微積分下冊(cè)主要知識(shí)點(diǎn)

1、、第一換元積分法(湊微分法)jg毋(x)(x)dx= Jg(u)du = F(u) + C = Fgx) + C .積分類型換兀公式1jf (ax + b)dx1 aJf (ax + b)d(ax + b)(a 工 0)u=ax + b2jf (x k)-dx1=jf (x »)d(x A)(墜式0)u1ff (ln x)d(ln x)u=In x3. f (ln x)dx =x第4. ff(ex) exdx=Jf (ex)dexu=ex換5jf(ax) axdx1ff (ax)daxlnau=ax元6.Jf(sin x) cos xdx=|f (sin x)d sin xu=sin

2、 x積7. Jf (cos x) sinxdx=-Jf (cos x)d cos xu=cos x分法8.Jf(tan x) sec2xdx=j f (tan x)d tan xu=tan x29jf (cot x) cscxdx=-f f (cot x)d cot xu=cot x10. J f (arctan x)1dx = f f (arctan x )d(arctan x)1 + x2u=arctan x11J f (arcsi n x)1dx = - ff(arcsinx)d(arcsin x)u=arcs in xV1 -x2二、常用湊微分公式三、第二換元法J f(x)dx= jf

3、(t)»(t)dt = F(t)+C = F屮(x) +C,其一般規(guī)注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式 律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有a) a2 -x2, 可令 x =asint;b) x2 a2,可令 x=atant;c) x2 -a2, 可令 x=asect.當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時(shí)，常采用倒代換x.t四、積分表續(xù)4.3分部積分法分部積分公式：udv =uv - vdu(3.1)uv dx = uv - u vdx(3.2)分部積分法實(shí)質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(或微分)的逆運(yùn)算.一般地，下列類型的被積函數(shù)?？紤]應(yīng)用分部積分法(其中mn都是正整數(shù)).5.1

4、定積分的概念5.2定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定：(a)當(dāng)a =b時(shí),bf(x)dx=O; (b) 當(dāng) a Ab 時(shí),baf(x)dx= f (x)dx.a-b性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)bbbf (x)二 g(x)dx 二 f (x)dx g(x)dx.a*a'a也ff(x)dx, ( k為常數(shù)).bcb! f(x)dx f (x)dx 亠 I f (x)dx .aacbb1 dx 二 dx 二b _a.abkf(x)dx =k性質(zhì)若在區(qū)間a,b上有f(x)乞g(x),則bbf(x)dx 乞 g(x)dx, (a : b).aa推論若在區(qū)間a,b上 f(x) _0,貝 S：f(x)dx_O, (a：b

5、).推論bf f (x)dx 蘭| f (x) |dx (a <b).La"a性質(zhì)6 (估值定理)設(shè)M及 m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則性質(zhì)7 (定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一個(gè)點(diǎn),使5.3微積分的基本公式、引例二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：叮-(X" xf(t)dtLa定理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)就是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù).三、牛頓一萊布尼茲公式定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則bf (x)dx =F(b) - F(a).(3.6)a公式

6、(3.4)稱為牛頓一萊布尼茨公式.5.4定積分的換元法積分法和分部積分法一、定積分換元積分法定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)xi(t)滿足條件：(1) C ) =a, " J =b,且 a 空：(t)空 b ；(2) 在:(或：,:)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有b:af (x)dx 二 f :(t)b:(t)dt.(4.1)公式(4.1)稱為定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似.但是,在應(yīng)用定積分的換元公式時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1) 用X = (t)把變量x換成新變量t時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量t的積分 限,且上限對(duì)應(yīng)于上限，下限對(duì)應(yīng)于下限；(2) 求

7、出f (t) : (t)的一個(gè)原函數(shù)"(t)后,不必象計(jì)算不定積分那樣再把 門變換 成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入門然后相減就行了 .二、定積分的分部積分法bbbb .b b .udv 二uva - vdu或 uv dx 二uva - vu dxaaa'a5.5廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分5.6定積分的幾何應(yīng)用、微元法定積分的所有應(yīng)用問(wèn)題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個(gè)步驟把所求的量表示為定積分的形式.可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量U (總量)表示為定積分的方法一微元法，這個(gè)方法的主要步驟如下：(1) 由分割寫出微元

