微積分下冊主要知識點

1、、第一換元積分法(湊微分法)jg毋(x)(x)dx= Jg(u)du = F(u) + C = Fgx) + C .積分類型換兀公式1jf (ax + b)dx1 aJf (ax + b)d(ax + b)(a 工 0)u=ax + b2jf (x k)-dx1=jf (x »)d(x A)(墜式0)u1ff (ln x)d(ln x)u=In x3. f (ln x)dx =x第4. ff(ex) exdx=Jf (ex)dexu=ex換5jf(ax) axdx1ff (ax)daxlnau=ax元6.Jf(sin x) cos xdx=|f (sin x)d sin xu=sin

2、 x積7. Jf (cos x) sinxdx=-Jf (cos x)d cos xu=cos x分法8.Jf(tan x) sec2xdx=j f (tan x)d tan xu=tan x29jf (cot x) cscxdx=-f f (cot x)d cot xu=cot x10. J f (arctan x)1dx = f f (arctan x )d(arctan x)1 + x2u=arctan x11J f (arcsi n x)1dx = - ff(arcsinx)d(arcsin x)u=arcs in xV1 -x2二、常用湊微分公式三、第二換元法J f(x)dx= jf

3、(t)»(t)dt = F(t)+C = F屮(x) +C,其一般規(guī)注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式 律如下：當被積函數(shù)中含有a) a2 -x2, 可令 x =asint;b) x2 a2,可令 x=atant;c) x2 -a2, 可令 x=asect.當有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換x.t四、積分表續(xù)4.3分部積分法分部積分公式：udv =uv - vdu(3.1)uv dx = uv - u vdx(3.2)分部積分法實質上就是求兩函數(shù)乘積的導數(shù)(或微分)的逆運算.一般地，下列類型的被積函數(shù)?？紤]應用分部積分法(其中mn都是正整數(shù)).5.1

4、定積分的概念5.2定積分的性質兩點補充規(guī)定：(a)當a =b時,bf(x)dx=O; (b) 當 a Ab 時,baf(x)dx= f (x)dx.a-b性質性質性質性質bbbf (x)二 g(x)dx 二 f (x)dx g(x)dx.a*a'a也ff(x)dx, ( k為常數(shù)).bcb! f(x)dx f (x)dx 亠 I f (x)dx .aacbb1 dx 二 dx 二b _a.abkf(x)dx =k性質若在區(qū)間a,b上有f(x)乞g(x),則bbf(x)dx 乞 g(x)dx, (a : b).aa推論若在區(qū)間a,b上 f(x) _0,貝 S：f(x)dx_O, (a：b

5、).推論bf f (x)dx 蘭| f (x) |dx (a <b).La"a性質6 (估值定理)設M及 m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則性質7 (定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一個點,使5.3微積分的基本公式、引例二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)：叮-(X" xf(t)dtLa定理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)就是f (x)在a,b上的一個原函數(shù).三、牛頓一萊布尼茲公式定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，則bf (x)dx =F(b) - F(a).(3.6)a公式

6、(3.4)稱為牛頓一萊布尼茨公式.5.4定積分的換元法積分法和分部積分法一、定積分換元積分法定理1設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)xi(t)滿足條件：(1) C ) =a, " J =b,且 a 空：(t)空 b ；(2) 在:(或：,:)上具有連續(xù)導數(shù)，則有b:af (x)dx 二 f :(t)b:(t)dt.(4.1)公式(4.1)稱為定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似.但是,在應用定積分的換元公式時應注意以下兩點：(1) 用X = (t)把變量x換成新變量t時，積分限也要換成相應于新變量t的積分 限,且上限對應于上限，下限對應于下限；(2) 求

7、出f (t) : (t)的一個原函數(shù)"(t)后,不必象計算不定積分那樣再把 門變換 成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入門然后相減就行了 .二、定積分的分部積分法bbbb .b b .udv 二uva - vdu或 uv dx 二uva - vu dxaaa'a5.5廣義積分一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分5.6定積分的幾何應用、微元法定積分的所有應用問題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個步驟把所求的量表示為定積分的形式.可以抽象出在應用學科中廣泛采用的將所求量U (總量)表示為定積分的方法一微元法，這個方法的主要步驟如下：(1) 由分割寫出微元

