2020山西省中考數(shù)學專題復習“數(shù)學文化”專練

1、數(shù)學文化”專練(5 年 7 考:2019.21, 2018.21, 2017.9, 2017.22, 2016.10, 2016.19, 2015.18;且上海、河南、安徽、江西、福建、廣西北部灣經濟區(qū)、長沙、蘭州等均考查）中國加減九章算術一一正負術P27閱讀與思考、北師七上 P25讀一讀、華師七上 P42閱讀材料.即“正負術方代數(shù)學著九章算術的“方程一早，在世界數(shù)學史上首次正式引入負數(shù)藥口法法則為：“異名相除，同名相益；正無入正之，負無入負之.并建立了正負數(shù).”即異號兩數(shù)相加，絕對值相減；同號兩數(shù)相加，絕對值相加；0加正數(shù)為正，0加負數(shù)為負.類似地有減法法則：“同名相除，異名相益；正無入負之

2、，負無入正之九章算術中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫，網(wǎng)心敗馬員阪，若上 10c記作+ 10C,則3c表示氣溫為（A.零上3 CB.零下3CC.零上7cD.零下7 C2.中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負數(shù).根據(jù)劉徽的這種表示法，觀察圖，可推算圖中所得的數(shù)值A. 7B. - 1表示:(4 1 )+-1 )二0國C. 1D. ±1表11思考.在算籌計數(shù)法中，有縱式和橫式兩種方式.在縱式中，縱擺的每根算籌都代擺一根橫的代表5.橫式中則是橫擺的每一根都代表1,

3、其上面縱擺的一根代表5.而且規(guī)定，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空123456789蟻式 I II III Illi Hill T TT HT nn慢式_ =三叁三J_=L，!3.算籌是古代用來進行計算的工具，它是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式 有縱扁種表示-個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)-樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間：個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示；十位、千位、十萬位用橫式表示;_ Ill T用空位來代替，以此類推.例如3306用算籌表示就是 =U,則2022用算籌可表示為（=114.閱讀下列材料

4、，完成相應任務 .我國古代數(shù)學著作九章算術的“方程章里，一次方程組是由算籌布置而成的，如圖圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x, y的系數(shù)與相應的常數(shù)項，把圖 所示的算籌圖用我們x+ 4y= 10,現(xiàn)在所熟悉的方程組的形式表述出來，就是6x + 11y= 34.=|國圉第4題圖任務：請你根據(jù)圖所示的算籌圖，列出方程組，并求解 5 .閱讀下列材料，完成相應任務 .古代的算籌實際就是用小棒將方程組中每一項的系數(shù)表示了出來.算籌還可以用表表示:3 2 1 392 3 1 341 2 3 26這種由數(shù)排成的表叫矩陣，可以看出矩陣與算籌是一致的任務：5247323根據(jù)材料中的方法，寫出矩陣732

5、3 所對應的方程組，并解方程組九旗算術一一方程術IpP84 閱思考.九章算術是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，它的代數(shù)成就主要包246個與生產、生括開史貝木相力國小，其中方程術是九章算術最高的數(shù)學成就，書中收集了 活實踐有聯(lián)系的應用問題6 .九章算術'折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意10尺)，-陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為()A. x2 6=(10x)2B. x2-62=(10x)2C. x2+6=(10 x)2D. x2+62=(1

6、0 x)27 .中國的九章算術是世界現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉之一，其中有一問題：“今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.問牛羊各直金幾何？”譯文：今有牛 5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩.問牛、羊每頭各值金多少？設牛、羊每頭各值金 x兩、y兩，依題意，可列出方程組為8 .盈不足術是中國古代解決盈虧類問題的一種算術方法 .中國古代數(shù)學名著九章算術 中，專辟一章 名為“盈不足”.該章第一個問題大意是“有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元.問該物品售價為多少元？” ，則該物品售價為 元.九旗算術勾股網(wǎng)股定理求解各種問題，絕大部分是與當時社會生活密

7、切相關，并提出了勾股數(shù)的:早了近3個世紀.9 .九章算術是東方數(shù)學思想之源， 該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何.” 其意舞：“嘴勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內 切圓的直徑是多少步.”該問題的答案是 步.10 .閱讀下列材料，完成相應任務 .九章算術與幾何原本并稱為現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉，九章算術系統(tǒng)地記載了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，標志著以籌算為基礎的中國古代數(shù)學體系的正式形成，體現(xiàn)了我國古代勞動人民的智 慧，下面舉一例：原文：今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？譯文:如圖，今有RtAABC,勾（短直角邊 BC）長為5步，股（長直角邊