8、 根據(jù)具體問(wèn)題，選取一個(gè)積分變量，例如 X為積分變量， 并確定它的變化區(qū)間a,b，任取a,b的一個(gè)區(qū)間微元x,x dx，求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間 微元上部分量：U的近似值，即求出所求總量U的微元dU = f (x)dx ；(2) 由微元寫出積分根據(jù)dU = f(x)dx寫出表示總量U的定積分微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.應(yīng)用微元法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：(1) 所求總量U關(guān)于區(qū)間a,b應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū) 間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量=U之和.這一要求是由定積

9、 分概念本身所決定的；(2) 使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量=U的近似表達(dá)式f(x)dx，即使得f (x)dx = dU ：丸.在通常情況下，要檢驗(yàn)-f(x)dx是否為dx的咼階無(wú)窮小并非易 事，因此，在實(shí)際應(yīng)用要注意dU二f(x)dx的合理性.二、平面圖形的面積(1) 直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(2) 極坐標(biāo)系下平面圖形的面積曲邊扇形的面積微元dA Jrn2d =2所求曲邊扇形的面積A二-：)2.a 2三、旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.旋轉(zhuǎn)體的體積微元dV -”:f(x)2dx,所求旋轉(zhuǎn)體的體積 V =兀ff(x)2dx.算.5.

10、76.1四、平行截面面積為已知的立體的體積：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道 該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)體積微兀 dV二A(x)dx,所求立體的體積 V二(x)dx.積分在經(jīng)濟(jì)分析的應(yīng)用空間解析幾何簡(jiǎn)介空間直角坐標(biāo)系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標(biāo)系，并通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，把平面上的點(diǎn)與有序數(shù)組(即點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)對(duì)應(yīng)起來(lái).同樣，為了把空間的任一點(diǎn)與有 序數(shù)組對(duì)應(yīng)起來(lái)，我們來(lái)建立 空間直角坐標(biāo)系.過(guò)空間一定點(diǎn)Q作三條相互垂直的數(shù)軸， 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、 z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Qxyz (圖

11、6-1-1 ). 空間直角坐標(biāo)系有右手系和左手系兩種.我們通常采用右手系.二、空間兩點(diǎn)間的距離三曲面及其方程定義1在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面S上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程F(x, y,z) = O , 而不在曲面S上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程，則方程F(x,y,z)=O稱為曲面S的方 程，而曲面S就稱為方程F(x,y,z)=O的圖形空間曲面研究的兩個(gè)基本問(wèn)題是：(1) 已知曲面上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，建立曲面的方程； 已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀平面平面是空間中最簡(jiǎn)單而且最重要的曲面可以證明空間中任一平面都可以用三 元一次方程Ax By Cz D =0（1.3）來(lái)表示，反之亦然.其中A、B、

12、C、D是不全為零常數(shù).方程（1.3）稱為平面的一 般方程.柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的軌跡稱為柱面.這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱為柱面的母線.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交線（即截痕），通過(guò)綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)來(lái)認(rèn)識(shí)曲面形狀的全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡(jiǎn)稱為 截痕法.2橢球面X2a2 2y2 Z2 -1 (a 0,b 0,c 0)(1.4)b c橢圓拋物面2 2 z = xy2p 2q（p與q同號(hào)）雙曲拋物面2 2-Xy 二z2p 2q（p與q同號(hào)）單葉雙曲面2 2

13、 2x y_z :2 , 2 2a b c=1 (a 0,b0, c 0)雙葉雙曲面2 2 2x_ yz2 . 2 2 a bc=-1 (a 0,b0,c 0)二次錐面2 2 2xy-z =0ab c(a 0,b0, c 0)6.2多元函數(shù)的基本概念 一、平面區(qū)域的概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開(kāi)集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域二、二元函數(shù)的概念定義1設(shè)D是平面上的一個(gè)非空點(diǎn)集，如果對(duì)于 D內(nèi)的任一點(diǎn)(X,y)，按照某 種法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處 的函數(shù)值記為f(x, y)，即z=f(x,y),其中X，y稱為自變量，Z稱為因變量點(diǎn)集D稱 為該函數(shù)的定義

