等比數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答

1、等比數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答(總11頁(yè))-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1CAL本頁(yè)僅作為文檔封面.使用請(qǐng)直接刪除1. 等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這 個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示QH0）.2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列擁的首項(xiàng)為公比為g,則它的通項(xiàng)af 63. 等比中項(xiàng)若G = a二（如0）.那么7叫做a與b的等比中項(xiàng).4. 等比數(shù)列的常用性質(zhì)通項(xiàng)公式的推廣：場(chǎng)=靈匚6,底NO.若 為等比數(shù)列，且1=m+ n （&, 1, m, nGN*） 則 a* a=n a=

2、.若%,（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則心（久工0）丄&呂仍是等比數(shù)列.5. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列&，的公比為q（qHO）,苴前n項(xiàng)和為$,|Z| q=l 時(shí)，Sn=n（i:,i/ a c il/ aanqI 1 時(shí)，S=1 q 1 q6. 等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為一 1的等比數(shù)列“的前“項(xiàng)和為S”，則S, S2H-S”，S3”一S3仍成等比數(shù)列，英公比為 心【思考辨析】判斷下而結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“ J ”或“ X ” ）（1）滿足卄尸妙（”GN，g為常數(shù)）的數(shù)列如為等比數(shù)列.（X ）（2）G為“，方的等比中項(xiàng)G2=ab.（ X ）（3）如果數(shù)列為等比數(shù)列，九=2”-】+“2”

3、，則數(shù)列饑也是等比數(shù)列.（X ）（4）如果數(shù)列“”為等比數(shù)列，則數(shù)列In是等差數(shù)列.（X ）“1 d數(shù)列仏的通項(xiàng)公式是血=/，則其前n項(xiàng)和為S=p（ X ）（6）數(shù)列“”為等比數(shù)列，則S4, S8S4, $2Ss成等比數(shù)列.（X ）1. （2015-課標(biāo)全國(guó)【I）已知等比數(shù)列“滿足i = 3, ai+“3+5=21,則心+5+7等于（）A. 21 B 42 C 63 D 84答案B解析 設(shè)等比數(shù)列如的公比為q ,則由1二3 , a十3十5二21得3（1+）二21 ,解得q2= - 3（舍去）或q2=2 f 于是 6/3 十a(chǎn)s + ai =+ “3 十 cis） = 2X21 =42 .故選

4、B.2. 設(shè)等比數(shù)列如的前”項(xiàng)和為S”.若S2=3, 54=15,則S6等于（）A. 31 B 32 C. 63 D 64答案C解析 根據(jù)題意知，等比數(shù)列如的公比不是-1由等比數(shù)歹啲性質(zhì)，得(S4 - S2)2二S2(S6 - S4),即122 = 3X(S6 -15),解得 S6 = 63.故選 C.3. 等比數(shù)列如中,“4=2, “5=5,則數(shù)列l(wèi)g“”的前8項(xiàng)和等于()A. 6 B. 5 C. 4 D. 3答案C解析 數(shù)列l(wèi)g“”的前 8 項(xiàng)和 Sg = lg /| + lg 111 + +lg “8 = lg(“l(fā) “2W8)= lg(“l(fā) “8)4=lg(4“5)4 = Ig(2 X

5、 5)4 = 4.4. (2015-安徽)己知數(shù)列“”是遞增的等比數(shù)列，+如=9, “2心=8,則數(shù)列如的前項(xiàng)和等于答案2 1二 8 /解析 由等比數(shù)歹IJ性質(zhì)知23二aU4 ,又2G3二8 I十如二9 ,所以聯(lián)立方程a +1/4 = 9 ,解得.4 = 8a = 8 r又?jǐn)?shù)列仙為遞增數(shù)列,/. a = 1 八M 二 8 ,從而 aqy = 8 f .q = 2.1 -2n數(shù)列如的前”項(xiàng)和為S“ 二1.1-25. (教材改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為.答案27.81解析 設(shè)該數(shù)列的公比為q ,由題意知，243 = 9 X 73，二 27 ,.冷二 3

