《圓》回顧與思考

1、第三章 圓回顧與思考（第 2 課時）教學(xué)設(shè)計一、學(xué)生起點分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ) 通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步掌握圓的相關(guān)知識，結(jié)合圓復(fù)習(xí)課第一 課時，逐漸形成“圓的基本概念與定理” 、“與圓有關(guān)的位置關(guān)系” 、“與圓有關(guān)的 計算”的知識網(wǎng)絡(luò)體系 .學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)在圓的相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中， 學(xué)生逐漸形成了數(shù)學(xué)思想方法， 如在探索圓 周角與圓心角關(guān)系、點與圓、直線與圓的位置關(guān)系的過程中體會分類討論思想， 研究拱橋跨度、拱高等問題時建立建模思想，研究垂徑定理、圓心角、弧、弦之 間關(guān)系定理時體會化歸與轉(zhuǎn)化思想等 . 同時在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了 很多探究學(xué)習(xí)的過程， 具有了一定的探究學(xué)習(xí)的

2、經(jīng)驗， 具備一定的提出問題、 分 析問題的能力 .二、教學(xué)任務(wù)分析通過復(fù)習(xí)課第一課時內(nèi)容的學(xué)習(xí)， 學(xué)生對 圓的知識網(wǎng)絡(luò)體系進行了初步 的梳理與構(gòu)建 . 本課通過創(chuàng)設(shè)開放性的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用知識從不同 角度展開提問并嘗試解答，從另一個維度對本章的數(shù)學(xué)知識與思想方法進行反 思，通過進一步整合、重組，將其內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知體系中 . 為此，本節(jié)課 的教學(xué)目標(biāo)是：1通過問題的設(shè)計，對圓的相關(guān)知識與思想方法進行反思，逐步培養(yǎng)提出 問題，分析問題的能力；2在解決具體問題的過程中，構(gòu)建圓的知識體系，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法 . 3在探索活動中通過合作與交流，進一步發(fā)展合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.三、教

3、學(xué)設(shè)計分析本課共分三個環(huán)節(jié)：問題開放、變式練習(xí)、總結(jié)歸納第一環(huán)節(jié)：問題開放如圖：已知在 ABC中，AB=AC,以AB為直徑的 O O交BC于點D,過D作DE丄AC于點E, CD = .3 , / ACB=30 o .請同學(xué)們嘗試提出問題分析本題改編自一道課后練習(xí)題，題目的信息量非常豐富，由于問題的 開放性，學(xué)生可提出問題的角度很多，如垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、點 與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、與圓有關(guān)的計算等 如：問題1:求證點D是BC的中點;AD，構(gòu)造直徑所對的圓問題2:求O O的半徑；問題3:求點O到BD的距離； 問題4:求證DE是O O的切線;學(xué)生提出問題后，分組并進行求解或

4、證明問題1:求證點D是BC的中點；分析本題涉及圓的基本概念與性質(zhì)，通過連接 周角，利用直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形三線合一，即可得證本題輔 助線的構(gòu)造方式是有關(guān)圓問題討論的常用方案， 本題也較好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想 方法.類似地，學(xué)生還可以提出：求證 AD平分/ CAB.問題2:求O O的半徑;分析利用含30o角的直角三角形邊角關(guān)系，勾股定 理，等邊對等角等方法，便可求得半徑本題較好地體現(xiàn)了 圓與三角形知識的綜合應(yīng)用類似的，學(xué)生還可以提出：求DE、AE、AD的長度, 解題思路類似問題3:求點O到BD的距離;分析本題通過作 OF丄BD,構(gòu)造垂徑定理基本模型，結(jié)合勾股定理便可求得結(jié)論.教師點撥

5、：以上幾個問題主要涉及圓的基本概念與定理， 請同學(xué)們談一談學(xué) 習(xí)這部分內(nèi)容的知識線索？圓具備軸對稱性和旋轉(zhuǎn)對稱性，利用軸對稱變換的方法我們探索垂徑定 理及其逆定理，然后用推理證明的方法進行證明；用旋轉(zhuǎn)變換的方法我們探索圓 心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理，然后加以證明；我們還用推理證明的方法研 究了圓周角與圓心角的關(guān)系教師點撥：雖然圓這部分涉及的知識非常豐富， 但只要我們把握了學(xué)習(xí)的基 本線索，相關(guān)的概念、定理便易于理解、掌握 本章還研究了與圓有關(guān)的位置關(guān) 系，請同學(xué)們繼續(xù)就有關(guān)內(nèi)容提出新的問題？問題4:求證DE是O O的切線分析本題主要考察直線與圓的位置關(guān)系， 證明方法多種，涉及知識面較再進行

