高等數(shù)學(xué)：D82數(shù)量積與向量積ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、向量的混合積三、向量的混合積 第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 數(shù)量積 向量積 *混合積 第八章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1M一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為沿與力夾角為的直線移動的直線移動,W1. 定義定義設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 , 稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積 (點(diǎn)積點(diǎn)積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力設(shè)一物體在常力 F 作用下作用下, F位移為位移為 s , 則力則力F 所做的功為所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 記作記作故

2、故abj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量為兩個非零向量, 則有則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba,0 時當(dāng)a上的投影為在 ab,0,時當(dāng)同理bbacosba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 運(yùn)算律運(yùn)算律(1) 交換律交換律(2) 結(jié)合律結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律分配律cbcacba事實(shí)上事實(shí)上, 當(dāng)當(dāng)0c時時, 顯然成立顯然成立 ;時當(dāng)0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj

3、rP cbcj rPccacb)(j rPbac目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理cos2222abbac證證: 如圖如圖 . 那那么么cos2222abbac,aBC,bACcBAABCabcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,設(shè)設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)設(shè)那那么么, 10zzyyxxbababa當(dāng)當(dāng)為非零向量時為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(

4、kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 , 得得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(MB, )(MA BM例例2. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1那那么么AMBcos10022213AMB求求MBMAMA MB故故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點(diǎn)的支點(diǎn) ,有一個與杠桿夾角為有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則OQF

5、FsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量矩是一個向量 M :的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點(diǎn)上點(diǎn)上 ,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力FoPFMFM 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義定義定義定義向量向量方向方向 :(叉積叉積)記作記作且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則模模 :向量積向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,ac bc csinabbac稱稱c的與為向量babacba引例中的力矩引例中的力矩FOPM考慮考慮: 右圖三角形面積右圖三角形面積abba21S目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量, 那那么么，0sin0或即aa)

6、1 (0ba,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律分配律(3) 結(jié)合律結(jié)合律(證明？證明？)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:sinabba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)設(shè)那那么么,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbay

7、y)(kkbazzijk目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量積的行列式計(jì)算法向量積的行列式計(jì)算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形角形 ABC 的面積的面積 . 解解: 如下圖如下圖,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三求三目錄 上頁 下頁 返回

8、 結(jié)束 *三、向量的混合積三、向量的混合積1. 定義定義 已知三向量已知三向量稱數(shù)量稱數(shù)量混合積混合積 .記作記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體為棱作平行六面體,底面積底面積高高h(yuǎn)故平行六面體體積為故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其則其cosbaccba)(cbabacba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標(biāo)表示混合積的坐標(biāo)表示設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個非零向量共面的充要條件是0cbacba,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1. 向量運(yùn)算向量運(yùn)算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點(diǎn)積點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積叉積:kjixayazaxbybzbba目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 混合積混合積:2. 向量關(guān)系向量關(guān)系:xxabyya