14、域，數(shù)集z|z = f(x,y),(x,y). D稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)n_2時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). 二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x, y) 無(wú)限趨于點(diǎn)Po(xo,yo)時(shí)，函數(shù)f (x,y)無(wú)限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z = f(x,y)當(dāng)(x, y)> (xo, yo)時(shí)的極限記為lim f (x, y) = A .X ',xoy >y°或f (x, y)_ A ( (x, y)- (xo ,yo)也記作plim f(P) =A 或 f(P

15、) > A (P > Po)二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(xo，y。)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果nf(x,yf(xo,yo),y。則稱z二f(x,y)在點(diǎn)(xo, yo)處連續(xù).如果函數(shù)z = f (x,y)在點(diǎn)(x°,y°)處不連續(xù)，則稱函數(shù) z 二 f(x, y)在(xo, yo)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)

16、合所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示 的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個(gè)結(jié)論，當(dāng)要求某個(gè)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極限時(shí)，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上 所滿足的定理下面我們不加證明地列出這些定理.定理1 （最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上至 少取得它的最大值和最小值各一次.定理2 （有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，若在D上取得兩個(gè)不同

17、的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法定義1設(shè)函數(shù)z = f（x,y）在點(diǎn)（xo，y。）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在yo而X在 Xo處有增量X時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果|.啊f （Xo ：x,yo） - f（Xo,yo）存在，則稱此極限為函數(shù)z二f（x, y）在點(diǎn)（xo，yo）處對(duì)X的 偏導(dǎo)數(shù)，記為 例如，有f（X。 :x, yo） - f （Xo, yo）fxgyo）=.嘰-ox.類似地，函數(shù)z=f（x,y）在點(diǎn)（xo，yo）處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為f （xo,yo ：y） - f （xo, yo）記為上述定義表明，在求多元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏

18、導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)計(jì)算之.二、關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）對(duì)一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)dy可看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商但dx偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)空是一個(gè)整體.（2）與一元函數(shù)類似，對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求（3）在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道，如果函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn) 必定連續(xù).但對(duì)多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該 占連續(xù)八、-例如，二元函數(shù)在點(diǎn)（0,0）的偏導(dǎo)數(shù)為但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點(diǎn)（0,0）處不連續(xù).三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為z=f（

19、x, y）， M°（x。, y°, f（X0, y。）是該曲面上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M。作平面 y二y。，截此曲面得一條曲線，其方程為則偏導(dǎo)數(shù)fx（x°,y°）表示上述曲線在點(diǎn)M0處的切線M°Tx對(duì)x軸正向的斜率（圖6-3-1）. 同理，偏導(dǎo)數(shù)fy（x°,y°）就是曲面被平面x=x°所截得的曲線在點(diǎn)M0處的切線M°Ty對(duì)y 軸正向的斜率.四、偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義設(shè)某產(chǎn)品的需求量Q=Q（p,y）,其中p為該產(chǎn)品的價(jià)格,y為消費(fèi)者收入.記需求量Q對(duì)于價(jià)格p、消費(fèi)者收入y的偏改變量分別為和二 Q（p, y ：y） -Q（p

20、, y）.易見(jiàn)，竺表示Q對(duì)價(jià)格p由p變到p *p的平均變化率.而表示當(dāng)價(jià)格為p、消費(fèi)者收入為y時(shí)，Q對(duì)于p的變化率.稱 為需求Q對(duì)價(jià)格p的偏彈性.同理，少表示Q對(duì)收入y由y變到、純的平均變化率.而表示當(dāng)價(jià)格p、消費(fèi)者收入為y時(shí)，Q對(duì)于y的變化率.稱 為需求Q對(duì)收入y的偏彈性.五、科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)在商業(yè)與經(jīng)濟(jì)中經(jīng)?？紤]的一個(gè)生產(chǎn)模型是 科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)p(x, y) = cxay1 ,c 0且0 ： a ： 1，其中p是由x個(gè)人力單位和y個(gè)資本單位生產(chǎn)處的產(chǎn)品數(shù)量(資本是機(jī)器、場(chǎng)地、 生產(chǎn)工具和其它用品的成本)。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。六、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z