8、 根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，例如 X為積分變量， 并確定它的變化區(qū)間a,b，任取a,b的一個區(qū)間微元x,x dx，求出相應于這個區(qū)間 微元上部分量：U的近似值，即求出所求總量U的微元dU = f (x)dx ；(2) 由微元寫出積分根據(jù)dU = f(x)dx寫出表示總量U的定積分微元法在幾何學、物理學、經濟學、社會學等應用領域中具有廣泛的應用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學與經濟學中的應用.應用微元法解決實際問題時，應注意如下兩點：(1) 所求總量U關于區(qū)間a,b應具有可加性，即如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū) 間，則U相應地分成許多部分量，而U等于所有部分量=U之和.這一要求是由定積

9、 分概念本身所決定的；(2) 使用微元法的關鍵是正確給出部分量=U的近似表達式f(x)dx，即使得f (x)dx = dU ：丸.在通常情況下，要檢驗-f(x)dx是否為dx的咼階無窮小并非易 事，因此，在實際應用要注意dU二f(x)dx的合理性.二、平面圖形的面積(1) 直角坐標系下平面圖形的面積(2) 極坐標系下平面圖形的面積曲邊扇形的面積微元dA Jrn2d =2所求曲邊扇形的面積A二-：)2.a 2三、旋轉體：由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體稱為旋轉體.這條直線稱為旋轉軸.旋轉體的體積微元dV -”:f(x)2dx,所求旋轉體的體積 V =兀ff(x)2dx.算.5.

10、76.1四、平行截面面積為已知的立體的體積：如果一個立體不是旋轉體，但卻知道 該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計體積微兀 dV二A(x)dx,所求立體的體積 V二(x)dx.積分在經濟分析的應用空間解析幾何簡介空間直角坐標系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標系，并通過平面直角坐標系，把平面上的點與有序數(shù)組(即點的坐標(x,y)對應起來.同樣，為了把空間的任一點與有 序數(shù)組對應起來，我們來建立 空間直角坐標系.過空間一定點Q作三條相互垂直的數(shù)軸， 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、 z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標軸.它們構成一個空間直角坐標系Qxyz (圖

11、6-1-1 ). 空間直角坐標系有右手系和左手系兩種.我們通常采用右手系.二、空間兩點間的距離三曲面及其方程定義1在空間直角坐標系中，如果曲面S上任一點坐標都滿足方程F(x, y,z) = O , 而不在曲面S上的任何點的坐標都不滿足該方程，則方程F(x,y,z)=O稱為曲面S的方 程，而曲面S就稱為方程F(x,y,z)=O的圖形空間曲面研究的兩個基本問題是：(1) 已知曲面上的點所滿足的幾何條件，建立曲面的方程； 已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面可以證明空間中任一平面都可以用三 元一次方程Ax By Cz D =0（1.3）來表示，反之亦然.其中A、B、

12、C、D是不全為零常數(shù).方程（1.3）稱為平面的一 般方程.柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的軌跡稱為柱面.這條定曲線C稱為柱面的準線，動直線L稱為柱面的母線.二次曲面在空間直角坐標系中，我們采用一系列平行于坐標面的平面去截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交線（即截痕），通過綜合分析這些截痕的形狀和性質來認識曲面形狀的全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為 截痕法.2橢球面X2a2 2y2 Z2 -1 (a 0,b 0,c 0)(1.4)b c橢圓拋物面2 2 z = xy2p 2q（p與q同號）雙曲拋物面2 2-Xy 二z2p 2q（p與q同號）單葉雙曲面2 2

13、 2x y_z :2 , 2 2a b c=1 (a 0,b0, c 0)雙葉雙曲面2 2 2x_ yz2 . 2 2 a bc=-1 (a 0,b0,c 0)二次錐面2 2 2xy-z =0ab c(a 0,b0, c 0)6.2多元函數(shù)的基本概念 一、平面區(qū)域的概念：內點、外點、邊界點、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域二、二元函數(shù)的概念定義1設D是平面上的一個非空點集，如果對于 D內的任一點(X,y)，按照某 種法則f，都有唯一確定的實數(shù)z與之對應，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處 的函數(shù)值記為f(x, y)，即z=f(x,y),其中X，y稱為自變量，Z稱為因變量點集D稱 為該函數(shù)的定義

14、域，數(shù)集z|z = f(x,y),(x,y). D稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當n_2時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). 二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限定義2設函數(shù)z = f(x,y)在點的某一去心鄰域內有定義，如果當點P(x, y) 無限趨于點Po(xo,yo)時，函數(shù)f (x,y)無限趨于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z = f(x,y)當(x, y)> (xo, yo)時的極限記為lim f (x, y) = A .X ',xoy >y°或f (x, y)_ A ( (x, y)- (xo ,yo)也記作plim f(P) =A 或 f(P