8、AB）長為12步，問該直角 三角形容納的正方形 BNML的邊長MN是多少步？原解：所求正方形的邊長為：勾長X股長 5步X 12步_60 止勾長+股長=5步+12步=17 （）.任務：請你用所學的知識驗證原解的正確性 .a x c第10題圖11 .閱讀下列材料，完成相應任務.引葭赴岸，適與岸齊九章算術卷九 “勾股”中記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺問葭長幾何譯文：今有一個池塘，其底面是邊長為1丈的正方形，蘆葦生長在中央，長出水面1尺.將蘆葦向池岸 牽引，恰好與水岸齊，問蘆葦?shù)拈L度(一丈等于 10尺).任務：(1)線段AF的長為 尺，線段EF的長為 尺;(2)求蘆葦?shù)拈L度.孫子算經一一方程

9、H|144閱讀”料.孫子算經是中國古代重要的數(shù)學著作 .成書大約在四、五世紀，也就是大 約-生平和"寫年不詳.傳本的孫子算經共三卷.卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和 籌算乘除法，卷中舉例說明籌算分數(shù)算法和籌算開平方法，卷下第 31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始 祖.12.我國古代數(shù)學著孫子算經中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九A是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐.問人數(shù)和車數(shù)各多少？設車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A. 3x- 2=2x+ 9B. 3 （x 2） = 2x+9C. |+ 2 = 1-9D. 3 （x-2） = 2 （x

10、+9）3213.我國古代數(shù)學名著孫子算經中記載了一道數(shù)學趣題：一百馬，一百瓦，大馬一個拖三個，小 馬三個拖一個，大意是：100匹馬恰好拉了 100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬，多少匹小馬？若設大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程式組為（）x+ y= 100 A.3x+ 3y= 100x+ y= 100 B.x+ 3y= 100x+ y= 100C. 0 , 13x+3y= 100x+ y= 100 D.3x+ y= 10014.我國古代數(shù)學巨著孫子算經中的“雞兔同籠”題為:“今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭,卜有九十四足.問雉兔各幾何”.正確答案是（A.雞2

11、4只，兔11只B.雞23只，兔12只C.雞11只，兔24只D.雞12只，兔23只算法統(tǒng)宗一一方程算法統(tǒng)宗全稱新編直指算法統(tǒng)宗，是中國古代數(shù)學名著， 程大位著.算法統(tǒng)宗17卷，卷1、卷2學數(shù)和度量衡單位以及珠算盤式圖、珠算各種算法口訣等，并舉例說明具體用法；卷3至卷12按“九章”次序列舉各種應用題及解法；卷13到卷16為“難題”解法匯編；卷17 “雜法”，為不能歸入前面各類的算法，并列有14個縱橫圖.書后附錄“算經源流” 一篇，著錄了北宋元豐七年（1084年）以來的數(shù)字書目 51種.萬歷二H一年（1593年）刊行.15.程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時完成的直指算法統(tǒng)宗是東方古代數(shù)學

12、名著,詳述股算盤用法.書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭,小僧三人分一個，大小和尚得幾丁.意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，大、小和尚各有多少人.下列求解結果正確的是()程大位A.大和尚25人，小和尚75人B.大和尚75人，小和尚25人C.大和尚50人，小和尚50人D.大、小和尚各 100人16.中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初日健步不為難，次日 腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意是，有人要去某關口，路程為 378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天

13、才到達目的地，求此人第六天走的路程為( )A. 24 里B. 12 里C. 6里D. 3里楊輝三角是項式系就幾何排列.在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的詳解九章算術（1261 年）一書1 toPB31思考、華師八上 P37閱讀材料.楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形,中用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年.17. 1261年，我國南宋數(shù)學家楊輝用下圖中的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年，我們把這個三角形稱為“楊輝三角”.請觀察圖中的數(shù)字排列規(guī)律，則 a, b, c的值分別為()1 1 1 I 2 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5

14、 I I u A r 6 1 第17題圖 A. a = 1, b=6, c= 15B. a=6, b=15, c= 20C. a=15, b = 20, c= 15D. a=20, b=15, c= 618.南宋數(shù)學家楊輝在其著作詳解九章算法中揭示了(a+b) n (n為非負整數(shù))展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律如下，后人也將下圖稱為“楊輝三角”(a+ b) 0= 1(a+b) 1 = a+ b(a+b) 2=a2+2ab + b2(a+b) 3= a3+3a2b+3ab2+b3(a+b) 4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b) 5= a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 1

