA =,2M、N分別是AB和SC的中點，求異面直線 SM與BN所成的角的余弦值。（）5（3 ）補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個相同的幾何體，以利于找出平行線。例3在正方體ABC A1B1C1D1中，E是CC1的中點，求直線AC與EDi所成角的余弦值。、線面角的三種求法1. 直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1四面體 ABCS中，SA，SB，SC兩兩垂直，/ SBA=45，/ SBC=60 , M 為AB的中點，求:（1） BC與平面SAB

3、所成的角；（60°（2） SC與平面ABC所成的角。B（“垂線”是相對的,SC是面SAB的垂線，又是面ABC的斜線。作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性7（4）質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的 垂線。）h U2. 利用公式si=:其中。是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，I是斜線段的長，其中求l出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可用三棱錐的體積自等來求垂 線段的長。例2長方體ABCD-A iBiCiDi中AB=3 , BC=2 ,AiA= 4，求AB與面AB iCiD所成的角的正弦值。3.利用公式COST -C

4、OS4 COS :如圖，若OA為平面的一條斜線， O為斜足，OB為OA在面:- 內(nèi)的射影，OC為面內(nèi)的一條直線，其中 二為OA與OC所成的角，6為0A與0B所成的角，即線面角， R為0B與0C所成的角，那么 COST - COSR COSd2 , 它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成 的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）（三）A.面角的四種求法例3已知直線0A，OB，0C兩兩所成的角為60°求直線0A與面OBC所成的角的余弦值。1.定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩

5、面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角 的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S AM B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）;在另一半平面 ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂 線（如GF）,這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解 三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐S - ABCD中，底面ABCD為矩形，SD _底面ABCD，點M是側(cè)棱SC的中點，AD“2，DC 二 SD=2，ZABM =60，求二面角S - AM -B的大小。2.三垂線法：三垂線定

6、理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它 也和這條斜線垂直通常當(dāng)點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）在證明AD丄平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PABL平面ABCD點P就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD勺垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。例2如圖，四棱錐P - ABCD中，底面ABCD是矩形.且AB =3, AD = 2 , PA = 2 , PD = 2、2 , PAB = 60 (I)求異面直線 PC與AD所成的角的大小;39(H)求二面角 P_BD_A的正切值.(-)4p3. 補(bǔ)棱法：本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(稱為補(bǔ)棱)，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)4.射影面積法(COSTS射影s斜面Di凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式cost - §射)求出二面角的大小。s斜平面沒有明確的交線時，一般用補(bǔ)棱法解決 例3如圖，E為正方體 ABCD AiBiCiDi的棱CCi的中點，求平面ABiE和底面A1B1C1D