04自主招生物理講義：質(zhì)心的計(jì)算拓展【講師版】

1、自主招生物理質(zhì)心的計(jì)算拓展知識(shí)定位*廣質(zhì)心的計(jì)算雖然在自主招生的考試中出現(xiàn)的頻率并不高，主要出現(xiàn)在2009年以前北約、華約尚未成立。但是對(duì)于質(zhì)心的計(jì)算的鍛煉，對(duì)于掌握微元法、 一些微積分知識(shí)的應(yīng)用均有諸多裨益。3知識(shí)梳理一、懸掛法分閨次將物體懸掛起來.限次懸線的延長(zhǎng)線交點(diǎn)就是謨物體的癡心位置.如吃1 1所?K，韋"一'1塊薄板具重心未知.先在J點(diǎn)把掰板“#弋7,懸掛起來由二力平衡條件卸卜板所學(xué)的重力跟懸線的杭力在 一山、問一式線上板的電心一宏在通過*1點(diǎn)的15宜線 V 上.然后 J n/住另一點(diǎn)。把板懸掛起來板的用心也一定在通過匚點(diǎn)的騷討, rr-）級(jí)仃；上,和門的交點(diǎn)”.就

2、是薄板此心的位置.廣 產(chǎn)懸掛法是一種實(shí)整方法.對(duì)于厚實(shí)物體，其里心在內(nèi)部，用0懸掛法就酢久推確定位.因此息社法有一定的局限性,只適合 于罐定薄形物體的重心.二，填補(bǔ)法鎮(zhèn)補(bǔ)法就是將不現(xiàn)則物體通過填祚成為均勻規(guī)則的物體.利用同同平行力的合成法則 （各分力對(duì)合力作用點(diǎn)的合力矩為零）來確定物體承心位置的方法.三坐標(biāo)法坐標(biāo)法是求解由均勻物體組成的*較為遼雜的“集合體”重心的一種逋用方法.設(shè)“集合 體”由n個(gè)庾點(diǎn)iR成.牌/儲(chǔ)”工，和（工工.分別表蘇各峨點(diǎn)的庾量和重心坐 標(biāo)1則整體癡心的坐標(biāo)為一般我們遇到的物體尊心她一雄有線或二維平面分布的.若為：維營問分布.同理可用 到G的坐標(biāo).四，微元法從研究對(duì)象的極

3、小部分f微元）分析人手，達(dá)到解決事物整體問廛的方法叫撇元法.在微 無線度內(nèi),研究對(duì)象得到彷化，容易分析處理.求物體重心時(shí).行時(shí)得要我們將物體分割成多 個(gè)厥元這些微幾之間存在各種關(guān)聯(lián)，彼此“以相消在最后的結(jié)果中，不包含做兀因素這 是意元法求重心的最大優(yōu)點(diǎn).五、帕普斯定理帕普斯（Pwpus.約300 350年）是南臍亞歷山大里亞時(shí)期著名的兒何學(xué)家,普系統(tǒng)總 結(jié)了古帶臍的數(shù)學(xué)成果,撰寫了八崔本的數(shù)學(xué)匯編，It中的第七卷中有一個(gè)著名的定理， 現(xiàn)稱為帕普斯定理”，內(nèi)容如F ：若一平面閉合曲線空曲線外但在同一平面內(nèi)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周.則轉(zhuǎn)出來的形體體積等于 閉合曲線面枳乘M其重心所經(jīng)過的圓周.力例題精講R、R/

4、2、R的最大圓m/4,根【試題來源】2009年同濟(jì)大學(xué)自主招生【題目】1、無窮多個(gè)質(zhì)量分布均勻分布的圓環(huán)半徑依次為R/4、R/8相切于一公共點(diǎn)，則該系統(tǒng)質(zhì)心距半徑為 的圓心距離為多少？【答案】2/3R【解析】如圖建立x軸，從大到小各個(gè)圓環(huán)質(zhì)量設(shè)為m m/2,據(jù)質(zhì)心計(jì)算公式：mR+ 0.5m?0.5R+ 0.25m ?0.25R?= -= 2/3?m + 0.5m + 0.25m【知識(shí)點(diǎn)】質(zhì)心的計(jì)算拓展【難度系數(shù)】3【試題來源】更高更妙的物理【題目】2、求質(zhì)量均勻分布、半徑為 R的半圓薄盤的質(zhì)心位置?！敬鸢浮?R/3 %【解析】方法一：解析如圖所示.由對(duì)林姓可知閱盤的*心肯定在半搔(加上，具體在

5、哪里？我們客試用At無法來定量項(xiàng)亢點(diǎn)心的住工.將半圓食分割成川茶與直控AD平行的細(xì)箕條，使毋條網(wǎng)線部分相對(duì) 于同心門的前度為M =不該蹲回叁的單位面積的質(zhì)量為中時(shí)于第i個(gè) 犍無而言,它的面積Sp = 2KL5。方力卅Wed ； ML盾應(yīng)的前里川=p * 2Rco8(r A9)弁共被閱盤的重心。到圜心3的距離為八則S、】，* 2Rcos(ri/?) Rsin(/A/7)乙山-£.一 2也天, 工cosL (i7) * sinGM) = M siM31M ) 氟*；，1*fl .“ + 1垠據(jù)數(shù)學(xué)公式卜索門2fHl翁由3 7 sin 另/ sin - j sin/M =*=-JCHinT

6、上式化為X 07=2 n*23Msin 彳 &?sin號(hào)in3"43八sin3A與31A l.連一步化簡(jiǎn)得sinfR - j' r Afl in1 + 13M . 2 srn sin jSZ4R就,方法二:解析如閨所示以半篇&支柱的中京口為燎忐鹿也直角坐標(biāo)率.由時(shí)稱性可如半孫叁的童心一定在袖上.設(shè)重心離n點(diǎn)的距圈為 小根據(jù)獨(dú)善斯定理可進(jìn)行如下操作*豆不用盤的直徑冷軸,旋樣360二礙到 一減沐成體的體積為金式“，生心在襤林過程中通過的路徑長(zhǎng)為2癖.率回盤的而* V = S * I 7 即 '宜*£31律迎="Jn【知識(shí)點(diǎn)】質(zhì)心的計(jì)算拓

7、展【難度系數(shù)】【試題來源】更高更妙的物理【題目】3、如圖所示，將一根粗細(xì)不均勻的棒水平放在伸 出的兩個(gè)手指上，緩慢移動(dòng)兩手指，則它們總是在棒的重 心位置相遇，試解釋這個(gè)現(xiàn)象?！敬鸢浮恳娊馕觥窘馕觥咳糇笫种副扔沂种鸽x棒的重心遠(yuǎn)， 則左手指受的壓力小于右手指受的壓力， 最大靜 摩擦力f左f右，故左手指先滑動(dòng)。一旦左手指比右手指離重心較近時(shí)，則f左f右，左手指停止滑動(dòng)，右手指開始滑動(dòng)。如此反復(fù)，最終兩手指會(huì)在重心位置相遇?！局R(shí)點(diǎn)】質(zhì)心的計(jì)算拓展【難度系數(shù)】3:w習(xí)題演練【試題來源】更高更妙的物理【題目】1、如圖所示，半徑為R的均勻薄殼分成兩部分并牢固地連接起來, 求所得高腳杯重心的高度?！敬鸢浮縍【解析】將高周杯分成 條條高為M喙K的水平小腰喈，耳條小腰帶的重心 均位半程為的網(wǎng)的中心，它仃分布在逆球心的岐T栽上,設(shè)球無單位面枳的出后為門加十霆帶亮幽的腳積等于H 2m 1 -2靠h