15、) > A (P > Po)二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質和運算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設二元函數(shù)z = f(x,y)在點(xo，y。)的某一鄰域內有定義，如果nf(x,yf(xo,yo),y。則稱z二f(x,y)在點(xo, yo)處連續(xù).如果函數(shù)z = f (x,y)在點(x°,y°)處不連續(xù)，則稱函數(shù) z 二 f(x, y)在(xo, yo)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經過四則運算和復合運算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算和復

16、合所構成的可用一個式子表示 的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的.這里 定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結論，當要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內一點的極限時，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上 所滿足的定理下面我們不加證明地列出這些定理.定理1 （最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上至 少取得它的最大值和最小值各一次.定理2 （有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，若在D上取得兩個不同

17、的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.6.3偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法定義1設函數(shù)z = f（x,y）在點（xo，y。）的某一鄰域內有定義，當y固定在yo而X在 Xo處有增量X時，相應地函數(shù)有增量如果|.啊f （Xo ：x,yo） - f（Xo,yo）存在，則稱此極限為函數(shù)z二f（x, y）在點（xo，yo）處對X的 偏導數(shù)，記為 例如，有f（X。 :x, yo） - f （Xo, yo）fxgyo）=.嘰-ox.類似地，函數(shù)z=f（x,y）在點（xo，yo）處對y的偏導數(shù)為f （xo,yo ：y） - f （xo, yo）記為上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個自變量的偏

18、導數(shù)時，只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導公式及復合函數(shù)求導法則來計算之.二、關于多元函數(shù)的偏導數(shù)，補充以下幾點說明：（1）對一元函數(shù)而言，導數(shù)dy可看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商但dx偏導數(shù)的記號空是一個整體.（2）與一元函數(shù)類似，對于分段函數(shù)在分段點的偏導數(shù)要利用偏導數(shù)的定義來求（3）在一元函數(shù)微分學中，我們知道，如果函數(shù)在某點存在導數(shù)，則它在該點 必定連續(xù).但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個偏導數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該 占連續(xù)八、-例如，二元函數(shù)在點（0,0）的偏導數(shù)為但從上節(jié)例5已經知道這函數(shù)在點（0,0）處不連續(xù).三、偏導數(shù)的幾何意義設曲面的方程為z=f（

19、x, y）， M°（x。, y°, f（X0, y。）是該曲面上一點，過點 M。作平面 y二y。，截此曲面得一條曲線，其方程為則偏導數(shù)fx（x°,y°）表示上述曲線在點M0處的切線M°Tx對x軸正向的斜率（圖6-3-1）. 同理，偏導數(shù)fy（x°,y°）就是曲面被平面x=x°所截得的曲線在點M0處的切線M°Ty對y 軸正向的斜率.四、偏導數(shù)的經濟意義設某產品的需求量Q=Q（p,y）,其中p為該產品的價格,y為消費者收入.記需求量Q對于價格p、消費者收入y的偏改變量分別為和二 Q（p, y ：y） -Q（p

20、, y）.易見，竺表示Q對價格p由p變到p *p的平均變化率.而表示當價格為p、消費者收入為y時，Q對于p的變化率.稱 為需求Q對價格p的偏彈性.同理，少表示Q對收入y由y變到、純的平均變化率.而表示當價格p、消費者收入為y時，Q對于y的變化率.稱 為需求Q對收入y的偏彈性.五、科布-道格拉斯生產函數(shù)在商業(yè)與經濟中經常考慮的一個生產模型是 科布-道格拉斯生產函數(shù)p(x, y) = cxay1 ,c 0且0 ： a ： 1，其中p是由x個人力單位和y個資本單位生產處的產品數(shù)量(資本是機器、場地、 生產工具和其它用品的成本)。偏導數(shù)分別稱為人力的邊際生產力和資本的邊際生產力。六、高階偏導數(shù)設函數(shù)z

21、二f(x,y)在區(qū)域D內具有偏導數(shù)則在D內fx(x,y)和fy(x, y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在，則稱它 們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導數(shù).按照對變量求導次序的不同，共有下列四個二階 偏導數(shù)：其中第二、第三兩個偏導稱為混合偏導數(shù)類似地，可以定義三階、四階、 以及n階偏導數(shù).我們把二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).-2-2定理1如果函數(shù)z二f(x,y)的兩個二階混合偏導數(shù)二A及z在區(qū)域D內連續(xù),cycx£x£y口 2-2則在該區(qū)域內有z zcycx ccy6.4全微分一、微分的定義定義1如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x,y)的全增量 可以表示