21、二f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)則在D內(nèi)fx(x,y)和fy(x, y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它 們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個(gè)二階 偏導(dǎo)數(shù)：其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)類似地，可以定義三階、四階、 以及n階偏導(dǎo)數(shù).我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).-2-2定理1如果函數(shù)z二f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)二A及z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),cycx£x£y口 2-2則在該區(qū)域內(nèi)有z zcycx ccy6.4全微分一、微分的定義定義1如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x,y)的全增量 可以表示

22、為-z = Alx Biy o()，(4.2)其中A,B不依賴于：x：y而僅與X, y有關(guān)，：,Gx)2Cy)2,則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn) (x, y)可微分,A x B y稱為函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分,記為dz,即dz 二 A=x B = y .(4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處可微分，則稱這函數(shù) 在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件)如果函數(shù)Z= f (x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(X, y) 的偏導(dǎo)數(shù) 二 三必存在，且z二f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處的全微分ex cydz =三 x y .(4.4).x: y我們知道，一元函數(shù)在某

23、點(diǎn)可導(dǎo)是在該點(diǎn)可微的充分必要條件.但對(duì)于多元函數(shù)則不然.定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條 件而不是充分條件.由此可見(jiàn)，對(duì)于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個(gè)方向的變化情 況.但如果對(duì)偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2 (充分條件)如果函數(shù)z二f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)二，工在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在ex cy該點(diǎn)處可微分.三、微分的計(jì)算習(xí)慣上，常將自變量的增量x、冷分別記為dx、dy ,并分別稱為自變量的微分這樣，函數(shù)z二f (x, y)的全微分就表為dzd

24、xdy.x :y(4.5)上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分可表為du昱 dy dz.(4.6)& 內(nèi)£z四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy (x, y)連續(xù),且|.：x|,|.：y| 都較小時(shí)，則根據(jù)全微分定義，有即遼： fx(x,y).：x fy(x,y).y由:-：z = f (x lx, y Ly) - f (x, y)，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計(jì)算公式f(x .%y ：y) ： f(x,

25、 y) fx(x,yy =x fy(x, y) 7 (4.7)6.5復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元復(fù)合函數(shù)微分法1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù) z = f (u,v), u = u(t) , v = v(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) z= f u(t), v(t)dz : z du :z dv= I dt 'u dt : v dt 公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù)蟲(chóng)稱為全導(dǎo)數(shù).dt2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形(5.1 )設(shè) z = f (u,v), u =u(x, y), v =v(x,y)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z = fu(x,y), v(x, y),；:z: z：:u:x：:u: x-

26、'z-u :yz :v(5.3)(5.4)3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u二u(x, y)在點(diǎn)(x, y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v =v(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z = f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=fu(x,y), v(y)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有(5.7)；z；:z :u_J.xju jx.:z-z ；u ；z dv(5.8) +-y ；u ：y ：v dy注：這里與丄是不同的，是把復(fù)合函數(shù)z = f u(x, y), x, y中的y看作不變而exex玫對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，是把函數(shù)z = f(u,x, y

27、)中的u及y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).與丄&cycy也有類似的區(qū)別.在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常采用以下記號(hào)這里下標(biāo)1表示對(duì)第一個(gè)變量u求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對(duì)第二個(gè)變量v求偏導(dǎo)數(shù)，同理有£ f22廠等等.二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的全微分形式不變性以二元函數(shù)為例，設(shè)Z = f(u, v), u =u(x,y),v =v(x,y)是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有u、由此可見(jiàn)，盡管現(xiàn)在的u v是中間變量，但全微分dz與x、y是自變量時(shí)的表達(dá)式在形式上完全一致.這個(gè)性質(zhì)稱為全微分形式不變性.適當(dāng)應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，會(huì)收到 很好的效果.三

28、、隱函數(shù)微分法在一元微分學(xué)中，我們?cè)肓穗[函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過(guò)顯化而直接由 方程F(x, y) =0(5.11)來(lái)求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在 性，并通過(guò)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(xo，yo)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Fygyo)", F(x°,yo)=O,則方程F(x,y)=0在點(diǎn)P(x°,y°)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = f(x),它滿足 仆f(xo),并有矽一旦.(5.12)dx