6、./.插入的兩個(gè)數(shù)分別為9 X 3二27,27 X 3二81.題型一 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1 (1)設(shè)如是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,S.為其前”項(xiàng)和.已知“2“4=1，S3 = 7,則S5等于() 15廠31小33小17A.y B.才 C.丁 D y(2)在等比數(shù)列伽中，若如一2 = 6, 5 1 = 15,則“3 =答案(1)B (2)4 或一 4(aqaq3= 1 ,uil二4,1 =9解得;1 W1 （舍去）,巧lip 41131 S5 一1二7T-(2)設(shè)等比數(shù)列m啲公比為 心工0兒aq3 - Uq = 6 r2則兩式相除，得宀W，aq4 -ui = 15 r1十曠一即 2q2 - 5q

7、 +2 = 0 ,解得 q 二 2 或 q 二*.Ci = 1 f 所以Iq二 2 ,p/i = - 16 或1心故 “3 二 4 或3 二-4.19思維升華 等比數(shù)列基本呈的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量aXtn.q. an . Sn t 般可以“知三求二”,通過(guò)列方程(組)可迎刃而解跟蹤訓(xùn)練1 (1)在正項(xiàng)等比數(shù)列血中,如IS, “25=6,如+心=5,則等于()5-6 2-3A.C6-5B3-2(2)(2015湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列如的前項(xiàng)和,若級(jí)=1,且351.252, 6成等差數(shù)列,則伽=.答案(1)D (2)3 J解析 設(shè)公比為則由題意知0?1,U2-U3 46 =

8、 6 ,由.得4 二 3,6二 2,U4 十6 二 5 r所以坐一空旳以如-心- 2-(2)由351.252 , S3成等差數(shù)列知，4S2二3Si十S t可得二3心，所以公比q二3 ,故等比數(shù)列通項(xiàng)二右丨3題型二 等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列“”的前項(xiàng)和為S”，已知如=1, Sm=4“”+2.(1)設(shè)九=如“一2心，證明：數(shù)列/是等比數(shù)列:求數(shù)列血的通項(xiàng)公式.(1)證明由 “1 = 1 及 S“ + i = 4s 十 2,有 a 十 U2 二 S?二 4“十 2.: U2 = 5 r /. b = U2 - 2a = 3.S“+i = 4a,t + 2 ,又Sn = 4an-i + 2n2

9、,，得如| = 4心-4an. 1 (心2).心 +1 - 2a,t = 2(u,t - 2an -1)(心 2)九二 tin +1 2a八 / bn = 2b” - j (n N 2) f故3“是首項(xiàng)加二3 ,公比為2的等比數(shù)列.”+丨哆二* 十(“ -1)-| =解由知 bn = an +1 - 2an = 3-2n-1 ,3n - 14故心二(3“1)22.引申探究例2中“S,沖二4如十2”改為“S”+g2S” + (” + 1)” ,其他不變探求數(shù)列仗”的通項(xiàng)公式.解由已知得22時(shí)，StJ = 25；r -1 + n.: Sn+1必二2S,廠2S-i十1 Un + | 2(伽十 1 o

10、心+1 + 1 = 2(an + 1) / 又二 1 ,當(dāng)“二1時(shí)上式也成立，故&十1是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等t戯列,血十 1 =2-2/r-,=2 血二2- 1.思維升華(1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用走義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判走；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n = 1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證.跟踩訓(xùn)練2 設(shè)數(shù)列如的前n項(xiàng)和為S”已知“1 + 2“2+3“3+加=(“一 l)S”+2(WNJ.(1) 求么2, 43的值;(2) 求證：數(shù)列S”+2是等比數(shù)列.(1 )解 Vai + 2ai + 3a3 +