15、0a2b3+ 5ab4 + b5第18題圖則（a+ b） 9展開式中所有項的系數(shù)和是（）A. 128B.256C.512D.102419.我們知道，很多數(shù)學知識相互之間都是有聯(lián)系的.如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和；圖二是二項和的乘方（a+ b） n的展開式（按b的升哥排列），經觀察：圖二中某個二項和的乘方的展開式中，各項的系數(shù)與圖一中 某行的數(shù)一一對應，且這種關系可一直對應下去.將（s + x） 15的展開式按 x的升哥排列得：（s+x） 15=ao+ aix+ a2x2+ aisx15.依上述規(guī)律，解決下列問題

16、：(1)若 s= 1,則 a2 =；(2)右 s= 2,則 a0 + ai + a2+ ai5 =圖一1圖二1 1(a+ b) 1 = a+ b1 2 1(a+b) 2=a2+2ab + b21 3 3 1(a+b) 3= a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1(a+b) 4= a4+4a3b+6a2b2 + 4ab3+b41 5 10 10 5 1(a+b) 5= a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4 + b5第19題圖斐波那契數(shù)列(2015.18)nIMAimiB P32閱讀與思考.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因十三世紀意大利數(shù)學家斐波刊入，故又稱為“

17、兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列:1,1, 2, 3, 5,8,第22題圖13, 21, 34,.美國數(shù)學會從1963年起出版了以斐波那契數(shù)列季刊為名的一份數(shù)學雜志，用于專門刊載這方面的研究成果.20.數(shù)列1,1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,，的排列規(guī)律是：前兩個數(shù)是1,從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和，這個數(shù)列叫斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2020個數(shù)中，共有 個偶數(shù).21.為了進一步研究斐波那契數(shù)列，依次以斐波那契數(shù)列為半徑作90。圓弧PC2, P2P3, P7P4,，得到斐波那契螺旋線，然后順次連接P1P2, P2P3, P3P4,，得到螺旋折線(如

18、圖)，已知點P1 (0, 1), P2(1, 0), P3 (0, 1),則該折線上點22.閱讀下列材料，完成相應的任務.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1 , 1 , 2, 3, 5, 8, 13,其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形 的邊長值構造如下正方形：再分別依次從左到右取 2個，3個，4個，5個，正方形拼成如圖所示的長方形并記為，,，相應長方形的周長如下表所示:序號610xy任務：(1)仔細觀察圖形，則表中的 x=, y=(2)若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號為的長方形的周長是畢達哥拉斯(2017.9)H|Mp

19、30H.與思考、北師八上P7讀一讀.畢達哥拉斯(Pythagoras,約公元前580年一約前500 (49用學學家.畢達哥拉斯自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學.23.閱讀下列材料，并完成相應的任務.在數(shù)學上，對于兩個數(shù) p和q有三種平均數(shù)，即算術平均數(shù)A、幾何平均數(shù) G、調和平均數(shù) H,其中人=審，G=ypq.而調和平均數(shù)中的“調和”二字來自于音樂，畢達哥拉斯學派通過研究發(fā)現(xiàn)，如果三 1111根琴弦的長度p= 10, H=12, q= 15滿足110公二冠15，再把它們繃得一樣緊，并用同樣的力彈撥，它們將會分別發(fā)出很調和的樂聲 .我們稱p, H, q為一組調和數(shù)，而把 H稱

20、為p和q的調和平均數(shù).任務：(1) 若 p = 2, q=6, 則 A =, G =.(2)根據(jù)上述關系，用 p, q的代數(shù)式表示出它們的調和平均數(shù)H;并根據(jù)你所得到的結論，再寫出一組調和數(shù).24.請閱讀以下材料，并完成相應的任務 .傳說古希臘畢達哥拉斯(Pythagonas ,約公元570年一約公元前500年)學派的數(shù)學家經常在沙灘 上研究數(shù)學問題.他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過 1, 3, 6, 10,，由于這些 數(shù)可以用圖中所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)，第n個三角形數(shù)可以用n 管1)(n>1)表本.任務：請根據(jù)以上材料，證明以下結論:數(shù)I 數(shù)3

21、數(shù)6ifclO第24題圖(1)任意一個三角形數(shù)乘 8再加1是一個完全平方數(shù);(2)連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù).謝賓斯基三角形它是P30例2.謝賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出.25-1i賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基制作出來的：把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形； 對剩下的3個小正三角形再分別重復以上做法， 將這種做法繼續(xù)進行下去，就得到小格子越來越多的謝賓斯基地毯（如圖）.若圖中的陰影三角形面積為1,則圖中的所有陰影三角形的面積之和是 圖 圖 圖 圉 圖第25題圖圖解法求解一元二次方程公元讀.人類對二次方程的研究經