22、為-z = Alx Biy o()，(4.2)其中A,B不依賴于：x：y而僅與X, y有關，：,Gx)2Cy)2,則稱函數(shù)z=f(x,y)在點 (x, y)可微分,A x B y稱為函數(shù)f (x, y)在點(x, y)的全微分,記為dz,即dz 二 A=x B = y .(4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內各點處可微分，則稱這函數(shù) 在D內可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件)如果函數(shù)Z= f (x,y)在點(x,y)處可微分，則該函數(shù)在點(X, y) 的偏導數(shù) 二 三必存在，且z二f (x, y)在點(x, y)處的全微分ex cydz =三 x y .(4.4).x: y我們知道，一元函數(shù)在某

23、點可導是在該點可微的充分必要條件.但對于多元函數(shù)則不然.定理1的結論表明，二元函數(shù)的各偏導數(shù)存在只是全微分存在的必要條 件而不是充分條件.由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導數(shù)存在并不一定可微.因為函數(shù)的偏導數(shù)僅描述了函數(shù)在一點處沿坐標軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情 況.但如果對偏導數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2 (充分條件)如果函數(shù)z二f(x,y)的偏導數(shù)二，工在點(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在ex cy該點處可微分.三、微分的計算習慣上，常將自變量的增量x、冷分別記為dx、dy ,并分別稱為自變量的微分這樣，函數(shù)z二f (x, y)的全微分就表為dzd

24、xdy.x :y(4.5)上述關于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分可表為du昱 dy dz.(4.6)& 內£z四、全微分在近似計算中的應用設二元函數(shù)z = f(x,y)在點P(x,y)的兩個偏導數(shù)fx(x, y), fy (x, y)連續(xù),且|.：x|,|.：y| 都較小時，則根據(jù)全微分定義，有即遼： fx(x,y).：x fy(x,y).y由:-：z = f (x lx, y Ly) - f (x, y)，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計算公式f(x .%y ：y) ： f(x,

25、 y) fx(x,yy =x fy(x, y) 7 (4.7)6.5復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元復合函數(shù)微分法1.復合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設函數(shù) z = f (u,v), u = u(t) , v = v(t)構成復合函數(shù) z= f u(t), v(t)dz : z du :z dv= I dt 'u dt : v dt 公式(5.1)中的導數(shù)蟲稱為全導數(shù).dt2、復合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形(5.1 )設 z = f (u,v), u =u(x, y), v =v(x,y)構成復合函數(shù)z = fu(x,y), v(x, y),；:z: z：:u:x：:u: x-

26、'z-u :yz :v(5.3)(5.4)3、復合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u二u(x, y)在點(x, y)具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)v =v(y)在點y可導，函數(shù)z = f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=fu(x,y), v(y)在對應點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在，且有(5.7)；z；:z :u_J.xju jx.:z-z ；u ；z dv(5.8) +-y ；u ：y ：v dy注：這里與丄是不同的，是把復合函數(shù)z = f u(x, y), x, y中的y看作不變而exex玫對x的偏導數(shù)，是把函數(shù)z = f(u,x, y

27、)中的u及y看作不變而對x的偏導數(shù).與丄&cycy也有類似的區(qū)別.在多元函數(shù)的復合求導中，為了簡便起見，常采用以下記號這里下標1表示對第一個變量u求偏導數(shù)，下標2表示對第二個變量v求偏導數(shù)，同理有£ f22廠等等.二、全微分形式的不變性根據(jù)復合函數(shù)求導的鏈式法則，可得到重要的全微分形式不變性以二元函數(shù)為例，設Z = f(u, v), u =u(x,y),v =v(x,y)是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈式法則，有u、由此可見，盡管現(xiàn)在的u v是中間變量，但全微分dz與x、y是自變量時的表達式在形式上完全一致.這個性質稱為全微分形式不變性.適當應用這個性質，會收到 很好的效果.三

28、、隱函數(shù)微分法在一元微分學中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經過顯化而直接由 方程F(x, y) =0(5.11)來求它所確定的隱函數(shù)的導數(shù)的方法.這里將進一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在 性，并通過多元復合函數(shù)求導的鏈式法則建立隱函數(shù)的求導公式，給出一套所謂的“隱式”求導法.定理4設函數(shù)F(x,y)在點P(xo，yo)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且Fygyo)", F(x°,yo)=O,則方程F(x,y)=0在點P(x°,y°)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y = f(x),它滿足 仆f(xo),并有矽一旦.(5.12)dx