11、十 nan = (n - 1 )Sn + 2n(n W N*) r當(dāng) n 二 1 時(shí)，i 二 2X 1 二 2 ；當(dāng)二 2 日寸# 4 + 2d2 =(6/1 十 6/2)+ 4 r心二 4 ；當(dāng)二 3 日寸，5 + 2(12 + 3“3 = 2(“1 + 6/2 + 3)+ 6 ,3 = 8綜上 “2二4，心二8.(2)證明 a + 2x12 + 3心 + 十 min = (zz - 1 )S,t + G NJ 八，當(dāng)斤22 時(shí).十 2xi2 + 3心 + + (h - 1 )ci. |=(n - 2)Sn -1 + 2(n 1) -得 nan =- 1 )Sn - (n - 2)Sn. i

12、 + 2 = n(Sn - Sn. i) - Sn + 2S/r. i + 2 = nan - Sn + 2S.】十 2.- Sn + 2Sn - 1 + 2 = 0 r 即 S 二 2Sn - I + 2 #/. S 十 2 二 2(Sn -)+2)TSi 十 2 二4H0 , $一1 十 2H0 fSw + 2= 2 ,Sn.i+2故&十2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列型三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3 (1)在等比數(shù)歹中，各項(xiàng)均為正值，且“63) + 1皿5=414伽=5,則心+ 8 =等比數(shù)列“的首項(xiàng)“=一1,前項(xiàng)和為S”，若欝=H，則公比g=答案(1)51一舟解析 由 CIMW 十 “

13、305 二 41 及 auo = as r aycis = (& ,得04十加二41 因?yàn)椤?8 = 5 f所以(4 十a(chǎn)s)2 = al + 240 t所以U4十= y5由寸二討/=-!知公比時(shí)1 ,由等I：鐵列前h項(xiàng)和的性質(zhì)知 ,九-S5 , S卄S|（）成等比數(shù)列,且公比為,思維升華（1）在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中，一般利用通項(xiàng)公式與前K項(xiàng)和公式，建立方程組求解，但如果能 靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若mgp + q,則有如如二叱q” ,可以減少運(yùn)算呈.等t黴列的項(xiàng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)?組合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì),例如等比數(shù)列S-S” sk, S* - S2kl成等比數(shù)列,公比為咖 - 1） 跟

14、踩訓(xùn)練3已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且心小=加，“2=2,則山等于（）等比數(shù)列仏共有奇數(shù)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇=255,所有偶數(shù)項(xiàng)和S啊=一126,末項(xiàng)是192,則首項(xiàng)等于答案（1）C （2）C解析（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)得 如9二尿二2加,*.* 0 ,=也“5 , q 二 栄二逗 ,a= = y（2 ,故選 C.設(shè)等比數(shù)列“”共有2k + 1伙GN）項(xiàng),則ci2k+1 = 192 ,則S奇二1十3十十a(chǎn)ik - 十心+1二*（2十如十+ aik）3 .迤 C.12.分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用3典例（12分）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列如的前項(xiàng)和為S血伍N）且一2S?, S3.4S-成等差數(shù)列.（1）

15、求數(shù)列仏的通項(xiàng)公式;（2）證明：S”+JW學(xué)（” WN）.思維點(diǎn)撥（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式;(2)求出前H項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明 規(guī)范解答解設(shè)等比數(shù)列S啲公比為q .因?yàn)?2S2 , Ss,454成等差數(shù)列，所以 S3 十 2：二 4SS3，即 54-53 = 52-54,可得2z/4二-3 ,于是q二牛二-|.2分3又尙二齊所以等比數(shù)列S啲通項(xiàng)公式為2+一為奇數(shù),Sn+k=i-TT十1I6 分2十莎偽偶數(shù)“”二詁(*)=( 1)”氛3分證明由(1)知，S”二 1 -(-少，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),S” +舟隨n的增大而減小,1 1 13 所以S”十瓦WS十工二=8分