22、歷了漫長的歲月，古希臘數(shù)學家丟番圖(>>中就已經提出Diophantus ,二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解法求解.26.閱讀下列材料，完成相應任務:在歐幾里得的幾何原本中，形如x2+ax=b2的方程的圖解法是：如圖，以b為兩直角邊作aRtA ABC,再在斜邊上截取 BD =萬.任務：(1)上述求解方法運用的數(shù)學思想是(A.整體思想B.類比思想C.方程思想D.數(shù)形結合思想(2)利用上述解法可求解出方程的一個正根，則這個正根是()A. AC的長B. AD的長C. BC的長D. CD的長(3)請根據(jù)你所學的知識，判斷圖中的圖解法正確嗎？給出你的理由；

23、(4)結合上述材料，方程 x2-5x+ 6=0可以用圖解法求解嗎？若能，寫出求解過程，若不能，請說明 理由；(5)根據(jù)材料中的圖解法，解決下列問題：某教室共有108個座位，已知每行的座位數(shù)相同，且每行的座位數(shù)比總行數(shù)少 12,求每行的座位數(shù).27.閱讀以下材料，并解決相應的問題.三國時期的數(shù)學家趙爽在其所著的勾股圓方圖注中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x- 35=0為例，說明如下：將方程x2 + 2x35=0變形為x (x+2) =35,然后畫四個長為x+2,寬為x的矩形，按如圖所示的方 式拼成一個“空心”大正方形.圖中大正方形的面積可表示為( x+x+2) 2,還可表示為四個矩形與

24、一個邊 長為2的小正方形面積之和，即 4x (x+ 2) + 22= 4X35+ 4,Jf JF4上“回”j+2-第27題圖因此，可得新方程：(x+ x+2) 2=144,''' x表小邊長，.-2x+2=12,即 x=5.注意：這種構造圖形的方法只能求出方程的一個根！(1)嘗試：小穎根據(jù)趙爽的解法解方程 2x2+3x 2=0,請將其解答過程補充完整：3第一步：將原萬程變?yōu)?x2+2x-1 = 0,即x () = 1;第二步：利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形； (在指定區(qū)域畫出示意圖，表明各邊長)畫圖區(qū)：第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程： ;解得原方程的一個

25、根為 ;(2)反思：這種構造圖形解一元二次方程體現(xiàn)的數(shù)學思想是 .(從“分類討論，數(shù)形結合， 演繹”三個選項中選擇最恰當?shù)囊豁椀男蛱柼羁?笛卡爾nP42iW .笛卡爾堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為“近H名的平面直角坐標系.28.閱讀下列材料，并解決下面的問題在數(shù)學上，為了確定平面上點的位置， 我們常用下面的方法： 如圖，在平面內畫兩條互相垂直， 并且有公共原點 。的數(shù)軸，通常一條畫成水平，叫 x軸，另一條畫成鉛垂，叫 y軸，這樣，我們就說在平 面上建立了一個平面直角坐標系，這是由法國數(shù)學家和哲學家笛卡爾創(chuàng)立的，這樣我們就能確定平面上點 的位置.例 如圖，要確定點M的

26、位置，只要作 MN，x軸，MP，y軸，設垂足N, P在各自數(shù)軸上所表示0 W/V第28題圖的數(shù)分別為x, y,則x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，有序數(shù)對(x, y)叫做M點的坐標， 如圖，點M的坐標記作(2,3).如圖，方格紙中每個小方格都是長為1個單位的正方形，若學校位置坐標為A (1, 2),解答以下問題：(1)請在圖中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并寫出圖書館( B)位置的坐標；(2)若體育館位置坐標為 C ( 3, 3),請在坐標系中標出體育館的位置，并順次連接學校、圖書館、 體育館，得到 ABC,求 ABC的面積.-、» j-v-t =1 I I I I |i |14第28

27、題圖29.閱讀下列材料，并完成相應的任務：從古希臘時代起，數(shù)學就有兩大分支：幾何學和代數(shù)學.直到笛卡爾的幾何學的發(fā)表，突破了純幾何的方法.笛卡爾嘗試著為未來的數(shù)學家們提供一種新方法或新語言，以描述數(shù)學問題，并且給出了代 數(shù)與幾何白等價性.kk .以我們學過的反比例函數(shù)為例：y=k從代數(shù)的角度描述了一類雙曲線，而從幾何的角度來看y=-蘊含xx非常多的幾何性質.如圖，矩形ABCO的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，BC邊和BA邊分別交反比例函數(shù) y= k在第一象限的圖象于點 E、F,則有性質1: CE=AF.XCB AB證明：設點 E (Xi, yi), F(X2, y2),則 CE = Xi

