立體幾何證明垂直專項(xiàng)含練習(xí)題及答案

1、立體幾何證明垂直一. 復(fù)習(xí)引入1空間兩條直線的位置關(guān)系有：三種。2. （公理4）平行于同一條直線的兩條直線互相.3. 直線與平面的位置關(guān)系有三種。4. 直線與平面平行判定定理:如果的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行5. 直線與平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線 的平面和這個(gè)平面相交，那么.6. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系.7. 判定定理1：如果一個(gè)平面內(nèi)有直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩 個(gè)平面平行.8. 線面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面.9. 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的平行10. 如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平

2、面內(nèi)的所有直線都于另一個(gè)平面二. 知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、直線和平面垂直的定義與判定定義判定語(yǔ)言描述如果直線1和平面a內(nèi)的任 意一條直線都垂直，我們就 說(shuō)直線1與平面莊互相垂直， 記作1丄a一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩 條相父直線都垂直，則這條直 線與該平面垂直.圖形f呂丨/條件b為平面a內(nèi)的任一直線, 一直線總有丨丄a而丨對(duì)這I 丄 m , I 丄 n , m A n = B, mu a , nu a結(jié)論I丄aI丄a要點(diǎn)詮釋：定義中“平面 二內(nèi)的任意一條直線”就是指“平面 二內(nèi)的所有直線”，這與“無(wú)數(shù)條直線”不同（線線垂直；線面垂直）知識(shí)點(diǎn)二、直線和平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)語(yǔ)言描述條直線垂直于個(gè)平面，那么

3、這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行圖形14條件1丄G懦匸/丄化曲丄既：結(jié)論丿丄耕Iflm知識(shí)點(diǎn)三、二面角I.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角（）.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.記作二面角:-AB - . （簡(jiǎn)記 P AB - Q ）二面角的平面角的三個(gè)特征:i .點(diǎn)在棱上ii .線在面內(nèi)iii.與棱垂直.二面角的平面角：在二面角:-丨-1的棱I上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半 平面 內(nèi)分別作垂直于棱丨的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的 AOB叫做二 面角的平面角.作用：衡量二面角的大??；范圍:0° 心:：

4、:1800.知識(shí)點(diǎn)四、平面和平面垂直的定義和判定定義判定文字描述兩個(gè)平面相交，如果它們所 成的二面角是直二面角，就 說(shuō)這兩個(gè)平面垂直.一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直圖形PI m匹/k;/結(jié)果aAp af=90° af/丄 撫J ua丄戸(垂直問(wèn)題中要注意題目中的文字表述，特別是“任何”“隨意”“無(wú)數(shù)”等字眼)常用證明垂直的方法而證明線線垂直一般立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線線垂直, 有以下的一些方法：(1) 通過(guò)“平移”。(2) 利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。(3) 利用勾股定理。(4) 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角/ 12(1) 通過(guò)“平移”，根據(jù)若a

5、/ lb,且b丄平面a,則a丄平面a1.在四棱錐中，為正三角形，丄平面，/, 求證：丄平面.丄，E為PD中點(diǎn).2DAECP2.如圖，四棱錐P的底面是正方形，丄底面，/ 45。，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).求證：平面丄平面；P(第 2題(2 )利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)3、在三棱錐 PABC 中，AC=BC=2 , . ACB =90 ,(I)求證：PC _ AB ；PP(3)利用勾股定理4.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA_CD,PA = 1,PD “2. 求證:PA _平面ABCD ；(4 )利用直徑所對(duì)的圓周角是直角5、如圖，是圓0的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，丄平面(1)求證：

6、平面丄平面；課堂及課后練習(xí)題：1.判斷下列命題是否正確，對(duì)的打“V” ，錯(cuò)誤的打“X”。(1) 垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行()(2) 垂直于同一平面的兩條直線互相平行()(3) 條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線垂直()2.已知直線和平面，且a _ b, a _ ：,則b與的位置關(guān)系是3.女口圖所示，在四棱錐P ABCD中，AB _平面PAD , AB/CD , PD二AD , E是PB的中點(diǎn)，1F是CD上的點(diǎn)，且DF =-AB , PH為-PAD中AD邊上的高。(1)證明：PH _平面ABCD ;590 o4.如圖所示，四棱錐一底面是直角梯形BA_AD, CD_AD

7、, CD = 2AB, PA _底面,E為的中點(diǎn)，=。 證明:BE _平面PDC ；5.如圖，在三棱錐P-ABC中，/ PAB是等邊三角形，證明：丄6.如圖，四面體中，O E分別是、的中點(diǎn)，CA =CB =CD =BD =2, AB =AD 二,2.(1) 求證：AO _平面；(2) 求異面直線與所成角的大小;C7.如圖，四棱錐S-ABCD中，AB_BC , BC CD，側(cè)面SAB為 等邊三角形，AB 二 BC =2，CD =SD =1 .(I)證明：SD_平面SAB；8.如圖，在圓錐點(diǎn).證明：平面P0中，已知P0 = 4 , o 0的直徑AB=2是狐的中點(diǎn)，D為AC的中POD _ 平面 PA

8、C ；P課堂及課后練習(xí)題答案:(1) V (2) V(3)v2. b :或者 b 二3.證明：因?yàn)镻H為PAD中AD邊上的高，所以PH _ AD，又因?yàn)锳B _平面PAD，所以AB_PH， AB" AD=A，所以 PH _ 平面 ABCD3. 分析：取的中點(diǎn)F,易證，易證丄平面，從而B(niǎo)E_平面PDC.5.證明：因?yàn)?PAB是等邊三角形， PAC=/PBC=90 ,所以 Rt. PBC 二 Rt PAC ,可得 AC 二 BC。如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD , CD ,貝U PD _ AB, CD _ AB,所以AB _平面PDC ,所以AB _ PC。6. (1)證明：連結(jié)BO 二 DO, AB 二 AD, AO _ BD.：BO =DO, BC =CD, CO _ BD.在 AOC中，由已知可得 AO = 1,CO二、3.而 AC =2,AO2 CO2 = AC2,AOC -90o,即 AO _ OC.TBD|OC =O, AO _ 平面 BCD7.(I )