6、分組討論,豐富，是一個很有價值的問題為此，本題先由學(xué)生獨立完成, 討論、比較不同的證明方法，總結(jié)規(guī)律證法1:由于已知點D為圓上一點，要求證 DE是。O的切線，根據(jù)切線得判定定理，可構(gòu)造輔助線 0D，并 證明半徑0D丄DE.具體方法如下：連接 DO、AD，因為AB 是直徑，所以/ ADB = 90 o,即/ 1 + Z 4 = 90 o；又 因為 DEX AC 所以/ 4+Z C = 90 o,可得/ 1 = / C = 30 o.因為 AB = AC,所以/ B=/ C = 30 o,故/ 3= 90 o -/ B = 60 o；又因為 OD =OA,所以/ 2=/ 3 = 60 o,所以/

7、ODE=/ 1 + / 2 = 90 o,即半徑 OD丄DE,從而得證DE是。O的切線.教師點撥：這種證法的亮點在于準(zhǔn)確把握了證明直線與圓相切的一種常用的 輔助線作法，構(gòu)造半徑 OD，通過證明OD丄DE，從而得證DE是O O的切線.還有其它證明方法嗎？證法2:可以通過證明 OD / AC,由/ ODE=/DEC=90 o,證明DE是O O的切線.具體方法如下：連接DO,因為 OB=OD, AB=AC，所以/ 5=/ B,/ C=/B,故/ 5=/ C, 所以 OD / AC;又因為 DEX AC,所以/ ODE = / DEC= 90 o，即半徑OD丄DE，所以DE是O O的切線.教師點撥：本

8、題結(jié)合了平行線的性質(zhì)與判定， 使證明方法更簡潔了，可見在幾何證明過程中，知識綜合應(yīng)用的優(yōu)越性.證法3:還有更簡潔的方法！由于 BO=AO, BD=CD，禾U用三角形中位線即可得證OD/ AC,便易證DE是O O的切線.分析通過一題多證，從多角度構(gòu)建起知識的聯(lián)系與拓展， 進一步豐富的 幾何知識體系的構(gòu)建教師適時進行點撥，結(jié)合本題總結(jié)歸納直線與圓的位置關(guān) 系的有關(guān)知識以及與切線有關(guān)的常用輔助線作法第二環(huán)節(jié)：變式練習(xí)變式：如圖，已知O O的直徑 AB = 2，Z ABC = 30 o,BC = 2 ,3 , D是BC的中點，試判斷點D與O O的位置關(guān)系.請判斷下列解題過程是否正確?解：連接OD、AD

9、,v AB是直徑 :丄 ADB= 90 ovAO=BO1二 OD= AB =AO2點D在圓上分析本題考查點與圓的位置關(guān)系，基本的思想方法是轉(zhuǎn)化為點到圓心的 距離與半徑比較，即把“形”的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的關(guān)系該題解題過程為看似利用“直徑所對的圓周角是直角”以及“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”便可獲得結(jié)論，然而仔細(xì)分析題目條件卻發(fā)現(xiàn)/ADB并沒有條件確定圓周OD的長度，再與半徑角，條件不完備，解法錯誤本題應(yīng)利用勾股定理計算出 比較作出判斷解：連接OD，作 OF丄BC于點F11在 RtABOF 中，/ B= 30 o, OF = - OB=丄22 BF= . BO2 -OF 2-2v D 是 BC 中點，BC = 2 3，BD= BC= - 3 2 DF = BD BF =2在 RtA DOF 中,二 OD = OB點D在圓上第三環(huán)節(jié)課堂小結(jié)1 通過開放問題情景，從多角度提出問題，逐步培養(yǎng)提出問題，解決問題 能力；2.圓的內(nèi)容綜合性較強，在具體應(yīng)用中，進一步完善知識體系構(gòu)建四、教學(xué)設(shè)計反思學(xué)生從不同角度展開提問并嘗試解答，讓學(xué)生把本章的知識點重新組織起來 由于問題的開放性，學(xué)生提問的角度有許