28、, CB=X2, AF=y2, AB=yi,工 Xi AF=y2"CB X2，AB yfkk k AF X2 Xi CE. yi = X? y2=X2, . AB=X=X2=CB'Xi. C§= AF "CB AB.如圖， 連接EF、AC,則有性質 2: EF/AC. 任務：(i)根據(jù)圖，完成性質 2的證明；(2)如圖，延長 EF分別交y軸于點M、交X軸于點N,證明EM = FN.國圖四第29題圖三等分角問題HB6I聯(lián)一讀、華師八上 P91閱讀材料.古希臘著名的三大尺規(guī)作圖問題分別是化圓為方、倍股始終困擾著許多數(shù)學家，直到19世紀，這些問題才被證實不可能解

29、決，其中,在“三等分角”的探索過程中，發(fā)現(xiàn)了許多其他的方法.30.閱讀材料，并完成下列任務.在“三等分角”整個充滿艱辛的探索道路上，許多人獲得了意外的發(fā)現(xiàn)，如：用其他輔助工具三 等分角和用尺規(guī)作圖三等分 90。和45。角.如圖，是用輔助工具 “三等分任意角”的過程，你能說明/APB=/CPB的依據(jù)是建;/BPC =/ FPC的依據(jù)是.如圖，是用尺規(guī)作圖法三等分 90°角/AOB的過程，我們在邊 OB上取一點C,用尺規(guī)以OC為一邊 向/ AOB內部作等邊aOCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出/DOB的角平分線 OE,則射線OD、OE將/AOB三等分.國 國第30題圖任務：(1)認真閱讀材料

30、，填空：;(2)已知圖中，/ MON = 45°,運用圖中方法將/ MON三等分.第30題圖31.請閱讀下列材料，并完成相應的任務.三等分任意角問題是數(shù)學史上一個著名的問題，直到1837年，數(shù)學家才證明了 “三等分任意角”是不能用尺規(guī)完成的.在探索中，出現(xiàn)了不同的解決問題的方法方法一：如圖，四邊形ABCD是矩形，F(xiàn)是DA延長線上一點，G是CF上一點，CF與AB交于點E,且/ ACG = /AGC, / GAF= / F,此時 / ECB = 1/ACB.3第31題圖方法二：數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出一種“三等分銳角”的方法(如圖)：將給定的銳角/ AOB置于平面直角坐標系中，邊 OB在

31、x軸上，邊OA與函數(shù)y=1的圖象交于點 P,以點P為圓心，以20P長為半徑作弧交 x圖象于點R.過點P作x軸的平行線，過點 R作y軸的平行線，兩直線相交于點M,連接0M得到/ M0B,1 一過點P作PH，x軸于點H,過點R作RQLPH于點Q,則/ MOB = -/AOB. 3任務：(1)在“方法一”中，若/ ACF = 40°, GF = 4,求BC的長.(2)完成“方法二”的證明.阿波羅尼奧斯(2018山西百校聯(lián)考三 20題)土 Xz 6【、I Zrit人，nius of Perga,約公元前、圓外，他還有許多著作262 190年)，古希臘數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德.如：他的著作

32、圓錐曲線論是古代世界光輝的科學成果.32.請閱讀材料，并完成相應的任務 .阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度的關系，即三角形一條中線兩側所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線平方和的2倍.下面是該結論的部分證明過程 .已知：如圖 所示，在銳角4ABC中，AD為中線，BC .求證：AB2+AC2=2AD2+ ( ) 2.國圖第32題圖證明：過點A作AELBC于點E.設 BD = CD = a, DE = b, AE=c.任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)請利用阿波羅尼奧斯定理解決下面的問題：如圖，已知 + PC2=PB2+ PD2.P為矩

33、形ABCD內任一點，求證：PA233.閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務圓錐曲線論中記載著如圖 所示的第33題圖調和分割的結論：過點 P作圓錐曲線的兩條切線PTi與PT2,過點P作割線交切點弦 T1T2于點N,AP AN交圓錐曲線于abm, m AP=AB.如圖，已知 PA, PB是。O的兩條切線（其中A, B是切點），PCD是。O的一條割線（其中C, D是與。O的交點），E是AB與PD的交點，則有PC CE =PD DE.卜面是證明過程（部分）證明：如圖，連接AC, AD, BC, BD,.PA、PB是。的兩條切線,第33題圖PA= PB. / PAC=Z PDA , . PACA PDA