16、 當(dāng)“為偶數(shù)時(shí)，S” + *隨”的增大而減小,一. 1125所以S”十瓦WS?十二二帀10分13故對(duì)于“GN f有S“十焉W才12分溫蓉提醒(1)分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見(jiàn)的分類討論有 已知必與如的關(guān)系，要分兄=1,心2兩種情況 等比數(shù)列中遇到求和問(wèn)題要分公比7=1, qH討論. 項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)討論. 等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與5, q的取值的討論.(2)數(shù)列與函數(shù)有密切的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，可以利用圖彖或者數(shù)列的增減性求解，同時(shí)注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別.方法與技巧 思想方法感悟提高1 .已知等比數(shù)列數(shù)列2如(0兒1如1 , 劇

17、，心也警比數(shù)列(2)5 伽=“2心 1 二二 ChnUn-m*l.2判斷數(shù)列為等比數(shù)列的方法(1)走義法：寧二血是不等于o的常數(shù)，底N)數(shù)列仙是等比數(shù)列；也可用王二呦是不等于0的常數(shù)r a, ”-1“GN* ,，&2)數(shù)列如是等比數(shù)列二者的本質(zhì)是相同的，具區(qū)別只是的初始值不同等比中項(xiàng)法：加+ 1二” + 2(“皿+1“” + 2工0 ,朋2)數(shù)列伽是等比數(shù)列.失誤與防范1. 特別注意/二1時(shí)，s”二g這F殊情況2 .由如I二g ,科0 ,并不能立即斷言如為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證H0.3 .在運(yùn)用等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式時(shí),必須注意對(duì)？二1與qHl分類討論，防止因忽略q= 1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤

18、4 .等t緲列性質(zhì)中：S”，S% - Sn , S3n - S2“也成等t緲列，不能忽略條件佇-1.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘)1 .已知等比數(shù)列”中，“2 + 3=1，4+5 = 2,則6+7等于()A. 2B. 22C. 4D. 42答案C解析 因?yàn)?U2 + U3 , U4 十 U5 , 116 十 U7 成等比數(shù)列,C12 十3 二 1，“4 + (15 = 2 ,所以(4 十 5)2 = (“2 + 3)(6 + “7),解得6 + =4.2. 等比數(shù)列滿足如0,且 Ciyd2n-3 = 22(ft 2) 則當(dāng)“鼻 1 時(shí)，Iog2“+log22 + 10g22w-l 等于()

19、A n(2nl)B(zi+1)2C. n2D(n-1)2答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得”3畑-3二加二22n ,從而得an - 2.方法 10g25 + 10g22 十十 Og2U2n - 1 = 10g2(tZK/2/i l)(22“ 丄卜論伽-KM+ 1)血=10g22川加二 H(2n 1)方法二 取 n= 1 . log2的=10g22 = 1 ,而(1 十 1)2 二4 , (1 - 1)2二0排除 B D ；取n = 2 , log2aj 十 log?十 log?心二Iogz2 + logz4 + logi8 二 6 ,而 2,二 4 ,排除 C ,選 A.3. 在正項(xiàng)等比數(shù)列仏中，

20、已知3曲3=4,彌5伽=12,如冋如】=324,則等于()A. 12B. 13C14D15答案c解析設(shè)數(shù)列仙的公比為s由尙心3 = 4 = 卅與=12 = 屆以,可得 cj 二 3 , an - ianun +1 = aq3n 3 = 324 f因此嚴(yán)-6二81二34二，6 ,所以二4 ,故選C.4. 若正項(xiàng)數(shù)列如滿足 lg 如 1 = 1 +lg an,且 “2001+2002 +“2 010=2 06 則 011+2 012+ *+2020 的值為( )A 2015-1010B 20151011C. 2016 10】D 20161011答案C如+1解析 V lg Unl = 1 + Ig

21、Un t A Ig _ = 1 5呼二10, 數(shù)列仏是等比數(shù)列,2 001 十2 002 十十 2 010 二 2 016 r /. t/2 011 + 6/2012 + + U2 ()20 = 10,0(2 001 + “2 002 十+ 6/2 010)= 2 016X 1O10.5.已知&是等比數(shù)列“的前“項(xiàng)和，若存在滿足學(xué)=9.學(xué)=丄斗.則數(shù)列的公比為（） 3mur Hl 1A 一 2 B 2 C. 一 3 D 3答案B解析設(shè)公比為若g二1,貝U學(xué)二2,與題中條彳牛矛盾，故qHL51 嚴(yán)1 - q.叫_曲 如 “i/r15m + 1/. m = 3 , /. 二 8 ,二 g 二 2.