29、Fy定理5設函數(shù)F(x,y,z)在點P(xo，yo，Zo)的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù)，且則方程F(x,y,z) =o在點P(xo，yo，zo)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x, y),它滿足條件Zo = f(xo，y°),并有yFzFz(5.14)6.6多元函數(shù)的極值及求法一、二元函數(shù)極值的概念定義1設函數(shù)z = f(x,y)在點(心丫。)的某一鄰域內有定義，對于該鄰域內異于 (xo,yo)的任意一點(x, y),如果則稱函數(shù)在(xo，y。)有極大值；如果則稱函數(shù)在(x°,yo)有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點

30、.定理1 (必要條件)設函數(shù)z=f(x,y)在點(xo，yo)具有偏導數(shù),且在點(xo,yo)處有 極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零，即fxyo"。，fyGoyo)".(6.1)與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.定理2 (充分條件)設函數(shù)z二f(x, y)在點(xo，yo)的某鄰域內有直到二階的連續(xù)偏導數(shù)，又 fx(Xo, y°) =o, fy(x°, y°) =0.令(1) 當ACB2 0時，函數(shù)f(x, y)在(xo,yo)處有極值，且當A 0時有極小值f(xo，yo) ； A ： 0時有極大

31、值f(xo,yo)；(2) 當AC - B2 : 0時，函數(shù)f(x, y)在(xo,y。)處沒有極值；(3) 當ACB2=0時，函數(shù)f(x, y)在(xo,yo)處可能有極值，也可能沒有極值.根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)f (x, y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則求z二f(x,y)的極 值的一般步驟為：第一步 解方程組fx(x, y) =0, fy(x,y) =0,求出f (x,y)的所有駐點；第二步 求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導數(shù)，依次確定各駐點處A B C的值，并根據(jù)AC -B2的符號判定駐點是否為極值點.最后求出函數(shù)f(x,y)在極值點處的極值.二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)f (x,

32、y)的最大值和最小值的一般步驟為：(1) 求函數(shù)f (x, y)在D內所有駐點處的函數(shù)值；(2) 求f (x, y)在D的邊界上的最大值和最小值；(3) 將前兩步得到的所有函數(shù)值進行比較，其中最大者即為最大值，最小者即 為最小值.在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質，可以判斷出函數(shù)f(x,y)的最大值(最 小值)一定在D的內部取得，而函數(shù)f(x,y)在D內只有一個駐點，則可以肯定該駐點 處的函數(shù)值就是函數(shù)f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值.但在實際問

33、題中，常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題.對自變量有附加條件的極值稱為 條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設二元函數(shù)f(x,y)和(x,y)在區(qū)域D內有一階連續(xù)偏導數(shù)，則求z二f(x,y)在D內滿 足條件(x,y)=O的極值問題，可以轉化為求拉格朗日函數(shù)(其中為某一常數(shù))的無條件極值問題于是，求函數(shù)z = f(x,y)在條件：:(x,y)=O的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)；(2) 由方程組解出x,y, ,其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點.注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件 ，因此按照這種方法求出來 的點是否為極值點，還需要加以討

34、論.不過在實際問題中，往往可以根據(jù)問題本身 的性質來判定所求的點是不是極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形：四、數(shù)學建模舉例6.7二重積分的概念與性質一、二重積分的概念定義1設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個小閉 區(qū)域.匸,氏2,，*n，其中*i表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個上 任取一點(i，J,作乘積 并作和如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記為.f(x,y)d即Df(x,y)d二=lim。' f( i,)匚 (7.2)D'*

35、i 4其中f(x, y)稱為被積函數(shù)，f(x, y)d；稱為被積表達式，dr稱為面積微元，x和y稱為n積分變量，D稱為積分區(qū)域，并稱7 f( i, i)=i為積分和.i 4對二重積分定義的說明：(1) 如果二重積分iif(x, y)d二存在，則稱函數(shù)f (x, y)在區(qū)域D上是可積的.可以D證明，如果函數(shù)f(x, y)區(qū)域D上連續(xù)，則f(x, y)在區(qū)域D上是可積的.今后，我們總 假定被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的；(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)f (x, y)在區(qū)域D上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法無關，因此，在直角坐標系中，常用平行于x軸和y軸的兩組直線來分割積分區(qū)域D，則除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域. 設矩形閉區(qū)域的邊長為住和厶yj，于是=%».故在直