34、.fa = AC=PC,PD-AD-PA，PA2= PC PD.同理， PBCA PDB,PB BC PC則一=一=一, PD BD PB'PB2= PC PD.任務：（1）請將上述證明過程補充完整;若CE=1，PD = 5,求PA的長. DE 3黃金分割（2016.10, 2019山西適應性訓練 20題，2018山西百校聯(lián)考一 22題）IP18閱讀與因考、華師九上 P56閱讀材料.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分較小陽大部分的比值，其比值約為0.618.這個比例被公認為是最能引起美感的比例,因此被稱為黃金分割.34.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至

35、足底的長度之比是痔1（亞尹-0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是寫工.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是（）A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm35 .閱讀下列材料，完成相應任務：我們已經知道，如果線段 MN被點P分成線段MP和PN,且黑=粵，那么稱線段MN被點P黃 MN MP金分割，點P叫做線段MN的黃金分割點，MP與MN的比叫做黃金比.通過計算可知黃金比為 夸口.若一 個矩形的短邊與長邊之比等于黃金比，則稱這個

36、矩形為黃金矩形任務：已知圖中正方形 ABCD的邊長為1,請你以AD為短邊，用尺規(guī)作一個黃金矩形，要求保留作圖痕跡并 簡要寫出作法，不要求證明.第35題圖36 .閱讀下列材料，完成相應任務： IIAC Z?第36題圖如圖，我們已經學過：點 C將線段AB分成兩部分，如果 黑=踐，那么稱點C為線段AB的黃AB AC金分割點.某校的數(shù)學拓展性課程班，在進行知識拓展時，張老師由黃金分割點拓展到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 S1,S2,SiS2如果S- S2'，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.SS1任務： 如圖，在 AB

37、C中，/ A=36°, AB=AC, / C的平分線交 AB于點D.(1)證明：點D是AB邊上的黃金分割點；(2)證明：直線 CD是 ABC的黃金分割線.圖37.在歐幾里得的幾何原本中給出一個找線段的黃金分割點的方法.如圖所示，以線段 AB為邊作正方形ABCD,取AD的中點E,連接BE,延長DA至點F,使得EF=BE,以AF為邊作正方形 AFGH , 則點H即是線段AB的黃金分割點.(1)請你證明這個結論；(2)延長GH交CD于點I,則正方形AHGF與矩形ICBH的面積有怎樣的關系，說出你的理由第37題圖任務（2）若AC=2,求萊洛三角形的面積第39題圖第38題圖卜列說法中錯誤的是（

38、）A.萊洛三角形是軸對稱圖形B.圖中，點A到BC上任意一點的距離都相等第39題圖萊洛三角形頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊與陛膿為萊形6 .38.中國科學技術館有“圓與非圓”展品， 涉及了 “等寬曲線”的知識.因為圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”.除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如萊洛三角形（圖），它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形.圖是等寬的萊洛三角形和圓D.圖中，萊洛三角形的周長與圓的周長相等39.閱讀下列材料，完成相應任務的直徑），我們把具有這

39、一特性的圖形稱為“等寬曲線”，圖是利用圓的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力就可以推動物體前進，據(jù)說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)? /b國的周長為cm.困2C.圖中，萊洛三角形上任意一點到等邊三角形DEF的中心Oi的距離都相等如圖，OO與直線a, b都相切，不論。如何轉動，直線a, b之間的距離始終保持不變（等于OO（1）如圖所示的弧三角（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”，如圖，夾在平行線c, d之間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變.若直線c, d之間的距離等于 2 cm,則萊洛三角形趙爽弦圖正方形，中間空的是一個小正方形

40、.通過對這個圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理.證明方法如下：設直角三角形的三邊中較短的直角邊為a,另一直角邊為b,斜邊為c,朱實面積=2ab,黃實面積=(b-a) 2= b2-2ab+a2,朱實面積+黃實面積= a2+b2=大正方形面積=c240 .我國三國時期數(shù)學家趙爽為了 證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖所示，在圖中，若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJ/AB,則正方形 EFGH的邊長為.41.閱讀下列材料，并完成相應任務.我國著名的數(shù)學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三