29、Fy定理5設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(xo，yo，Zo)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程F(x,y,z) =o在點(diǎn)P(xo，yo，zo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x, y),它滿足條件Zo = f(xo，y°),并有yFzFz(5.14)6.6多元函數(shù)的極值及求法一、二元函數(shù)極值的概念定義1設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(心丫。)的某一鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 (xo,yo)的任意一點(diǎn)(x, y),如果則稱函數(shù)在(xo，y。)有極大值；如果則稱函數(shù)在(x°,yo)有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)

30、.定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo，yo)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(xo,yo)處有 極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即fxyo"。，fyGoyo)".(6.1)與一元函數(shù)的情形類似，對(duì)于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).定理2 (充分條件)設(shè)函數(shù)z二f(x, y)在點(diǎn)(xo，yo)的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 fx(Xo, y°) =o, fy(x°, y°) =0.令(1) 當(dāng)ACB2 0時(shí)，函數(shù)f(x, y)在(xo,yo)處有極值，且當(dāng)A 0時(shí)有極小值f(xo，yo) ； A ： 0時(shí)有極大

31、值f(xo,yo)；(2) 當(dāng)AC - B2 : 0時(shí)，函數(shù)f(x, y)在(xo,y。)處沒(méi)有極值；(3) 當(dāng)ACB2=0時(shí)，函數(shù)f(x, y)在(xo,yo)處可能有極值，也可能沒(méi)有極值.根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)f (x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求z二f(x,y)的極 值的一般步驟為：第一步 解方程組fx(x, y) =0, fy(x,y) =0,求出f (x,y)的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處A B C的值，并根據(jù)AC -B2的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).最后求出函數(shù)f(x,y)在極值點(diǎn)處的極值.二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)f (x,

32、y)的最大值和最小值的一般步驟為：(1) 求函數(shù)f (x, y)在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；(2) 求f (x, y)在D的邊界上的最大值和最小值；(3) 將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即 為最小值.在通常遇到的實(shí)際問(wèn)題中，如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f(x,y)的最大值(最 小值)一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn) 處的函數(shù)值就是函數(shù)f (x, y)在D上的最大值(最小值).三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無(wú)其它限制條件，這類極值我們稱為無(wú)條件極值.但在實(shí)際問(wèn)

33、題中，常會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問(wèn)題.對(duì)自變量有附加條件的極值稱為 條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)f(x,y)和(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求z二f(x,y)在D內(nèi)滿 足條件(x,y)=O的極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)(其中為某一常數(shù))的無(wú)條件極值問(wèn)題于是，求函數(shù)z = f(x,y)在條件：:(x,y)=O的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)；(2) 由方程組解出x,y, ,其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件 ，因此按照這種方法求出來(lái) 的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討

34、論.不過(guò)在實(shí)際問(wèn)題中，往往可以根據(jù)問(wèn)題本身 的性質(zhì)來(lái)判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn).拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形：四、數(shù)學(xué)建模舉例6.7二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念定義1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉 區(qū)域.匸,氏2,，*n，其中*i表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)上 任取一點(diǎn)(i，J,作乘積 并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記為.f(x,y)d即Df(x,y)d二=lim。' f( i,)匚 (7.2)D'*

35、i 4其中f(x, y)稱為被積函數(shù)，f(x, y)d；稱為被積表達(dá)式，dr稱為面積微元，x和y稱為n積分變量，D稱為積分區(qū)域，并稱7 f( i, i)=i為積分和.i 4對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：(1) 如果二重積分iif(x, y)d二存在，則稱函數(shù)f (x, y)在區(qū)域D上是可積的.可以D證明，如果函數(shù)f(x, y)區(qū)域D上連續(xù)，則f(x, y)在區(qū)域D上是可積的.今后，我們總 假定被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的；(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)f (x, y)在區(qū)域D上可積，則二重積分的值與對(duì)積分區(qū)域的分割方法無(wú)關(guān)，因此，在直角坐標(biāo)系中，常用平行于x軸和y軸的兩組直線來(lái)分割積分區(qū)域D，則除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域. 設(shè)矩形閉區(qū)域的邊長(zhǎng)為住和厶yj，于是=%».故在直