22、6. 等比數(shù)列血中，S”表示前項(xiàng)和，“3=2S2+1, O4=2S3+1,則公比g為答案3解析由U3 = 2S2+，心二2S3十1得“4 - U3 = 2(S3 - S2)= 2ci3 ,如二3心二計(jì)二3.7. 等比數(shù)列為的前項(xiàng)和為S”公比不為1 若5 = 1,則對(duì)任意的neN都有如2+如】一2如=0,則S5=答案11解析 由題意知3 + di - 2a = 0 r設(shè)公比為q t則 a(q2 + q - 2) = 0.由qJq- 2二0解得3 = /3；O4 = bib2b3 ,5 二 bMybn. 1 ,“21 二恥2也如二(枷0)2二2二 1 024.9.數(shù)列如滿足：bg=2bn+2, b

23、n=aza“ 且如=2, “2=4.(1) 求數(shù)列“外的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列如的前項(xiàng)和S”.解 由 bn=2bn + 2 t 得仏+ 】+ 2 = 2(bn + 2) fbn + 2仇十2=2 f又仞十2二a?十2二4 z數(shù)列血+ 2是首項(xiàng)為4 ,公比為2的等t戯列抓十2二42丨二2”，仏二2由(1)知/ Un -血 I二亦1二22 (心2).:.an-1 - a,t - 2 = 2n 1 - 2 (n2) r.az - a = 22 - 2 ,/.-2 = (22 + 23+- +2”)2(- 1),血= (2 + 22 + 23+ + 2n) -In 十 222n - 1二2n + 2

24、 = 2/r + , -2n.2 - 141 - Tn2 + 2n S” 一1 -25 = 2/, + 2-(n2 + 十4)210. 已知數(shù)列如和血滿足如=兒 如尸訶+”一4,九=（一1）“（心一3”+21）,其中2為實(shí)數(shù)，川為正整數(shù).（1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)2,數(shù)列“不是等比數(shù)列：（2）證明:當(dāng)3 18時(shí)，數(shù)列%是等比數(shù)列.證明（1）假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)久，使“”是等比數(shù)列”則有尿=如“3,即（|久-3）2 =彳京-4）44qZ2 - 4x + 9 =外 4x9 = 0 .矛盾所以/不是等比數(shù)列（2禺杓二（1嚴(yán)也小-3（n+1） + 21二- 1 產(chǎn)-3” + 21)二-訓(xùn).又 2H - 18

25、,所以 b = - (x + 18)H0bn 2由上式知仏HO ,所以二詐WN“）7故當(dāng)幾工18時(shí)，數(shù)列仇是以-（2十為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：20分鐘）11. 設(shè)為是各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列,角是邊長(zhǎng)為創(chuàng),“小的矩形的而積（=1.2,），則（凡為等比數(shù)列的充要條件是（）A. “”是等比數(shù)列B. U, 3，或2，4,，I如是等比數(shù)列C. a9 3,，“加-1,和2，U4f，2”均是等比數(shù)列D“3,，U2ji-f和“2, 4，2”均是等比數(shù)列,且公比相同答案DAn *-1 Un + (-bt + 2 t/n + 2Hi A -i解析 TA二陽(yáng)i 右為等比數(shù)列z則一二二二一為常數(shù)，即 = r -r = / 】r /3 /兒巾如心A】U A2 aim ,和，心，“2“,成等比數(shù)列,且公比相等.反之,若奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)I U/T + 2列，且公比相等，設(shè)為S則 =q,從而為等比數(shù)列.12.若等