41、角形拼成了一個大的正方形(如圖)，這個正方形稱為趙爽弦圖， 驗證了一個非常重要的結論：在直角三角形中兩直角邊 a、b與斜邊c滿足關系式a2+b2=c2,稱為勾股定理.任務：1C(1)證明：.大正方形面積表本為S= c2,又可表本為 S= 4Xab+ (ba),1c c 4x 2ab-|- ( b a)=/.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖)，也能驗證這個結論，請你幫助小明完成驗證的過程；a2+ b2= c2(3)如圖，/ ABC=/ ACE=90°,請你添加適當?shù)妮o助線，證明結論N 1H唁C困閣2.第

42、41題圖42.閱讀下列材料，并完成相應任務.我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”,利用面積法對勾股定理進行了證明，參考趙爽的思路,將下面的證明過程補充完整;1O證明： SsBC = 2ab, S 正方形 ABDE=C2,S正方形MNPQ =又正方形MNPQ的面積=1C(a+ b) 2=4x2ab+ c2,整理得 a2+ 2ab+ b2= 2ab+ c2,h田第42題圖周ft真罐 ta任務：(1)將材料中空缺部分補充完整;(2)如圖，把矩形 ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF,如果AB = 4, BC=8,求BE的長.第42題圖海倫一秦九韶公式50年，在數(shù)學史上以解決幾何測量問題而聞HU|

43、pi6閱讀與思考.古希臘的數(shù)學家海倫，約公元 名.43"!Mf并完成賽任務.i在海倫的著作 度量一書中，給出了如下公式：若一個三角形的三邊分別為 a、b、c,記p= 2 (a+ b+c),那么三角形的面積為：4ABc="p (pa) (pb) (p c)(海倫公式).我國南宋時期數(shù)學家秦九韶(約1202約1261),S ABC =a2+ b2 c2曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：)2.秦九韶公式海倫公式和秦九韶公式實質上是同一個公式，所以我們一般也稱此公式為海倫任務:(1)若 ABC的三邊長為5, 6, 7,請分別利用上面的兩個公式求出ABC的面積;(2)如圖，在

44、 DEF中，DF = 5, DE = 6, EF=9,求 DEF的內切圓半徑第43題圖44.閱讀材料，并完成相應任務.“三斜求積術”.即已知三角形的三邊長，求它我國著名的數(shù)學家秦九韶在數(shù)書九章中提出了的面積.用現(xiàn)代式子表示即為:S=4a2b2 (a22)2(其中a, b, c為三角形的三邊長，S為面積).而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式:S= 7p (pa)( pb)( p c)(其中a, b, c為三角形的三邊長,a+ b + c、P = -2)任務:(1)若已知三角形的三邊長分別為5、7、8,請在上述兩種公式中選擇一種你喜歡的公式，計算該三角形的面積；(2)事實上，“三斜求

45、積術”與海倫公式是等價的，可以由“三斜求積術”直接推導出海倫公式，其部分推導過程如下:. S2 = 4a2b2- (a2+22C2) 2 = 1164a2b2- (a2 + b2-c2) 2請將上述推導過程補充完整；(3)如圖，已知 A、B是線段MN上的兩點，MN=4,MA = 1, 2VMBV3,以A為中心順時針旋轉點M,以B為中心逆時針旋轉點 N,使M、N兩點重合成一點 ABC的最大面積.C,構成 ABC,設AB =x，試利用海倫公式求尸第44題圖歐幾里得臘人之父”、華師八上 P99閱讀材料.歐幾里得(約公元前 330年一公元前275年)，古希.他最著名的著作幾何原本是歐洲數(shù)學的基礎，提出

46、五大公設，歐幾里得幾何，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書.歐幾里得也寫了一些關于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數(shù)論的作品.45.閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，人們對它進行了大量的研究，以下是歐幾里得在原本中證明勾股定理的過程：圖圖第45題圖如圖，在 RtAABC中，Z C = 90°, BC=a, AC= b, AB=c.分另以RtABC的三邊為邊長作正方形 AHIB , ACDE, CBFG （如圖）,連接EB, CH.過點C作AB的垂線，分別交 AB和HI于點M, N. EA=CA, Z EAB=Z CAH = 90° +

47、Z CAB, AB = AH,EABACAH （依據(jù) 1）.EB=CH.四邊形ACDE是正方形,AE / CD, / ACD = 90°又/ACB = 90° . B、C、D三點共線.AE/ BD.連接EC、HM ,根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等得：S正方形ACDE = b2 = 2Saaec = 2SaAEB, S 長方形 AHNM = 2S/xAHM = 2S/x AHC ,- b2= S長方形AHNM , 同理 a2= S長方形MNIB. a2 + b2= S 長方形 MNIB + S長方形 AHNM = S 正方形 AHIB = C2.任務：(1)上述證明過程的依

48、據(jù)1是；(2)請你仔細閱讀上面的證明過程，將其中同理部分的證明過程補充出來；(3)應用：歐幾里得證明勾股定理的過程中，主要用了等面積法(用不同的方法表示同一個圖形的,在此啟發(fā)下請你完成下題:面積)和等積變換法(同底等高的兩個三角形面積相等)已知：（如圖）正方形 ABCD的邊長為8, E是邊CD上的一個動點，以 CE為一邊在正方形 ABCD外作正方形 CEFG,連接BD、BF,點E在運動的過程中， DBF的面積是否發(fā)生變化，若變化說出變化的理由，若不變，請直接寫出 DBF的面積.46.閱讀下列材料，完成相應任務古希臘著名數(shù)學家歐幾里得在幾何原本提出“歐幾里得定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩

49、條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項歐幾里得定理是數(shù)學圖形計算的重要定理.其符號語言是:JJ第46題圖如圖，在 RtABC中，/ ACB=90°, CDXAB,垂足為點 D,則(1) CD2 = AD BD; AC2=ABAD;(3) BC2= AB BD.任務：(1)請你證明定理中的結論：BC2=AB BD;(2)應用：如圖，正方形 ABCD的邊長為6,點。是對角線 AC、BD的交點，點E在CD上，過點 C作CFXBE,垂足為點 F,連接OF.第46題圖求證： BOFsbed；若BE = 2回,求OF的長.海島算經MP104263年

50、所著，此書是中國最早的inn .海島算經是中國古代偉大的數(shù)學家劉徽于公元學專代高度發(fā)達的地圖學的數(shù)學基礎47.閱讀下列材料，并完成相應任務第47題圖海島算經共九問測量問題，首題是測量海島的高、遠，因而得名島上一座山峰 A的高度AH,立兩根高三丈的標桿 BC和DE,兩竿相距.該題譯文如下：如圖，要測量海BD = 1000 步，D、B、H 成一線,從B退行123步到F,人目著地觀察 A, A、C、F三點共線；從D退行127步到G,從G看A, A、E、G三點也共線.試算出山峰的高度 AH及HB的距離.（古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步.結果用里來表木）任務：根據(jù)材料求出山峰的高度

51、 AH及HB的距離.48.閱讀下列材料，并完成相應任務.出入相補（又稱以盈補虛）積是古中國數(shù)學中一條用于推證幾何圖形的面積或體積的基本原理.其內容有四：一、一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積或體積維持不變=所有小圖形面積或體積之和；二、一個幾何圖形，可以任意旋轉、倒置、移動、復制，面積或體積不變；三、多個幾何圖形，可以任意拼合，總面積或總體積不變；四、幾何圖形與其復制圖形拼合，總面積或總體積加倍.數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所示） ”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補

52、”原理復原了海島算經九題古證 .任務：請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程；證明：S 矩形 NFGD = Sa ADC (& ANF+ Sa FGC),S 矩形 EBMF = SaABC 一 (+).易知， Sa ADC = Sa ABC,=,=.可得 S 矩形 NFGD = S 矩形 EBMF .第48題圖歐拉(2019.21)H.44閱讀酎料.歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把整個數(shù)學利數(shù)學史上最多產的數(shù)學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、 分析學、幾何學、變分法等的課本，無窮小分析引論、微分學原理、積分學原理等都成為數(shù)學界中的經典著作.

53、歐拉對數(shù)學的研究如此之廣泛，因此在許多數(shù)學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要 常數(shù)、公式和定理.49 .閱讀以下材料，并完成相應的任務歐拉，瑞士數(shù)學家和物理學家、近代數(shù)學先驅之一.小時候放學回家常幫父親放羊，一邊放羊，一邊讀書，有一天，他發(fā)現(xiàn)羊的數(shù)量越來越多，達到了 100只，羊圈很擁擠.后來，歐拉的父親就規(guī)劃出了面積剛 好為600平方米的土地修建新羊圈，平均每只羊剛好占地6平方米，即將動工時發(fā)現(xiàn)用來作圈欄的籬笆只有100米長，若按原計劃建羊圈，就要再添10米長的材料，要是縮小面積，每只羊的占地面積將會小于6平方米.此時，見父親一臉無奈，小歐拉卻對父親說：“不用增加材料，也不用縮小羊圈，我還能使羊圈的面積達到最大”.任務：你能用